行程问题-火车过桥与错车超车问题

1、第四讲 行程问题 - 火车过桥与错车超车问题火车过桥问题火车过桥是一种特殊的行程问题。需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止， 火车所行距离等于桥长加上车长列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。火车过桥问题：（ 1） 解题思路：先车速归一，再用公式 “ 桥长之差÷时间之差=归一后的车速”， 即 S差 =Vt差 ，（ 2）画示意图，分析求解。列车所行路程为车头到车头或车尾到车尾的距离，而不是车头到车尾的距离。（ 3）与追及问题的区另：追及问题所用公式S差 =V差 t ，要求时间归一。关于 S=Vt 公式的拓展初步探讨（1）行程问题：S=vt路程=速度时间S t

2、（2）相遇问题：S和 =v和 t 路程和 =速度和 时间 （时间归一，能求路程和）v（3）追及问题：S差 =v差 t 路程差 =速度差 时间 （时间归一，能求路程差）火车过桥好题精讲（4）火车过桥：S差 =vt差 路程差=车速度时间差 （速 度归一，求出车速）1 】 一列列车长150 米 , 每秒钟行19 米。问全车通过420 米的大桥，需要多少时间？( 420 150)÷19=30(秒)答：列车通过这座大桥需要30 秒钟。【例题2】 一列车通过530 米的隧道要40 秒钟，以同样的速度通过380 米的大桥要用30 秒钟。求这列车的速度及车长。【分析与解】列车过隧道比过桥多行（530

3、 380）米，多用（40 30）秒。列车的速度是：（ 530 380）÷（40 30） =15（米/秒）列车的长度是：15 × 40 530=70（米）答：列车每秒行15 米，列车长70 米。3】 火车通过长为102米的铁桥用了24秒，如果火车的速度加快1 倍， 它通过长为222米的隧道只用了18 秒。求火车原来的速度和它的长度。【考点分析】如果火车仍用原速，那么通过隧道要用36 秒。【分析与解】列车原来的速度是（222 102）÷（18× 2 24） =10（米/秒）火车长为10× 24-102=138 （米）答：列车原来每秒行10 米，车长

4、为138 米。【例题 4】 一个车队以4 米 / 秒的速度缓缓通过一座长200 米的大桥，共用115 秒钟。已知每辆车长5米，两车间隔10 米，问这个车队共有多少辆车？【分析与解】4× 115 200=260（米）队伍长（ 260 5）÷（10 5）1=18（辆）答：这个车队共用18 辆车。【附加题】（ 小学生数学报第八届竞赛试题）一列火车通过长320 米的隧道，用了52 秒。当它通过长 864 米的大桥时，速度比通过隧道时提高1 ，结果用了1 分 36 秒。求火车通过大桥时的速度火车4车长是多少解法一：用火车问题常用公式求解 （ 推荐解法火车过桥问题常用“ 速度=路程差&

5、#247;时间差”来求解 ）如果后来的速度不增加，则用时为96÷ （4/5）=96 × （5/4）=120 秒， 根据“ 速度=路程差÷时间差”得火车通过隧道的速度为： （864-320） ÷ （120-52）=8（ 米 /秒 ） ，所以过大桥时的速度为8× （5/4）=10（ 米 /秒 ）火车车长=52× 8-320=96（ 米 ）说明 ： 请学生思考车长如何求解。并说明“速度=路程差÷时间差”的得来。解法二：列方程求解, 设火车长x 米，根据速度可列方程320 x 1864 x（1）52460 36x 96（ 864+9

6、6）÷96=10（米 / 秒）说明： 请学生说明解法二与解法一的内在联系。【附加题】（ 2005 年第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛） 火车以标准速度通过1000 米的大桥用50 秒， 通过 1500 米的大桥用70 秒。 如果火车速度降低20， 那么火车通过长1950 米的隧道用秒。解： 标准速度（1500 1000） ÷ （7050）=25（ 米秒 ）。火车长25× 50 1000=250（ 米 ） 。火车通过长1950 米的隧道用时（1950+250） ÷ 25× （120 ）=110（ 秒 ）。说明： 前者根据路程差与时间差的对应关系

7、求出速度；后者运用了列车过桥的典型数量关系。错车问题：对方车长为路程和，是相遇问题，路程和=速度和×时间【例题 1 】 （北京市第六届“迎春杯”小学生数学竞赛试题） 两列对开的火车相遇，甲车上的司机看到乙车从旁边开过去，共用了6 秒钟。已知甲车每小时行45 千米，乙车每小时行36 千米。乙车长多少米？【考点分析】这是两车相遇问题。在甲车司机看来，乙车的速度是每小时（36 45）千米，并且乙车在6秒内所行路程就是乙车的长。【 分 析 与 解 】 （ 方 法 一 ） 因 为 1 小 时 =3600 秒 ， 所 以 在 甲 车 司 机 看 来 ， 乙 车 的 速 度 是 每 秒（36 45

8、） 1000 3600 米， 6 秒钟行（36 45）×1000 ÷ 3600× 6=810× 6÷ 36=135 米，即乙车的长是135 米。 答：乙车的长是135 米。（方法二）画出两车错车示意图，可知甲乙两车在这6 秒钟共走了一个乙车车长。这是一个相遇问题，路程和即乙车车长为：（ 36 45）×1000÷ 3600× 6=810× 6÷ 36=135 米【例题 2】 （江苏省吴江市2005 年小学数学联赛）快车长 250 米，慢车长600 米 , 这两车相向而行, 坐在慢车上的王小玲看见快

9、车开过窗口的时间是5 秒 , 快车的速度是慢车速度的倍, 快车速度为每秒（）米。.36 C D. 以上都不是解： 错车问题是典型的相遇问题。慢车速度为250 ÷ 5÷ （1+=20（ 米 /秒 ）快车速度为20 × =30（米 /秒 ）【例题 3】 （常州铁一小四年级奥数试卷）某列车通过342 米的隧道用了23 秒，接着通过234 米的隧道用了 17 秒。这列火车与另一列长88 米、速度为每秒22 米的列车错车而过。问需要几秒钟342-234 ）÷（23-17 ） =18（米/秒） 。列车的长度是18× 23-342=72（米）。这列火车和另一

10、列火车错车而过，相当于两车共同行驶，行驶的总路程是两列火车的车身总长。所需的时间是（ 88 72）÷（18 22） =4（秒）。【例题 4】 （第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛第 2 试） “希望号”和“奥运号”两列火车相向而行， “希望号”车的车身长 280 米， “奥运号”车的车身长 385 米，坐在“希望号”车上的小明看见“奥运号”车驶过的时间是 11 秒。求：（1） “希望号”和“奥运号”车的速度和；（2） 坐在“奥运号”车上的小强看见“希望号”车驶过的时间；（3） 两列火车会车的时间。【分析与解】（ 1 ） 385÷ 11=35（米/秒）（ 2） 280

11、7; 35=8（秒）（ 3） （ 280+385）÷35=19（秒）【附加题】 （第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛第 2 试） 两列相同而行的火车恰好在某站台相遇。如果甲列车长225 米，每秒行驶25 米，乙列车每秒行驶20 米，甲、乙两列车错车时间是9 秒。求：（ 1）乙列车长多少米（ 2）甲列车通过这个站台用多少秒（ 3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？【分析与解】（ 1 ） （ 20+25）×9-225=180 （米）（ 2） 225÷ 25=9（秒）（ 3） 180÷（25+20） =4（秒）发散思维一次，唐僧给几个徒弟出了这样一个

12、题目： “给你们每个人 4 棵树种，能否使得任意2 棵之间的距离为 1 米” 。猪八戒想了想说不行，孙悟空想了一下，说： “师傅，我有办法！ ”请问你知道孙悟空用的是什么办法吗超车问题：是追及问题, 画图找路程差, 利用“路程差=速度差×时间”求【例题 1 】 慢车车身长125 米，车速17 米 /秒；快车车身长140 米，车速22 米 /秒，慢车在前面行驶，快车在后面从追上到完全超过需要多少时间？【考点分析】这是追及问题，快车所走距离为125 140（米）【分析与解】（ 125 140）÷（22 17） =53（秒）答：需要53 秒。【例题2】 快车每秒行18 米，慢车每

13、秒行10米。两列火车同时、同方向齐头并进，行10 秒钟后，快车超过慢车。如果两车车尾相齐行进，7 秒钟后，快车超过慢车。求两列火车的车身长。【分析与解】两列车齐头行进，快车超过慢车，总距离应是快车的车长。两列车车尾相齐行进，总距离应是较慢列车的车长。10×（18 10） =80（米）快车长7×（18 10） =56（米）慢车长答：快车的车长是80 米，慢车的车长是56 米。火车过桥，错车超车问题天天练【 1】 （ 2006 年广东省育苗杯数学竞赛）一列火车长200 米，如果整列火车完全通过一条长400 米的隧道， 那么需要10 秒， 如果以同样的速度整列火车完全通过一座大桥

14、需要15 秒， 那么大桥长是（） 米。解法一：火车的速度是200+400）÷10=60（米）大桥长6015-200=700（ 米 ）解法二：设大桥长x 米，得：200 400 10200 400200 x或者解得 x=700200 x 151015【 2】 夏令营的小同学们要过一座296 米长的大桥。他们共有162 人，排成两路纵队，每两个人相距半米，队伍行进的速度是每分钟56 米。问整个队伍通过桥共需多少分钟？【分析与解】（ 162÷ 2 1）÷2=40（米）队伍长（ 296 40）÷56=6（分）时间答：整个队伍通过桥共需6 分钟。【 3】 一列火车

15、长400 米，铁路沿线的电线杆间隔是40 米，这列火车从车头到达第一根电线杆到车尾离开第 51 根电线杆用了2 分钟。这列火车每小时行多少千米？【考点分析】第1 根电线杆到第51 根电线杆共长40×（51 1）米。【分析与解】40 （51 1） 4002 1200（米 /分）1200× 60÷ 1000=72（千米/小时）答：这列火车每小时行72千米。【 4】 （ 2003 年江西省婺源县小学数学竞赛）有 644 名解放军官兵排成4 路纵队去参加抗洪抢险。队伍行进速度是每秒5米，前后两人的间隔距离是0.8 米。现在要通过一座长312 米的大桥，整个队伍从开始上桥到

16、全部离桥需要多少秒【分析与解】队伍长（644÷ 4 1）×=128（米），队伍通过大桥，所行的路程是桥长和队伍长度的总和，整个队伍通过大桥所需的时间是（128+312）÷5=88（秒）。【 5】 一列火车通过一座长456 米的桥需要80 秒，用同样的速度通过一条长399 米的隧道要77 秒。这列火车的速度是, 长度是 .【分析与解】（ 456-399 ）÷（80-77） =19（米）， 19× 80 456=1064（米）。这列火车80 秒所行的路程是456 米与车长的和，这列火车77 秒所行的路程是399 米与车长的和。通过比较，可以发现，这

17、列火车用80-77=3 （秒）行走路程是456-399=57 （秒） 。这样，就能求出火车的速度。【 6】 某小学三、四年级学生528 人排成四路纵队去看电影。队伍行进的速度是每分钟25 米，前后两人都相距1 米。现在队伍要走过一座桥，整个队伍从上桥到离桥共需16 分钟。这座桥长多少米？答：桥长269 米。25× 16（528÷ 4 1）×1=269（米）【 7】 小英和小敏测量飞驶而过的火车的长度和速度，她们拿了两块秒表。小英用一块表记下火车从她面前通过所花的时间是15 秒，小敏用另一块记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所用时间是 18 秒。已知两电线杆之间的距离是60 米。求火车的全长和速度。【分析与解】分析得出：火车走 60 米用 18-15=3 （秒）。火车速度为60÷ 20（米/ 秒）=72（千米/时） 。火车全长为20 × 15=300（米）。【附加题】（ 2007 年第十二届 “华罗庚金杯“少年数学邀请赛决赛） 李云靠窗坐在一列时速60 千米的火车里，看到一辆有30 节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18 秒。已知货车车厢长