实变函数习题解答

1、1、证明 A Y(B I C) = (AYB) I (AYC)证明：设 xw AY(B 1 C),贝UxwA或 xw(B I C),若 xw A,贝U xw AY B,且 xw AY C, 从而 xw(AYB)I (AI C)。若 xwBI C,贝 U x B 且 xw C,于是 xw AY B 且 xw AY C, 从而 xw(AY B) I (AYC),因此AY (B IC) u (A Y B) I (AYC) (1)设 xw(AYB) I (AYC),若 xwA,则 xAY (B I C),若 xA,由 xAYB 且xwAYC知xwB且xwC,所以xBI C,所以xAY(B 1 C),因

2、止匕(AYB) I (AYC) u AY (BI C) (2)由(1)、(2)得，AY(B I C)=(AYB) I (AYC)。2、证明A B= A- (A I B) = (AYB) BAI (B C) = (A I B)-(A I C)(A B) O A- (BYC) A (B-C) = (A-B)Y(AI C)(A B) I (CD)=(A I C) (BY D)A (A B)=AI B84 明： A(AI B) = AI C(AI B) = AI (CAY CB)=(A ： CA”(A 1 CB)= (A 1 CB)= A- B(AYB) B= (AYB) I CB= (A I CB)

3、Y (B I CB)=(A I CB)Y 4 = A B(A I B) - (A I C)= (A I B) I C(AI C)二(A I B) I (CAY CC)= (A I BI CA)Y (A I B I CC)= ® Y A I (B I CC)=AI (B C)(A B) O (A I CB)I CO AI C(BY C)=A- (B1C)A (B C) = AI C(BI CC)= Al (CBY C)=(A I CB) Y (A I C) = (A B) Y (A I C)(A B) I (CD)=(A I CB)I (CI CD)=(A ' C) '

4、 (CB' CD)= (A ' C) ' C(B D)二(A I C)-(BYD)A (A B) = AI C(AI CB)= Al (CAY B)=(A I CA) Y (A I B) = 4 Y (A I B) = Al B 3、证明：(AYB) O (A-C)Y(B-C)A (BYC) = (AB) I (A-C)证明：(AYB) C= (AYB)ICC=(A I CC)Y (B I CC)= (A-C)Y (85- C)(AB) I (A C) = (A I CB)I (A I CC)=(A I A) I (CBI CC)= Al C(BYC) = A (BY

5、C)4、证明：Cs( Y Ai) = C Cs Ai i 1i 1证明：设 xwCs( Y Ai),则x WY Ai ,于是，口、x e Ai ,从而 x w C A,所以，xw IC Ai,所以，Cs( Y Ai) U I Cs Ai 。00x w- Y Ai ,即 xW C( Y Ai),设 x W Cs Ai ,则 Vi、x w C A，即 X w- a，于是,所以 C Ai =i =1C( Y Ai),由以上两步得i =1Cs( . A)=i T00:Cs Aii=15、证明:D( Y AJB=:*N(I_A3B=上(A-B)证明：(1产N(A/CB尸 & (3B)(I Ao)

6、 B= ( I Aa) I CB 岂: N：- N=工"加工 B)n6、设An是一列集合，作B1=A1 , Bn = An-( Y Ak) n>1。证明Bn是一列互 k4nn不相交的集，而且 Y Ak = Y Bk, n=1, 2, 3, k 1k 1证明：设i w j ,不妨设i<j ,因为Bj87Aij iBi Bj A Aj-( V Ak) k=1j=Ai Aj '. (CAk)k 1 j 二=Ai： Aj - CAi( ：CAk)=(Ai1CAi) ：Ajk 1 kCjj 1 (CAk)=Aj ", ( ", Ak)=k 1k 1k-i

7、盘Bi I Bj=*, Bn互不相交。nnBi u A ,Y A=Y Bk 。 kWk 1ni -1另一方面，设x W Y Ak ,则存在最小的自然数i,使xA, xY A, k 1k Ti 1nx 匚 Ar? * Ak = Bi B Bk,88 k 1k 1k =1AkBknY kdnAk = - Bkk=1,求出集列 An的上限集1、7、坟 A2n4=(0, n)，A2n=(0，n)，n =1 , 2,和下限集。一1、，一、斛： n。 -A2n ,1 =(0 , n )，A2n =(0 , n ), .A2n 4 匚 A2n °Y Am=Y (A2mY A2m尸 Y Azm= Y

8、 (0, m) = (0 , oo) mHmHm才m才lim An= I Y Am= I (0, °°)=(0 , 00)n)二二n 1 m -nnJAm=( A2m J.cQA2m尸A2mm印m)=QO oolim An=1n 4 m -nqQAn = J =n =1898、证明:OO QOxW 11mL Am，lim An= : ： AmcOx ： Am 二二m印n )： ： n 4 m znlim An=> n n , vm>n,有 xWAmn n n , n j二二QO QQlim An = Y I Am 。n >: ： n z! m=n9、作出一

9、个（一1, 1）和（一8, +oo）的11对应，并写出这一对应的解析 表达式。解：y=tgex, x11, 1）, 丫（一8, 十°°）。10、证明将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的。证明：用P表示在球面上挖去的那一点，P与球心。的连线交球面于 M过M 作球面的切平面，过P点和球面上任一点N引直线，该直线与平面交于N',将N 与N '对应，P与M对应，则球面上的点与整个平面上的点用上述方法构成一个对应，由对等的定义，挖去一点的球面与平面是对等的。90、证明由直线上互不相交的开区间作为集 A的元素，则A至多为可数集。证明：

10、由有理数的稠密性知，在每一区间中至少含有一个有理数， 在每一开 区间中任取一有理数与该区间对应， 由于开区间互不相交，故不同开区间对应不 同的有理数，但有理数全体为一可数集，其子集至多是可数集，所以直线上互不 相交的开区间作成的集至多是可数集。12、证明所有系数为有理数的多项式组成一可数集。证明：以A表示这个集合，An表示n次有理系数多项式的全体，则A= Y An o n OAn由n+1个独立记号，即n次多项式的n + 1个有理系数所决定，其中首项 系数为异于0的有理数，其余系数可取一切有理数，因此，每个记号独立地跑遍 一个可数集，所以，An是可数集，A也是可数集。9113、设A是平面上以有理点（坐标为有理数的点）为中心，有理数为半径的 圆的全体，则A是可数集。证明：A中任一元素由三个独立记号（a, b, r）所决定，其中（a, b）是 圆心的坐标，r是圆的半径，a、b各自跑遍全体有理数，r跑遍大于0的有理数， 而且它们都是可数集，故 A是可数集。14、证明单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。证明：设f（X）是（一oo, +oo）上的单调增加函数，其不连续点的全体记为E