人大版微积分第三版课件习题课第8章

1、主要内容主要内容平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极限运算极限运算多元连续函多元连续函数的性质数的性质多元函数概念多元函数概念全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性方向导数方向导数全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用多元函数多元函数的极值的极值定义定义 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为),(,000yxPD是其是其 聚点，如果对于任意给定的正数聚点，如果对于任意给定的正数 ，总

2、存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxPP 的一切点，都有的一切点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A 为为 ),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，记为时的极限，记为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf这里这里|0PP ）. . 二元函数的极限二元函数的极限说明：说明：（1 1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2 2）二元函数的极限也叫）二元函数的极限也叫二重极限二重极限);,(lim00yxfyyxx（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函

3、数的极限运算法则与一元函数类似（4）二重极限的）二重极限的几何意义几何意义： 0， P0 的去心的去心 邻域邻域 U(P0, )。 在在U(P0, )内，函数内，函数),(yxfz 的图形总在平面的图形总在平面 Az及及 Az之间。之间。,)(lim0AxfPP . )() ( 0PPAxf以以某某种种方方式式趋趋于于Axfyyxx )(lim00Ayxfyyxx ),(lim00) (0Px轴轴沿平行沿平行Ayxfyyxx ),(lim00) (0Py轴轴沿平行沿平行) )( (000Pxxkyy 沿沿Ayxfxx ),(lim0000)(yxxky ( (2 2) ) 找找两两种种不不同同

4、趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但 两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP 处处极极限限不不存存在在 确定确定极限不存在极限不存在的的方法方法：(1) (1) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趋向于趋向于),(000yxP， 若极限值与若极限值与k有关，则可断言极限不存在；有关，则可断言极限不存在； 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其聚是其聚 点且点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元元 函数函数)(Pf在点在点0P处处连续连续. . 二元函数

5、的连续性二元函数的连续性定义定义(1) 函数函数),(yxf在在),(000yxP点有定义；点有定义； (2) ),(lim00yxfyyxx存在；存在； (3) ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 。 则称函数则称函数),(yxf在点在点),(000yxP连续连续. . 定义定义设设0P是函数是函数)(Pf的定义域的聚点，如果的定义域的聚点，如果)(Pf在点在点 0P处不连续，则称处不连续，则称0P是函数是函数)(Pf的的间断点间断点. . 注意注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。在曲线上的所有点处均间断

6、。在在定义区域内的定义区域内的连续点求极限可用连续点求极限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定义区域定义区域 PPfPfPP闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（1 1）最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2 2）介值定理介值定理偏

7、导数的定义偏导数的定义xyxfyxxfxfxyyxx ),(),(lim0000000),(yxfz yyxfyyxfyfxyyxx ),(),(lim0000000),(00yxfx ),(00yxfy xyxfyxxfxfx ),(),(lim0yyxfyyxfyfx ),(),(lim0),(yxfx ),(yxfy 时，时，求求 xf 只要把只要把 x 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。时，时，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。注意：注意

8、：偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分; ; 有关偏导数的几点有关偏导数的几点说明说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为 混合偏导混合偏导高阶偏导数高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数. .( 注意注意：混合偏导数相等的条件：混合偏导数相等的条件)如果函数如果函数),(yxfz 在点在点

9、),(yx的全增量的全增量 ),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为 )( oyBxAz ， 其中其中BA,不依赖于不依赖于yx 、而仅与而仅与yx、有关，有关， 22)()(yx ，则称函数，则称函数 ),(yxfz 在点在点 ),(yx 可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数 ),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 全微分的定义全微分的定义. yBxAdz 定理定理 1 1（可微分必要条件可微分必要条件） 如果函数如果函数),(yxfz 在在 点点),(yx可微分，则该函数在点可微分，则该函数在点),(yx的偏的偏 导数导数xz 、yz

10、必存在，且函数必存在，且函数),(yxfz 在点在点),(yx的全微分为的全微分为 .dyyzdxxzdz 定理定理（可微分的充分条件可微分的充分条件）如果函数）如果函数),(yxfz 的偏导数的偏导数xz 、yz 在点在点),(yx连续，则该函连续，则该函 数在点数在点),(yx可微分可微分 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，则具有连续偏导数，则 u，v 不论不论是是 自变量自变量还是还是中间中间变量变量，总总有全微分有全微分 dvvzduuzd

11、z 。 -全微分形式不变性全微分形式不变性uv1、z x 型型复合函数求导法则复合函数求导法则.dxdvvzdxduuzdxdz ).( ),( ),(xvxuvufz .dxdwwzdxdvvzdxduuzdxdz 以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdzuvw型型 xz.dxdvvzdxduuzdxdz 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中ywwzyvvzyuuzyz xwwzxvvzxuuzxz zwvuyx2、z uvxy型型,xvvzxuuzxz .yvvzyuuzyz ).,( ),(),(yxvyxuvufz 0)

12、,(. 1 yxF.yxFFdxdy 隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),(. 2 zyxF.zyFFyz ,zyFFyz 多元函数的极值多元函数的极值驻点驻点极值点极值点注意：注意：极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值. . 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. . 取得极值的条件取得极值的条件( (充分条件充分条件) )某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, ,且且令令则则: : 的的在点在点若若),(),(00yxyxfz 0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy2( , )( , )( , )( , )xyxxyyP x

13、 yfx yfx y fx y00(1)(,)0,P xy当时 有极值0000(,)0(,)0 xxxxfxyfxy时有极大值且时有极小值00(2)(,)0,P xy当时 无极值00(3)(,)0,P xy当时 不能确定 需另行讨论求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组 0),(0),(yxfyxfyx第三步第三步 对于每个驻点，定出对于每个驻点，定出00(,)P xy的符号的符号,再判定再判定是否是极值是否是极值 求求出出驻驻点点可可能能极极值值点点条件极值拉格朗日乘数法条件极值拉格朗日乘数法要要找找 ),(yxfz 在在条条件件 0),(

14、 yx 下下的的可可能能极极值值点点, , 先构造函数先构造函数 ),(),(),(yxyxfyxF ，其中，其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , , yx，其中，其中yx ,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标. . 要找要找 ),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ， 0),( tzyx 下的极值下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF),(),(21tzyxtzyx 其中其中21 , 均为常数。均为常数。 . 0),(, 0),(, 0),(,

15、 0),(, 0),(, 0),(tzyxtzyxtzyxFtzyxFtzyxFtzyxFtzyx 求解方程组求解方程组解出解出tzyx , , ,， 即得即得可能可能的的极值点极值点 的的坐标坐标. . 第六章 习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数学多元函数学一、一、 基本概念基本概念连续性连续性 偏导数存在偏导数存在 方向导数存在方向导数存在可微性可微性1. 多元函数的定义、极限多元函数的定义、极限 、连续、连续 定义域及对应规律定义域及对应规律 判断极限不存在

16、及求极限的方法判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质函数的连续性及其性质2. 几个基本概念的关系几个基本概念的关系机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1. 已知已知求出求出 的表达式的表达式. ),(yxf解法解法1 令令,yxu),(vuf)(uvu即即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解法解法2 )()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下与解法以下与解法1 相同相同., )(),(22yxyxyxyxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,则则xx )(且且,yxv)()()(241241uvu

17、vu机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构显示结构隐式结构隐式结构1. 分析复合结构分析复合结构(画变量关系图画变量关系图)2. 正确使用求导法则正确使用求导法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”注意正确使用求导符号注意正确使用求导符号3. 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 uv1、z x 型型复合函数求导法则复合函数求导法则.dxdvvzdxduuzdxdz ).( ),( ),(xvxuvufz .dxdwwzdxd

18、vvzdxduuzdxdz 以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdzuvw型型 xz.dxdvvzdxduuzdxdz 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中ywwzyvvzyuuzyz xwwzxvvzxuuzxz zwvuyx2、z uvxy型型,xvvzxuuzxz .yvvzyuuzyz ).,( ),(),(yxvyxuvufz 0),(. 1 yxF.yxFFdxdy 隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),(. 2 zyxF.zyFFyz ,zyFFyz 练习题练习题1. 设函数设函数 f 二阶连续可微二阶连续可微,

19、求下列函数的二阶偏导数求下列函数的二阶偏导数.2yxz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解答提示解答提示: )() 1 (2xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2yxz2yxz2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22第第 1 题题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2222fxyyxz) (2xy21f 2222fxy : ),()3(2xyxfz 22fxyyz机

20、动 目录 上页 下页 返回 结束 t dtteyxezxxyx0sin, 2),(zyxfu 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 , )(xyy 及及)(xzz 分别由下两式确定分别由下两式确定求求.ddxu又函数又函数答案答案:d()1dsin()xxyzuyexzfffxxxz( 2001考研考研 ）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4. 设设三、多元函数微学的应用三、多元函数微学的应用. 极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法求条件极值的方法 (消元法消元法, 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法) 求解最

21、值问题求解最值问题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 多元函数的极值多元函数的极值驻点驻点极值点极值点注意：注意：极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值. . 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. . 取得极值的条件取得极值的条件( (充分条件充分条件) )某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, ,且且令令则则: : 的的在点在点若若),(),(00yxyxfz 0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy2( , )( , )( , )( , )xyxxyyP x yfx yfx y fx y00(1)(,)0

22、,P xy当时 有极值0000(,)0(,)0 xxxxfxyfxy时有极大值且时有极小值00(2)(,)0,P xy当时 无极值00(3)(,)0,P xy当时 不能确定 需另行讨论求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组 0),(0),(yxfyxfyx第三步第三步 对于每个驻点，定出对于每个驻点，定出00(,)P xy的符号的符号,再判定再判定是否是极值是否是极值 求求出出驻驻点点可可能能极极值值点点条件极值拉格朗日乘数法条件极值拉格朗日乘数法要要找找 ),(yxfz 在在条条件件 0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点, , 先构

23、造函数先构造函数 ),(),(),(yxyxfyxF ，其中，其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , , yx，其中，其中yx ,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标. . 要找要找 ),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ， 0),( tzyx 下的极值下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF),(),(21tzyxtzyx 其中其中21 , 均为常数。均为常数。 . 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(tzyxtzy

24、xtzyxFtzyxFtzyxFtzyxFtzyx 求解方程组求解方程组解出解出tzyx , , ,， 即得即得可能可能的的极值点极值点 的的坐标坐标. . 例例5.0zxy axya求函数求函数的极值的极值解：解：2261zyxd设设为抛物面为抛物面上任一点，上任一点， 则则 P ),(zyxP22yxz的距离为的距离为022zyx问题归结为问题归结为(min)22(2zyx约束条件约束条件:022zyx目标函数目标函数:作拉氏函数作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到平面到平面例例6.22yxz求旋转抛物面求旋转

25、抛物面与平面与平面之间的最短距离之间的最短距离.解：解：2261zyxd设设为抛物面为抛物面上任一点，上任一点， 则则 P ),(zyxP22yxz的距离为的距离为022zyx问题归结为问题归结为(min)22(2zyx约束条件约束条件:022zyx目标函数目标函数:22 zyx作拉氏函数作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到平面到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令令22yxz解此方程组得唯一驻点解此方程组得唯一驻点02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)2

26、2(2xzyxFx由实际意义最小值存在由实际意义最小值存在 ,241414161mind647故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、一、 选择题选择题: :1 1、 二元函数二元函数22221arcsin4lnyxyxz 的定义的定义 域是域是( ).( ). （A A）4122 yx； （B B）4122 yx； （C C）4122 yx； （D D）4122 yx. . 2 2、设、设2)(),(yxyxxyf , ,则则 ),(yxf( ).( ). （A A）22)1(yyx ； （B B） 2)1(yyx ； （C C） 22)1(xxy ； （D D）

27、 2)1(yxy . .测测 验验 题题 3 3、 22)(lim2200yxyxyx( ).( ). (A) 0 (A) 0 ； (B) 1 (B) 1 ； (C) 2 (C) 2 ； (D) (D) e . . 4 4、函数、函数),(yxf在点在点),(00yx处连续处连续, ,且两个偏导数且两个偏导数 ),(),(0000yxfyxfyx存在是存在是),(yxf在该点可微在该点可微 的的( ).( ). （A A）充分条件）充分条件, ,但不是必要条件；但不是必要条件； （B B）必要条件）必要条件, ,但不是充分条件；但不是充分条件； （C C）充分必要条件；）充分必要条件； （D

28、D）既不是充分条件）既不是充分条件, ,也不是必要条件也不是必要条件. . 5 5、设、设),(yxf 0, 00,1sin)(22222222yxyxyxyx 则在原点则在原点)0 , 0(处处),(yxf( ).( ). (A)(A)偏导数不存在；偏导数不存在； (B) (B)不可微；不可微； (C) (C)偏导数存在且连续；偏导数存在且连续； (D) (D)可微可微 . . 6 6、设、设),(),(yxvvvxfz 其中其中vf ,具有二阶连续偏具有二阶连续偏 导数导数. .则则 22yz( ).( ). (A) (A)222yvvfyvyvf ； (B) (B)22yvvf ； (C

29、) (C)22222)(yvvfyvvf ； (D) (D)2222yvvfyvvf . . 7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面与三个坐标面所围的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积成的四面体的体积 V=( ).V=( ). (A) (A) 323a； (B) (B) 33a； (C) (C) 329a； (D) (D) 36a. . 8 8、二元函数、二元函数33)(3yxyxz 的极值点是的极值点是( ).( ). (A) (1,2) (A) (1,2)； (B) (1.-2 (B) (1.-2 ) )； (C) (-1,2) (C) (-1,2)； (D) (-1,-1)

30、. (D) (-1,-1). 9 9、函数、函数zyxusinsinsin 满足满足 )0, 0, 0(2 zyxzyx 的条件极值是的条件极值是 ( ).( ). (A) 1 (A) 1 ； (B) 0 (B) 0 ； (C) (C) 61 ； (D) (D) 81 . .1010、将二次积分、将二次积分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改换积分次序改换积分次序, , 应为应为_._. 1111、 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分为化为极坐标形式的二次积分为_._. 二二、求下列函数的一阶偏导数、求下列函数的一阶偏导数: : 1 1、yxzln ； 2 2、),(),(yxzxyzxyxfu ； 3 3、 000),(2222222yxyxyxyxyxf . . 三、设三、设),(zxfu , ,而而),(yxz是由方程是由方程)(zyxz 所所 确的函数确的函数, ,求求du . . 四四、设、设( , , ),