中考数学试题研究含参二次函数题库

1、类型一函数类型确定型含参二次函数2 一1 .已知抛物线 y=3ax+2bx+c.(1)若a=3k, b=5k, c=k+1,试说明此类函数图象都具有的性质；(2)若a=；, c=2+b,且抛物线在一2W x<2区间上的最小值是一3,求b的值； 3(3)若a+b+c= 1,是否存在实数x,使得相应的y值为1,请说明理由.解：(1)a=3k, b= 5k, c=k+1,，抛物线 y= 3ax2 + 2bx+c 可化为 y= 9kx2+10kx+k+1 = (9x2+10x+1) k+1,.令 9x2+10x+1 = 0,解得 x1= 1 , x2= :,9图象必过点(一1, 1), (1 1

2、), 9，对称轴为直线 x=- 2109k=-9；1(2) , a= 3, c= 2+ b,，抛物线 y= 3ax2 + 2bx+c可化为 y=x2+ 2bx+ 2+ b,2b，对称轴为直线x=一万=b,当一b> 2 时，即 bv 2,1 .x=2时，y取到最小值为3.4+4b+2+b= 3,解得b= 5(不符合题意，舍去)，当一bv 2时即b>2,，x=2时，y取到最小值为3.3, 24 (2+ b) 4b4.44b+2+b= 3,解得 b=3;当一2V b< 2时，即一2V bv 2,当x= b时，y取到最小值为一 =-3,解得匹="2反(不符合题意，舍去)，b

3、2=1-221,综上所述，b = 3或-2 ；(3)存在.理由如下：丁 a+ b+c=1,2 c 1 = a b>令 y = 1,贝U 3ax2 + 2bx+c= 1.A =4b24(3a)( c-1) =4b2+4(3a)( a+b) = 9a2+12ab+4b2+3a2= (3a+2b)2+3a： . aw0,3 .(3 a+ 2b)2+3a2>0,A >0,，必存在实数x,使得相应的y值为1.2.在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于 A( -3, 0)、R0 , 3)两点，二次函数 y=x2+ m奸n的图象经过点 A14(1)求一次函数

4、y= kx+ b的表达式；(2)若二次函数y = x2+m奸n的图象顶点在直线 AB上，求m n的值；(3)设m= 2,当一3wxwo时，求二次函数 y = x2+m刈n的最小值； 若当一3w x<0时，二次函数y = x2+m刈n的最小值为一4,求m, n的值.解：将点 代3, 0), B(0, 3)代入y=kx+b得-3k+ b=0b= 3k= 一 1,解得,b= - 3，一次函数y=kx+b的表达式为y= x 3；(2)二次函数y= x2 + m奸n的图象顶点坐标为(一m,24n-m4九顶点在直线AB上，4n m m=2-3,又二次函数 y= x2+m奸n的图象经过点 A( -3,

5、 0),1- 9 3m+ n= 0,4n rm m a =3组成方程组为42,、9 3m n = 0m= 4 m= 6解得 或i ;n= 3 n= 9当m= 2时，由(2)得9-3m+ n=0,解得n=- 15,y= x2-2x- 15.二次函数对称轴为直线 x=1,在一3< x<0右侧,当x=0时，y取得最小值是15.;二次函数y= x2+m肝n的图象经过点 A,9- 3m+ n= 0,二次函数y = x2+ m刈n的对称轴为直线 x= - 2;i)如解图，m当对称轴一3v 2V0时，最小值为4n m4立i.9- 3m+ n= 0m= 2解得n = - 3m= 10m或I由-3&

6、lt;-2<0知不符合题意舍去)m= 2n= 3ii)如解图，当对称轴一2> 0时，,一 3w xw0, .当x=0时，y有最小值为一4,把(0 , 4)代入 y=x2+m刈 n,得 n=4,把 n = 4 代入 9 3m n= 0,得 m= 5.3mK 0,，此种情况不成立;iii) 当对称轴一mm=。时，y = x2+m奸n当x=0时，取得最小值为一 4, 把(0 , 4)代入 y= x2+ m刈 n 得 n = - 4,把 n = - 4 代入 9 3m n= 0,得 m= 5.3m2=0m= 0,，此种情况不成立；iiii) 当对称轴一m< 3时，一 3W xW0,

7、.当x=3时，y取得最小值一4, /当x =-3时，y=0,不成立.综上所述，mi= 2, n= - 3.第2题解图3.在平面直角坐标系中，二次函数yi=x2+2(k2)x+k24k+ 5.(1)求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；(2)若函数y2= kx+3经过yi图象的顶点，求函数 yi的表达式；(3)当1WxW3时，二次函数的最小值是 2,求k的值. 证明：b2- 4ac= 4( k- 2) 2-4( k2- 4k+ 5) = - 4<0, .函数图象与 x 轴没有交点，当 x = 0 时，yi=k2-4k+5=(k-2)2+1>0,，二次函数与坐标轴仅有一个交点；2(

8、2)解：yi= (x + k2) +1,函数yi的顶点坐标为(2k, 1),代入函数y2=kx+3得(2-k) k+3=1,解得 k= 1 + V3或 k= 1 y3,y1 = x2 + 2(1) x+ 5- 25或 y1 =x2- 2(班+ 1) x+ 5+ 2，3;(3)解：当对称轴x =白=2 kwi时，k> 1,2a当x=1时，y1取得最小值2,即 1+2(k2) + k2 4k+5=2,解得 k=0(舍去)或 k=2；当对称轴1<2 k<3时，1<k<1,当x = 2k时，最小值恒为1,无解；当对称轴x=2k>3时，k<- 1,当x = 3时

9、，yi取得最小值2,即 9 + 6(k2) + k2 4k+5=2,化简得 k2+2k=0,解得 k=0(舍去)或 k= 2.综上所述，k的值为2或2.4.已知二次函数 y=ax2+bx+c(aw0)的图象经过 A(1 , 1)、B (2 , 4)和C三点.(1)用含a的代数式分别表示 b、c;(2)设抛物线y=ax2+bx+ c的顶点坐标为(p, q),用含a的代数式分别表示 p、q；, 一一 3 当a>0时，求证：p<2, q< 1.(1)解：二次函数 y=ax2+bx+c的图象经过A(1 , 1)、B(2 , 4)两点，1 = a+ b+ c二4 = 4a+ 2b+ c

10、'化解得3=3a+b,b= 3 3a, - 1 = a+ 3 3a+ c,c= 2a - 2；(2)解：由(1)得 b=3 3a, c=2a-2, b 3a-3-p=_2a=_20"4a (2a 2) (3 3a) a + 10a 94a4a(3)证明：3 一分< °，3a-3 p= W3 g 32 2a< 2；(a 3)4a2-<0,a2+6a9 4a 4a+ 4a一(a 3)4a2-+1<1.a>0,5.已知抛物线y1=ax2 + bx+c(aw°, awc)过点A(1 , 0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限.(1)用

11、含a、c的代数式表示b；(2)判断点B所在象限，并说明理由;(3)若直线y2=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点C(c, b+8),求当x>l时，y1的a取值范围.解：(1) ,抛物线 y1= ax2+bx+c(aw°, awc)经过点 A(1 , 0),把点A(1 , 0)代入即可得到 a+b+c= 0,即b= ac；(2)点B在第四象限.理由如下：;抛物线 y1=ax2+bx+ c(a*0, ac)过点 A(1, 0),，抛物线y1与x轴至少有1个交点，令ax2+bx+c=0,cXi . X2 = -, a1- xi = 1, X2=1.- aw c,a，抛物线与x轴

12、有两个不同的交点，又二.抛物线不经过第三象限，.a>0,且顶点B在第四象限；(3)点ac, b+ 8)在抛物线上，a令 b + 8=0,得 b=- 8,由(1)得 a+ c= b, a+ c= 8,把B( 一4acb )、C(c, b+8)两点代入直线解析式得 2a4aa4ac b24a=2x (- ?) + m2ab+ 8=2x c+m aa+ c= 8r a= 2r a= 4b= - 8b = 8解得 或 (awc,舍去),c= 6c= 4m= - 6m= - 2如解图所示，C在A的右侧,当 x>l 时,第5题解图6.在平面直角坐标系中，设二次函数yi = ax2+2ax+ 3

13、(aw0).(1)若函数yi的图象经过点(一1, 4),求函数yi的表达式；(2)若一次函数y2=bx+a(bw0)的图象经过y1图象的顶点，探究实数a, b满足的关系式;(3)已知点R1 , m和Qx。，n)在函数y1的图象上，若 m> n,求xo的取值范围.解：(1) .二次函数 y1 = ax2+2ax+ 3的图象经过点(一1, 4), 4= a 2a+ 3) a= 1 1,，函数y1的表达式为y1=x22x+3；(2) -. y1=ax2 + 2ax+3=a(x+1)2 + 3-a,，y1图象的顶点坐标为(一1, 3-a).:一次函数y2=bx+ a(bw。)的图象经过yi图象的

14、顶点,3 a= b+ a,实数a、b满足的关系式为b=2a3；,二次函数 y= ax2 + 2ax+3的图象的对称轴为直线x = - fa= 1,，当m= n时，xo =2 a-3.当a>0时，如解图所示,第6题解图1.- m> n, 3V xo< 1;当a<0时，如解图所示，m>0,xov 3 或 xo> 1.综上所述：(a>0)(a< 0)3 V xov 1xo的取值范围为xoV 3 或 xo> 1类型二函数类型不确定型1 .已知函数 y=(n+1)xm+ mx+1 - n(m, n 为实数). 当簿n取何值时，此函数是我们学过的哪一类

15、函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；(2)若它是一个二次函数，假设 n> 1,那么：当xvo时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；它一定经过哪个点？请说明理由.解：(1)当 mp 1, nw2 时，函数y=(n+1)xm+ mx+ 1 -n( m n为实数)是一次函数，它一定与 x轴有一个交点，.当 y=0 时，(n+i)xm+ mx+ 1 - n=0 n- 1X-n+2'，函数y=(n+1)xm+ m奸1- n(m n为实数)与x轴有交点；当mp2, nw1时，函数y=(n+1)xm+ m奸1 n(E n为实数)是二次函数,当 y = 0 时，(n+

16、 1)xm+ m刈 1 - n= 0即(n+1)x2+2x+1 n=0a =22-4(n+ 1)(1 -n)= 4n2>0,，函数y=(n+1)xm+ m奸1 - n( m n为实数)与x轴有交点;mn 1当n= - 1, O时，函数y=( n+ 1)x + m奸1 -n是一次函数，当y=O时，x=m，函数y= ( n+1) xm+ m肝1 - n( m n为实数)与x轴有交点;(2)假命题，若它是一个二次函数，则 m= 2,函数 y= (n+1)x2+2x+1 n,1 .- n>- 1, n+ 1 >0,抛物线开口向上，b21对称轴：x=泊=-2 (n+1)=一<3对

17、称轴在y轴左侧，当x<0时，y可能随x的增大而增大，也可能随 x的增大而减 小，故为假命题；它一定过点(1, 4)和(一1, 0),理由如下：当 x = 1 时，y = n+1 + 2+1 n=4.当 x = 1 时，y= 0.，它一定经过点(1, 4)和(一1, 0).2 .设函数 y= kx2+(2 k+1)x+1(k 为实数).(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并且在同一坐标系中，用描点法画出它们的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k,函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对于任意负实数k,当xvm时，y随x的增大而增大，试求 m的取值范围.解：

18、(1)令k=0, k=1,则这两个函数为 y = x+1, y = x2 + 3x+1,描点法画函数图象如解 图所示；第2题解图(2)不论k取何值，函数 y=kx2+(2k+ 1)x+1的图象必过定点(0,1), ( 2, 1), 且与x轴至少有1个交点.证明：.当 x=0 时，y=1;当 x=2 时，y=- 1.，函数图象必过(0 , 1) , ( -2, 1);当k=0时，函数为一次函数， y=x+1的图象是一条直线，且与 x轴有一个交当kwo时，函数为二次函数，y=kx2+(2k+ 1)x+1的图象是一条抛物线.A =(2k+1)24X kx 1 = 4k2+4k+1 4k=4k2+1

19、>0,，抛物线y= kx2+(2 k+1)x+1与x轴有两个交点.综上所述，函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数)与x轴至少有一个交点；. k<0,，函数y= kx2+(2k+1)x+1的图象在对称轴直线 x= 2匕1的左侧时，y随x的增大2k而增大.2k+ 1根据题意，得忤2k而当 ko 时，22F=-i-21->-1, 2 k2 k m 1.3 .已知函数 y= kx2+ (4- 3k) x-4. 3(1)求证：无论k为何值，函数图象与 x轴总有交点；(2)当kwo时，A( n- 3, n 7)、B( -n+ 1, n7)是抛物线上的两个不同点.求抛物线的表达式；

20、求n的值.(1)证明：当k=0时，函数为一次函数，即y = 4x-4,与x轴交于点(3 , 0);3当kwo时，函数为二次函数， A =(4-3k)2-4kX(- 4) = (3 k + 4)2>0, 33，函数与x轴有一个或两个交点；综上可知，无论k为何值，函数图象与 x轴总有交点；(2)解：当kwo时，函数y = kx2+(4 3k)x4为二次函数， 3- A( n 3, n 7)、B( n+ 1, n 7)是抛物线上的两个不同点,n 3 n+ 1，抛物线的对称轴为直线x = - 1,43-3k2k = 1，抛物线的表达式为;(n3, n 7)是抛物线y=;4x2+;8x4上的点,1

21、515428-n-7=(n-3) +15(n-3)-4.一 19解得n1=T，n2= 3.4.已知y关于x的函数y= (k1) x22kx+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围；(2)若xi, x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x2+2kx2+k+2= 4xix2.求k的值；当k< x< k+ 2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值.解：(1)当k=1时，函数为一次函数y=-2x+3,其图象与x轴有一个交点.当kwi时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令 y = 0 彳#(k- 1)x2-2kx + k+2= 0.A =(-2k)2-4( k- 1)( k + 2)>0,解得 kW2.即 k<2 且 kw1.综上所述，k的取值范围是k<2.(2) x1Wx2,由(1)知k<2且kw1,函数图象与x轴有两个交点，2，由题意得(k-1)x1 + (k + 2) =2kx<D,将代入(k1)