典型例题复数问题中的化虚为实策略

1、复数问题中的化虚为实策略由于复数是随着数学自身和生产、科学的发展需要而在实数的基础上扩充 的，因而与实数有着密切联系，所以许多复数问题如能依据问题的条件特征及有 关的复数知识化虚为实，及时转化为实数问题来处理，则能迅速找到解题的突破 口，使问题顺利快捷获解，下面谈谈化虚为实的策略求解复数问题的技巧。一、紧扣复数相等化虚为实由题目的条件转化为复数相等，利用方程的思想化虚为实1x - 2m = 0x . x2 y2 =2，y=!例1、已知实数x,m满足2x2 -(2i -1)x m -i =0 , J则m及x的值是解析：T (2 x2 x m)-(2x 1)i =0，二 2x x m = 

2、6;，、2x+1=0例2、设复数z满足z | z2 - i，那么z等于(C、解析：设z = x yi(x, y R)，则有x2 y2 y2 i，33解得y1，故选D。、利用z；=|z|2 ”化虚为实注意利用共轭复数的性质zz=|z|2化为复数模(即实数)的运算，常能使解 题简捷而巧妙。例3、设i是虚数单位，复数z和满足z2iz - 2i，1 = 0，且| z , 3 二 277 2i(z 虫=27, | -4i|=3、3。求证：的值是一个常数，并求出这个常数。解析：z，2iz-21 = 0， | z |3， zz=|z|2=3，z 2i2iz1. 2iz+3,2 3(2iz + 3) 3(2i

3、z +3)z 2i9 21 6i(zp)7 2i(z-z)z2iz 2iz - 2i9(2iz 3)(-2iz 3) 4zz 6i(z-z) 9 4 3 6i(z-z) 9(z-2i)(z 2i)zz 2i(z-z) 43 2i(z-z) 44zz 6i (z - z) 97 2i(z -z)三、利用复数的几何意义化虚为实由于复数与复平面上的点及向量建立了对应关系， 从而使许多复数冋题具有明显的几何意义，故利用复数的几何表示化虚为实， 则可巧获直观、明快的解题 捷径。例4、已知|z|=2，求|z-i|的最大值与最小值。解法一、丨z| = 2，复数z对应的图形是以原点为圆心，半径为2的圆，z-i

4、对应的是以i为起点，z （在上述圆上）为终点的向量，|z i|是上述向量的长度,由图1所示，其最大为3，最小为1。解法二、|z|=2，z对应点构成圆，那么z-i点对应的图形便是将上述的圆 下移一个单位距离，于是|z-i|便是以0为起点，以上述平移后得到的圆上的点z-i为终点的向量长度，如图2所示，|z-i|的最大值为3,最小值为1。四、取模法化虚为实如上述例3可用取模法来解：解析：由条件2，- -4i一如：32 3)，设 z3x y)，z-2iz-2i2i-zx2 +y2 =1,贝U|2i -z| |2/yi 3 | 7 4 丁 , |2iz+3|=|3 23y+ 23xi |二、3(7-4

5、3y)，所以 | -4i |=3、3(7一4=览弋.3j7_4V3y点评：本题解法是将 -4i的表达式写出来，分子、分母分别求模，问题速 解，充分体现了取模法易入手，易理解，易完成的特点。五、发掘隐含条件化虚为实有意识地发掘和洞察复数问题中的隐含条件， 搜寻问题中潜在实数信息化虚 为实，往往能突破常规束缚，找准突破口，从而获得新颖简捷的解题途径，简化 求解过程。例5、求同时满足下列两个条件的所有复数 z，（ 1）实部和虚部都是整数。解析：设z“，得z2 -tz 10，由条件（1）101 ： z 6 ； （ 2） z 的z易知t R且1：t乞6，所以方程的判别式八“2 “ 0，故由求根公式得2'4°" i，又根据条z件（2）知-，40 "均为整数，所以t=2或t=6，故所求的复数为z=1