直线与双曲线的位置关系

1、椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）复习复习:相离相离相切相切相交相交直线与双曲线位置关系种类直线与双曲线位置关系种类XYO种类种类:相离相离;相切相切;相交相交(0个交点，一个交点，个交点，一个交点，一个交点或两个交点一个交点或两个交点)位置关系与交点个数位置关系与交点个数XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交相交:一个交点一个交点相交相交:两个交点两个交点相切相切:一个交点一个交点思考：如何通过研究方程判断思考：如何通过研究方程判断直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关

2、系消去 ，得22222222y = kx+ my = kx+ my:y:xyxy-=1-=1abab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为二次项系数为0时，时，L与双曲线的渐近线平行与双曲线的渐近线平行或重合。或重合。重合：无交点；重合：无交点；平行：有一个交点。平行：有一个交点。2.二次项系数不为二次项系数不为0时时,上式为一元二次方程上式为一元二次方程, 0 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0=00解：等价于4k2+20(1-k2)0 x1+x2= - 2 01-k20221k0解：等价

3、于4k2+20(1-k2)0 x1+x2= - 2 01-k2022- k0 x1x2= - 02-1k1或或k0,答案时？答案时？1k 427直线与双曲线相交中的垂直与对称问题直线与双曲线相交中的垂直与对称问题例例3.已知直线已知直线y=ax+1与双曲线与双曲线3x2-y2=1相交于相交于A、B两点两点. (1)当当a为何值时，以为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；为直径的圆过坐标原点； (2)是否存在这样的实数是否存在这样的实数a,使使A、B关于关于y=2x对称，对称， 若存在，求若存在，求a;若不存在，说明理由若不存在，说明理由.（1）解：将）解：将y=ax+1代入代入3x2-y2=1

4、(6, 6),a 又设方程的两根为又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须它有两个实根，必须0,原点原点O（0，0）在以）在以AB为直径的圆上，为直径的圆上， OAOB，即，即x1x2+y1y2=0, 即即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, (a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=1.1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a （2）（点差法或联立消元、根与系数的关系）（点差法或联立消元、根与系数的关系 ）不存在）不存在22yx4.

5、LC :1A,B35 例例 已已知知直直线线与与双双曲曲线线相相交交于于两两点点. .与与双双曲曲线线的的渐渐近近线线相相交交于于C C, ,D D两两点点, , 求求证证: :| |A AC C| |= =| |B BD D| |分析：只需证明线段分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。的中点重合即可。证明证明: (1)若若L有斜率，设有斜率，设L的方程为的方程为:y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 2AB210kbLCA,B,5k30,xx35k 与与相相交交于于两两点点22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b0yx035 2CD210

6、kbL,D,5k30,xx35k 与渐近线相交于C两点与渐近线相交于C两点可可见见A AB B, ,C CD D的的中中点点横横坐坐标标都都相相同同, ,从从而而中中点点重重合合. .(2)若直线L的斜率不存在,由对称性知结论亦成立.若直线L的斜率不存在,由对称性知结论亦成立.例例5、设双曲线、设双曲线C： 与直线与直线相交于两个不同的点相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线）求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围。的取值范围。（2）设直线）设直线l与与y轴的交点为轴的交点为P，且，且 求求a的值。的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 6(1)22ee且17(2)13a

7、综合应用综合应用双曲线第一、二定义的应用双曲线第一、二定义的应用22121200221212001.1,169:3:2(,)1,3,(,)xyPF FPF PFP x yyxF FPF PFP x y已知 为双曲线右支上的一点,分别为左、右焦点，若，试求点的坐标。2.已知双曲线左、右焦点分别为，双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且d,成等比数列，试求点的坐标.3、由双曲线、由双曲线 上的一点上的一点P与左、右与左、右两焦点两焦点 构成构成 ，求，求 的内切圆与的内切圆与边边 的切点坐标。的切点坐标。22194xy12FF、12PFF12PFF12FF说明：说明：双曲线上一点双曲线上一点P

8、与双曲线的两个焦点与双曲线的两个焦点 构成构成的三角形称之为的三角形称之为焦点三角形焦点三角形，其中，其中 和和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。定理。 12FF、12| |PFPF、12|FF1 .位置判定位置判定2.弦长公式弦长公式3.中点问题中点问题4.垂直与对称垂直与对称5.设而不求设而不求(韦达定理、点差法韦达定理、点差法)小结：小结：利用直线与方程组的解的情况，确定直线与双曲线的位置关利用直线与方程组的解的情况，确定直线与双曲线的位置关系。系。借助计算机辅助，通过直线系的不同变化形态，使学生直观借助计算机辅助，通过直线系的不同变化形态，使学生直观理解并掌握直线与双曲线的三种位置关系。理解并掌握直线与双曲线的三种位置关系。感悟几何问题代数化解法。感悟几何问题代数化解法。培养学生观察与归纳的能力、运用数形结合思想方法分析问培养学生观察与归纳的能力、运用数形结合思想方法分析问题与解决问题的能力；题与解决问题的能力；感悟数形结合的变化美、和谐美、对称美；感悟数形结合的变化美、和谐美、对称美； 知识与技能目标知识与技能目标学习目标学习目标能力目标：能力目标： 情感目标：情感目标：学习重点学习重点 理解并掌握