公开课平面向量的数量积

1、平面向量的数量积教学目标1. 理解并掌握平面向量的数量积、几何意义，掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，会初步使用平面向量 的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。2. 通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯。3 教学重点：平面向量的数量积定义4 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用5 授课类型：新授课教 具：多媒体教学设计一、复习引入：1 向量共线定理：向量 b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使b =入a。2.实数与向量的积：实数 入与向量a的积是一个向量，记作： 入

2、aI(1) |入a |=|入| a | ； (2)入>0时入a与a方向相同；入<0时入a与a方向相反；特别地，当入=0或a =0I时，入a = 07O3. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA = a , OB = b，则Z AOB = 9 (o< 9 < n ) 叫 a与b的夹角。二、问题情景如图p103所示，一个力F作用于一个物体，使该物体发生了位移S,如何计算这个力所做的功由于图示的力F的方向与前进方向有一个夹角9，真正使物体前进的力是 F在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力F做的功即力F使物体位移S所做的功 W可用下式计算.W=|

3、S II F | cos 9 其中丨F| cos 9就是F在物体前进方向上的分量，也就是力F在物体前进方向上正射影的数量。问题：像功这样的数量值，它由力和位移两个向量来确定。我们能否从中得到启发，把“功”看成这两个向量的 一种运算的结果呢？三、建立模型1. 学生自己从“功”的模型中得到如下概念：已知两个非零向量 a与b，把数量I a I I b I cos 9叫a与b的数量积(内积)，记作 a b =I a II b I cos 9 .其中9是a与b夹角，I a I cos 9 (I b I cos 9 )叫a在b方向上(b在a方向上) 的投影。I I规定0与任一向量的数量积为 o由上述定义可

4、知，两个向量 a与b的数量积是一个实数。2探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别。(1 )两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosr的符号所决定。(2) 两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积 a X b，而a b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“x”代替.II(3) 在实数中，若 a=o，且ab=0,则b=0；但是在数量积中，若 a=0，且a b =0,不能推出b =0 .因为其中cos 7有可能为0.（4）已知实数 a、b、c（b0），则 ab=bc = a=c.但是 a b = b 总

5、s a = c亠NNN!N!N如右图：a b =| a| b|cos : = | b |0A|, b c= | b II3|cos :. = | b |0A|在实数中，有（ab）c =显然,a（bc），但是（a b）c = a（ b c ）这是因为左端是与 c共线的向量，而右端是与a共线的向量,而一般a与C不共线.3 “投影”的概念：作图IB）定义:| b |cos 7叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当二为锐角时投影为正值；当 二为钝角时投影为负值；当 ，为直角时投影为o；当二=0时投影为| b | ；当二=180时投影为b |.4 .向量的数量积的几何意义:数量积a

6、b等于a的长度与b在a方向上投影| b |cos二的乘积.5.学生自主思考讨论两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量， e是与b同向的单位向量a = a e =| a|cos v2 a_b ：= a b = 03 当a与b同向时，a b = | a| b | ；当a与b反向时，a b = -| a| b |.特别的a a = | a|或 i a i 二a4 cos v = a 2|a|b|5| a b |<| a II b丨（这与实数丨ab | = | a | b丨不同）.四、解释应用例题例 1 已知 | a|=4, | b |=5 , a与 b 的夹角 9 =60°,

7、求 a b。解：a b = | a| | b |cos 9 = 4 x 5xcos60 °=5x 4 x（ 1/2 ） = 104 二3例 2 已知 | 8|=3, | b |=5 , a与 b 的夹角 9 =30°,求 c b。-34 逅解：a b = | a| | b |cos 9 = 3 x 5x cos30 ° =3 x 5x（V 3/2 ） = 10练习1. 已知| a | = 3, b在a上的投影为一2,求：(1) a b .(2) a在b上的投影.例3.已知| a | = 3,| b | = 6,当a / b，a丄b，a与b的夹角是60°时

8、，分别求a b .解：当a / b时，若a与b同向，则它们的夹角 e = 0° ,a b = | a | b | cosO°= 3x 6x 1= 18；若a与b反向，则它们的夹角 e = 180°, a b = | a | | b | cos180°= 3x6x( -1)= 18； 当a丄b时，它们的夹角 e = 90°, a b = 0 ； 当a与b的夹角是60°时，有- - - - 1a b = | a | | b | cos60°= 3x 6x= 92评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0°, 1

9、80°，因此，当a / b时，有0°或180°两种可能.五、建立向量数量积的运算律1. 出示问题：从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更富有意义.回忆实数的运算律，你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗？它们成立吗？为什么？2. 学生类比实数运算律得到数量积的运算律1已知：向量a, b , C和入 r，贝y(1) a b = b a (交换律).(2) (入a) b =入(a b ) = a (入b )(数乘结合律).(3) ( a + b ) C = a C + b C (乘法对加法的分配律).I ii

10、思考：(1)向量的数量积满足结合律，即( a b ) C = a ( b C )吗？(2)向量的数量积满足消去律，即如果 a b = d b，那么a = d吗？平面向量数量积的运算律1 .交换律：a b = b a证：设 a, b 夹角为二则 a b = | a| b |cos 二 b a = | b | a|cos v a b = b a2 .数乘结合律：(，a) b =，( a ) = a( b )证：若 > 0, ( a) b = | a| b |cos 乙 ( a b ) = ' | a| b |cos 二 a( b ) = ' | a| b |cos 若 <

11、; 0 , ( a) b =| ' a | b |cos(二-v) =| a | b |( cost) = ' | a | b |cos v, ( a b )= | a| b |cos ka ( b ) =|all b|cos(二-T1)=a| b |(-cos T' | a| b |cos v.3 .分配律：(a +b ) C =aC+ bL c在平面内取一点o作oA=a,AB =b ,oc= C：,/ a + b (即OB)在c方向上的投影等于 a、b在c方向上的投影和，即ia +b | cosT1 =| a| cos二 + | b | cos RI C | a +

12、 b | cos 二=| C | | a| cos t + | C | | b| cos 予,N!IN!(a + b)C = a C + b CN!N!说明：(1 )一般地，(a b ) C 工 a ( b C)(2) a C = b C , C 丰 6印 a = b C ( a +b ) = C a+ C b即:1 ?" ?(3)有如下常用性质：a =| a | ,!_I!aa(a + b ) ( C + d ) = a C + a a + b C + bz N-* 厂 厂 2(a + b ) = a + 2a b + b例题1. 对实数a,b，有(a+b)2 =a2+2ab+b2

13、, (a+b)(a b) = a2 b2 类似地，对任意向量 a, b也有类似结论吗？为什么？2. 已知 | a | = 6,| b | = 4, a , b= 60°,求(a + 2b )( a 3b ).解:已知a、b都是非零向量，且由(a + 3 b )(7 a _ 5 b ) = 0a - 4 b )(7 a - 2 b ) = 0 二 7-* 2两式相减：2 a b = b代入或得：a2 = b 2a + 3 b 与 7a - 5 b 垂直，a - 4- 2_ 27 a + 16 a b -15 b = 0_ 2ab与7a - 2 b垂直，求a与b的夹角设 a、b的夹角为 二贝U cos二= ： 仝|a|b|2b21b 二 1宀=602|b|22课后练习? b F b1.已知 a =2,|b| =3, a ba bb的夹角2lb-a -2a_b b =7 = cos a,b