数学高二选修2-3(人教a版)练习：第一章1.3-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质含解析

1、数学高二选修2-3（人教a版）练习：第一章1.3-1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质含解析第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1. （1 + x）2n+1（n6 N*）的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是 （）A. n, n+1B. n 1, nC. n+1, n + 2D. n + 2, n+ 3解析：因为2n+1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n + 1, n+2.答案：C2 .已知（1 + 乂）+（1 + 乂）2+（1 + 乂尸=20+ ap+ a2X2 +anxn（n6

2、N*）,若 ao + a1+ + an=30,则 n 等于（）A. 5B. 3 C. 4D. 7解析：令 x= 1 得 a0 + a1 + an = 2 + 22+2n = 30,解得 n= 4.答案：C3 .在（x + y）n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（）A.第6项B.第5项C.第5、第6项 D.第6、第7项解析：因为cn=cn,所以n=10,系数最大的项即为二项式系数最大的项.答案：A4 .已知 cn+2cn+22cn+-+2ncn=729,则 cn+cn+cn的值等于()A. 64 B. 32 C. 63D. 31解析：由已知(1 + 2)n=3n=729

3、,解得 n = 6,则 C： + Cn + Cn= C6+C6+ C6=；X 26= 32.答案：B1 1 n5.设fx的展开式中各项系数之和为 M,二项式系数之和为N,若MN = 240,则展开式中x的系数为()A. -150 B. 150 C. 300 D. -300解析：令31,得M = 4n,又N = 2n,故4n 2n = 240,解得n=4.展开式中一，J 1 Y 33的通项为 Tr+1 = c4(5x)4-1&J = (1)r54-rc4x4 2r,令 4 2r=1 得 r = 2,所以当r = 2时，展开式中x的系数为(一1)2 C2 52= 150.答案：B二、填空题

4、6. (a + )n的展开式中奇数项系数和为512,则展开式的第八项18 =解析：Cn + Cn+C4+- = 2n-1 = 512=29,所以 n=10,所以 T8= C70a3(G)7 13= 120a2.13答案：120a27. (1 + dX)n展开式中的各项系数的和大于 8而小于32,则系数最大的项是解析：因为8<C0 + Cn + Cn+ + Cn+ + Cn<32,即8<2n<32.所以n=4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3=c2(.x)1= 6x.答案：6x8.如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第 n行的首尾两个数均为令 x= 1 得(2 3)

5、= ao + a1+ a2 + a3 + a4,令 x= 1 彳导(-2 3r=ao a1+ a2 a3 + a4.所以(a。+ a2 + a4)2 一 (a1 + 03)2 = (a。一 a1 + a2 a3 + a4)(ao + a + a2 + 为 + 诙)=(2- 3)4(2 3)4= (2 + 3)4(2 3)4= 625.10. (1 + 2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系 数最大的项和系数最大的项.解：T6=c5(2x)5, T7= C6(2x)6,依题意有 25=/26,解得n=8.所以(1 + 2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5=c8(2

6、x)4=1 120x4.fck2kACk12k1设第(k+ 1)项系数最大，则有< k k k 1k ； lCk2k>Ck+12k+解得5<k<6.又因为k 0, 1, 2,，8,所以k=5或k= 6.所以系数最大的项为T6= 1 792x5, T7= 1 792x6.B级能力提升1,若9n+*1 "+ cn；1 9+cn+1是n的倍数，则自然数一为()A.奇数B.偶数C.3的倍数D.被3除余1的数解析：9n + cn + 1 9n-1+- + Cn + 1 9+ Cn+1 = 9(9n+1 + Cn+1 9n+ + Cn4 1 92 +1111Cn+1 +

7、Cn*1)-g = 9(9 + 1)n1-= 1(10n+11)是 11 的倍数，所以 n+1 为偶数，n为奇数.答案：A2. (2015山东卷)观察下列各式:C0=40;C0+C3=41;c5+c5+c5=42；c0+c7+c7+c3=43；照此规律，当n£N*时，C2n 1 + C2n 1 + C2n 1 + + C2n 1 =-解析：具体证明过程可以是：C2n - 1 + C；n 1 + C2n 1 + + C2nLi 1 = 2(2C2n 1 + 2c2n 1+ 2c2n 1 + + 2c2 nLi 1)12-1=21(C2n- 1 + C2n二 1)+ (C2n - 1 +

8、 C2n 二 1)+ (C2n- 1 + C2n二 1)+ + (C2/ 1 +1 .(C2n 1 + C2n 1 + C2n 1 + + C2n 1 + C2nT + + C2n 二 1)= 2 2 =4一 .答案：4n 13.已知（a2+1）n展开式中的各项系数之和等于16 215X +1 1rj的展开式的常数第6页共6页项，而伯2+1厂的展开式的系数最大的项等于 54,求a的值.解：由彳6x2 + fxJ得 Tr+ 1 = C516 5520_5r令十1为常数项，则20 5r = 0,所以r=4,常数项T5=C4,= 16.5又（a2+1展开式中的各项系数之和等于 2n,由此得到2n=16, n = 4.所以(a2 +1)4展开式中系数最大项是中间项T3=c4a4= 54.解得a=大后3 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9解析：由于每行的第1个数1, 3, 5, 7, 9,成等差数列，由等差数列的知识可知，an = 2n 1.答案：2n-1三、解答题9.已知(2x 3)4= a0+a1x+ a2x2 + a3x3 + a4x4,求:(1)a()+a1 + a2+a3+a4；(2)(ao+ a2+ a4)2 (a1+ a3)2.解：(1)由(2x- 3)4