三线摆测量转动惯量

1、1三线摆测量转动惯量(Determination of the Moment of Inertia, Using aTrilinear T orsion Pendulum )转动惯量是表征刚体转动特性的物理量，是研究、设计、控制转动物体运动规律的重 要参数。如钟表摆轮的体形设计，直升机的螺旋桨、枪炮的弹丸、机器零件的设计，导弹 和卫星的发射、控制等，必然涉及转动惯量的大小。因此测定物体的转动惯量具有重要的 实际意义。转动惯量与刚体的总质量、形状和转轴的位置有关。对于形状较复杂的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，一般采用实验方法测定。测定刚体转动惯量的实验方法有多种，如三 线摆法、转动惯量仪法及

2、扭摆法等。本实验采用三线摆法，其特点是操作简单，对于形状 较复杂的刚体，如枪炮、弹丸、电动机转子、机器零件等都可以测量出其转动惯量。实验目的1 学习用三线摆测定物体的转动惯量。2 验证转动惯量的平行轴定理。仪器用具转动惯量测定仪一台（图 3.4-1 ）、圆环（一个）、圆柱体（两个）。789MS-1 多功能毫秒仪次数预置+5VGND IN PU T 输入低电平 查阅-R ESET查阅+图 3.4-11-启动盘锁紧螺钉；2-摆线锁紧螺钉；3-启动盘；4-摆线调节螺钉；5-摆线；6-悬盘;7-磁钢（粘于悬盘下面）；8-霍尔探头；9-支架调节螺钉；10-MS-1型多功能毫秒仪实验原理刚体对转轴的转动惯

3、量等于组成刚体的各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘 积之和。由上述定义可知，转动惯量与刚体的质量分布及转轴位置有关；刚体系统对转轴 的转动惯量等于系统中每一刚体对该轴的转动惯量之和。一测定物体的转动惯量。两半径分别为r 和 R （ R，.r J的刚性均匀圆盘，用均匀分布的三条等长丨的无弹性、无质量的细线相连，半径为r 的圆盘在上，作为启动盘，其悬点到盘心的距离为r ;半径为R 的圆盘在下，作为悬盘，其悬点到盘心的距离为R。将启动盘固定，则构成一振动系统，称为三线摆（图3.4-2 ）。当施加力矩使悬盘转过角 二后，悬盘将绕中心轴00 做角简 谐振动。如图3.4-2所示，当悬盘转过 v角时，

4、悬线点A上升到A',悬盘上升高度为H。贝U2 2 2hi =l (R _r)可得：当二很小时，括号中第二项远小于2 2 2 2 . 2 .h2 =1 (R +r 2RrcosO)=h1 2Rr(1cos 日)(3.4-1)11H =n h2 =0 h； 2 Rr (1 cos v)2 =n h1,作近似1 2Rr (1 -cos H)=Rr(1cosy ( 3.4-2 )hi2h1式中，h1为两盘静止时的垂直距离，V和H均为时间的函数。因系统遵从机械能守恒，则对悬盘有下式1 . 2 . . 1Jo m°gH m°vm°gH °2 2(343 )式

5、中，H为悬盘转到角V时上升的高度，Ho为悬盘上升的最大高度，mo是悬盘的质量，Jo是悬盘绕中心轴的转动惯量，是悬盘转至角 二、上升至H时的角速度 空,v是 悬盘的上升速度dHdt将式（3.4-2dH。）和式（3.4-3 ）分别对时间微分，经合并整理,d vmogRr 一rdt此式表明，悬盘在作角简谐振动，其振动周期为Jo hi2Rr (1 cos2振动图法342动惯量三线摆(3443#To =2 7：i_jJ 0mogRr因此，可知悬盘空载时绕中心轴作扭转摆动时的转动惯量mogRr 2Jo - - To4兀hi由式（345 ）可以看出，振动系统的周期将取决于结构参数 R , r , h1和振子

6、（悬盘） 的质量m0及转动惯量J0 （而转动惯量又与质量和质量分布状况有关） 。如果将质量为m,， 转动惯量为J,的圆环放在悬盘上，则新振子质量为 mo + mi，转动惯量为J°+Ji，则此新振 动系统的振动周期将发生改变Ti=2 二hi(Jo - Ji)(mo - mi )gRr(347)若悬盘的m0、Jo为已知，可用比较法求得 解，得Ji，即联立式（3.4-5 ）和式（3.4-7 ）求Jimi)Jomo2miTi) 2moTo(348)5#测出mi、To、Ti后代入式（3.4-8 ）即可求得Ji。二.验证转动惯量的平行轴定理。刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行

7、的轴的转动惯量Jc加上刚体质量与两轴间距离h的二次方的乘积，即这就是平行轴定理。J 二 Jc-mh在验证转动惯量的平行轴定理时，将两个直径为D柱、质量都为M2 ,形状完全相同的圆柱体对称地放置在悬盘 B上，使圆柱体的中心轴到转轴的距离为d。则两圆柱体和悬盘共同绕转轴的转动惯量J2为J2J柱 J。Jmo 2M2)gRrT2224 二 h1式中，T2为该系统绕轴的摆动周期。由此，可测定一个圆柱体移轴后的转动惯量i (m。+2M 2) gRr T2J 柱 N 不T2o(3.4-9 )J柱(3.4-iQ )根据转动惯量的平行轴定理，可以计算转动惯量的理论值22d(3.4-ii )其中M 2r柱是圆柱体

8、对其中心轴的转动惯量。2实验内容i.调节三线摆。以水平仪为参照，首先通过调整底盘三个黑色螺母调整启动盘水平，然后通过调整启动盘的摆线调节旋钮改变悬线的长度，来调整悬盘水平。2.调节霍尔探头和毫秒仪。#使其恰好在悬盘下面粘着的小磁钢的下方5mm左右，此时毫(1) 调节霍尔探头的位置, 秒仪的低电平指示发光管亮。 调节毫秒仪的次数为“ 20”次，然后按 RESET键复位3. 测量悬盘的转动惯量j0(1)见图3.4-3，分别测量启动盘和悬盘的三个悬点之间的距离(启动盘分别为 a、a2、a3，悬盘分别为bi、&、b3)，用游标卡尺测 量悬盘的直径d1。根据r 3b和r -a计算悬点到盘中心的距

9、3 3(2)用米尺测量启动盘、悬盘之间的距离h1。(3)记录悬盘的质量mo。离r及R。#(4)测量悬盘摆动周期t0。轻轻旋转启动盘，使悬盘作扭转摆动(摆角小于50)，记录10个周期的时间10T0，测量多次。(5)计算悬盘转动惯量j0 ,根据转动惯量定义计算出转动惯量的理论值J0，将二者进行比较。4. 测量圆环的转动惯量 j1。(1) 在悬盘上放上圆环并使它的中心对准悬盘中心。(2) 测量悬盘加圆环的扭转摆动周期10t1，测量多次。(3) 用游标卡尺测量并记录圆环的内、外直径D内和D外，测量多次。(4) 计算圆环转动惯量 J1，根据转动惯量定义计算出转动惯量的理论值J；，将二者进行比较。5.验证平行轴定理。(1) 将两个相同的圆柱体按照悬盘上的圆刻线对 称地放在悬盘上，使圆柱体的外边缘与刻线相切，则 两圆柱体中心轴线的距离 2d =D槽_D柱。D槽为悬点 所在圆的直径(图 3.4-4 )。(2) 测量扭转摆动周期10T2，测量多次。(3) 测量圆柱的直径D柱和悬盘上刻线直径D槽，各测多次。记录两个圆柱体的总质量2M2。计算圆柱体的转动惯量J柱，并