量子力学主要知识点复习资料

1、大学量子力学主要知识点复习资料,填空及问答局部1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子,这些线性谐振子可 以发射和吸收辐射能.这些谐振子只能处于某些分立的状态, 在这些 状态下,谐振子的能量不能取任意值,只能是某一最小能量e的整数 倍,2 ,3 ,4 , ,n对频率为n的谐振子,最小能量e为：h v2 .波粒二象性波粒二象性(wave-particle duality )是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质.波粒二象性是量子力学中的一个重要概念.在经典力学中,研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子.前者的典型例子是光,后者那么组成了我们常说的“物质.1905年,爱因斯坦提出了光

2、电效应的光量子解释,人们开始意识到光波同时具有波和粒子 的双重性质.1924年,德布罗意提出“物质波假说,认为和光一 样,一切物质都具有波粒二象性.根据这一假说,电子也会具有干预 和衍射等波动现象,这被后来的电子衍射试验所证实.德布罗意公式E mc2 h v p mv 3 .波函数及其物理意义在量子力学中,引入一个物理量：波函数 ,来描述粒子所具有的波 粒二象性.波函数满足 薛定格波动方程22i - (r,t) V(r) (r,t) 0t2m粒子的波动性可以用波函数来表示, "=尸?丁口=必；二二)|,51)其中,振幅|/(二1,二)|表 示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱.所以

3、,1以工丁一二)应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量.从这个意义出发, 可将粒子的波函数称为概率波.自由粒子的波函数k Aexpl(p r Et)波函数的性质：可积性,归一化,单值性,连续性4 .波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C是一个常此项)和野出点(x,y,z ) 附件出现概率的描述是相同的.相位不定性如巢浮数 (x,y,Z)ei ,(x,虾)和2 对华桂卦(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的.表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率2| (x, y, z)| x y z表示点(x,y,z x处z的体积元2中找到粒子的概率.也藤是液品xdyd统升

4、诠释.自然要求该粒 子在空间各点概率之总和为i 必然有以下归一化条件5 .力学量的平均值既然(；)|2| (x,y,z)|2r袋,弟z)粒子出现在点r 23* r r 3x | (r) | xd r (r )x (r )d r,附件的概率,那么粒子坐标的平均值,例如 x的平均值,由概d 3r dxdydz率论,有又如,势能V是r的函数：V(r),其平均值由概率论,可表示为 V*(r)V(r) (r)d3r V *(r)V(r) (r)d3r3p(r)p(r) (r)d r再如,动量的平均值为：I、r 、,3P( P)P (P)d p,为什么不能写成由于x完全确定时p完全不确定,x点处的动量没有

5、意义 能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？可以,但需要表示为 *(r)|? (r)d3r易动量 的算符6 .算符 量子力学中的算符表示对波函数(量子态)的一种运算 如动量算符区i 能量算符E i1自2动能算符T? 2动能平均值T*(r)T?(r)d3r2m角动量算符l? r r?角动量平均值*(r)l?(r)d3r2薛定谓方程 i T ",t 2m 2Vr,t r,tH?算符h22mrVr,被称为哈密顿算符,7 .定态A 算符,f 本征函数,a 本征值的方诧称为在征方阿.其中E E(r)H? E(r) E E(r)数学中小形如：f h 2 r2mV(r) E(r)方 称为能

6、量本征方程,Er被称为能量本征函数,E被称为能量本征值.当E为确定值,(r,t)= E(r)exp( ' Et)拨函数所描述的状态称为定态,处于定态下的粒子有以下特征：粒子的空间概率密度不随时间改变,任何不显含t的力学量 的平均值不随时间改变,他们的测值概率分布也不随时间改变.8 .量子态叠加原理但一般情况下,粒子并不只是完全处于其中的某一本征态,而是以某种概率处于其中的某一本征态.换句话说,粒子的状态是所有这些分立状态的叠加,即(X ) g n( X ), n| Cn |2表示在态(X)中发现粒子处于态n(X),具有能量En的概率9 .宇称假设势函数V (x) =V (-x),假设(

7、x)是能量本征方程对于能量本征值E的解,那么(x)也是能量本征方程对于能量本征值E的解定义空间反演算符P为：P (x)( x)如果 P (x)( x) (x)或 P (x)( x)(x),称(x)具有确定的偶字称或奇宇称,如偶宇称Pcos(x) cos( x) cos(x)奇宇称Psin(x) sin( x)sin(x)注意：一般的函数没有确定的宇称设x是能量本征方程对应于能量本征值E的解,如果 Vx V x,假设x无简并,那么 x具有确定的宇称.10 .束缚态通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态11 . 一维谐振子的能量本征值E En n 1/2 ,n 0,1,2,.12 .隧

8、穿效应量子隧穿效应为一种量子特性,是如电子等微观粒子能够穿过比 它们能量大的势垒的现象.这是由于根据量子力学,微观粒子具有波 的性质,而有不为零的概率穿过位势障壁.又称隧穿效应,势垒贯穿.根据经典理论,总能量低于势垒 是不能实现反响的.但依量子力学观点,无论粒子能量是否高于 势垒,都不能肯定粒子是否能越过势垒,只能说出粒子越过势垒 概率的大小.它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量.能量 高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反响,只能说反响概率较 大.而能量低于势垒的仍有一定概率实现反响,即可能有一局部 粒子代表点穿越势垒也称势垒穿透 barrier penetration ,好似从大山隧道通过

9、一般.这就是隧道效应. 例如应,其隧道效应就较突出.13 .算符对易式飞堀费魅展滑窗F礴足交邂,啼量子力学中的一个根本问题：对易关系对易式区间,通常坐标对易关系i , ,# i八,x,y,zH+H2低温下反x0, l,y i z,l,zi y,角动量的对易式l?,xl?,xi z,R,y i y,l?,y0, l,z i x,i x,l?,z0,l?,Px0, g,Pyi 区,l?,Pzi %,l：,PxiPz,l：,Py0, l?,PziPx,l?,PxiPy,l?z,Py iPx,lv,Pz0,l?,l?0, l?,l?0,l?,l?0,l? l?il?l?l?il? l? l?il?1

10、x , 1 y11 z, 1 y ,1 z11x , 1 z , 1 x 11 y令l?l?2学味有俨,位 0, l,l30, l?,l?014 .厄密算符平均值的性质 用那么和勺共腕转置算符及称为A的厄密共腕算符,记为A,即A = A*.先转置, 再共钝.* OO *d A?d A体系的任何状态下,其厄密算符的平均值必为实数,在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符,实验上可观测量相应的算符必须是厄 米算符.厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交.15 .量子力学关于算符的根本假设1、微观粒子的状态由波函数(描写.2 一一 、 2、波函数的模b(r,t)|表木t时刻粒子出现在空间点(x,

11、y,z )的概率.3、力学量用算符表示.4、波函数的用满足薛定格方程ih(r,t)(42 V)(r,t) H? (r,t),t2mH? 2 V(r,t) 哈密顿算符 2m16 .算符的本征方程,本征值与本征函数数学中,形gaf的方程,称为本征方程.其中A 算符,f 本征函数,a 本征值满足R A的和A不止一组,可能有n组,因此 A n An n此式称为M本征方程,An称为A的一个本征值,n称为刚一个本征态.n和A是算符曲本征态与本征值,如 果 入,都是不简并的,那么 n能构成一组正交归完备态矢,系统的任何 状态 均可展开如下:Xan n,其中,ann drn17 .不确定度关系的严格表达m绡士

12、iil罚618 .两个算符有共同本征态的条件两个算符对易,即A,囱019 .力学量完全集 假设算符的本征值是简并的,仅由其本征值无法惟一地确定其本征态.假设要惟一地确定其本征态,必须再加上另一些与之对易的算符的本征 值才可.例如,仅由？的本征值不能确定体系状态,必再加上 二的 本征值才能确定体系状态.这样,为了完全确定一个体系的状态,我 们定义力学量完全集.S-定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符L , J ,它们只有一组共同完备本征函数集,记为1能,空可以表示一组量子数,f 八 1A I给定一组量子数后,就完全确定了体系的一个可能状态,那么称i从为体系的一组力学量完全集.20 .力

13、学量完全集共同本征态的性质性有一组彼此对易的厄密算笛4,4区,它们 拥有共同本征函数%,假设应构成正交归一完备集, 使得任给体系的一个量子态上总有3=»声小那么 k彖构成体系的一组力学量完全集.假设能级简并,可以寻找另外的算符A,假设出,出二o,那么有可能用A的本征值对氏2的共同本征函数人 进行分类,从而使同一个石对应的简并态之 间的正交性得到保证.21 .守恒量 对于Hamilton量H不含时的量子体系,如果力学量 A与H对易,那么 无论体系处于什么状态定态或非定态,A的平均值及其测值的概 率分布均不随时间改变,所以把 A称为量子体系的一个守恒量.22 .狄拉克符号,内积及其表示形

14、式,算符向左作用把希尔伯特空间一分为二,互为对偶的空间,就是狄拉克符号的优点.用右矢| % >表不态矢,左矢<%|表不其共厄矢量,<%| 3>是内积,<%| % >大于等于 0,称为模方.| 3><% |是外积.| 右矢代表量子态；| 左矢量子态的共腕态假设k是力学量完全集F的本征态,那么| k | k ,如球谐函数Ym是(l?2,l?)的共同本征函数,| Ym | lm采用狄拉克符号表示量子态是,都只是一个抽象的态矢,未涉及任何 具体的表象.| k k|I或 Pk I,R|k k |为投影算符 kk设I为代表量子态犷的态矢,算符L对应的力学量在

15、W态下的平均值为工二“五/V711Vz二= 2<小><4团八i<jiZ+zx亨V * J算符向左作用£ I伊 >=4I/><(p L I(P >=<(pX(p> T<(pL-<(p A >A.<(pL = /.<<p23 .角动量平方和角动量z分量的共同本征函数 这样,俨和月的共同本征函数为m i 2l1 ( 1m)! mimYim( , )( 1)Pl (cos)e,4(lm)!0,1,2,注意量纲0,1,2,其中 m l ,l 1, l 1, l,lYm称为球谐函数,它们满 足l？Yl

16、ml(l 1) 2Ym喉 m Ymm l , l 1, l 1, l , l注意,推导过程计算题有可能要考24 .氢原子的能量本征值与能级简并度10 / 15E Ene4 1e2 12a n2n 1,2,3,氢原子的能级是n2简并的25 .正常 Zeeman应原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并给予理论解释的是谱线一分为三的现象,后来又发现 了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况,因此称前者为正常或简 单塞曼效应,后者为反常或复杂塞曼效应.26 .电子自旋 电子的根本性质之一.电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简 称 电子具有自旋,胫成自旋角动量瓦 在 任

17、何方向上的投影只有两个数值:；T±s72 - 2启旋形或自旋磁矩应.与品勺关系是 :亿=基于假设,区在空间空有身而王拓亚影只能取两个数值,如不方向, I'= 土= 土闯> 3门加磁子中 JIBIHI自旋不是机械的自转27关于电子自旋的Stern-Gerlach 实验Stern-Gerlach experiment首次证实原子在磁场中取向量子化的实验,是由O.斯特恩和W革拉赫在1921年完成的.实验装置如图斯特恩-革拉赫实验装置示意图示.使银原子在电炉.内蒸发,通过狭缝形成细束,经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域磁场垂直于束方向,最后到达照相底片P上.在显像后的底片上现了

18、两条黑斑,表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束淅称患"箪拉赫宾强装量多意图&比验仪器矛怠b*坊区城的铁百C星像底片实验上高温炉中的Ag原子处于高压,从高温炉中出来之后迅速冷却, 处于基态,磁量子数为零,似乎不该偏转,因此原子除了轨道磁矩外, 还有其他磁矩,即自旋磁矩.28碱金属原子光谱双线结构对钠原子,3p3s的跃迁产生一条黄线589. 3nm用高分辨率的光谱仪进行观测,发现它实际上是由两条谱线构成：1589.6nm 2589.0nm与Zeema敢应不同,此现象并非 外界因素作用的结果,而是原子的故有特 性.其根源正是电子的 自旋.29 .量子跃迁与选择定那么在外电场的激

19、发下,谐 振子从基态| 0 只能跃迁到第一激发态 |1.Pio()q2 20,Pno( )0, n以上结果说明,00 2,0 3, 说明允许谐振子11可以发生,0n不能发生,n 1的跃迁发生,这称为跃迁的选择定那么 即谐振子只能跃迁到相邻能级30 .禁戒跃迁一,一it i ,.t.Ckk(t)kk eikktHkkdt(12)i 0令Pkk(t) | Ckk(t) |2,那么Rk(t )代表系统从初态k跃迁到末态k的概率.当kk时,有1 tOPkk(t)二| ei kktHkkdt |2(13)0假设存在这样的末态k,使得Hkk0,Pkk0,说明从k到k的跃迁是不可能的,或 者说,从k 到k的

20、跃迁是禁戒的.在外电场的激发下,谐振子从基态| 0 不能跃迁到激发态| n ,其中n1.或者说,02,03, ,0n的跃迁为禁戒跃迁.31 .微扰论的思想解薛定调方程的一种常用的近似方法.一个量子体系,如果总 哈密顿量的各局部具有不同的数量级,又对于它精确求解薛定调方程 有困难,但对于哈密顿量的主要局部可以精确求解,便可先略去次要 局部,对简化的薛定谓方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发, 把略去的次要局部对系统的影响逐级考虑进去,从而得出逐步接近于 原来问题精确解的各级近似解.这种方法称为微扰论.32 .突发微扰与绝热微扰当外界的微扰十分缓慢 地作用到系统上时,不 会改变系统的状态,这 样的微扰叫 做绝热微扰.当外界的微扰十分忽然地作用到系统上时,也不会改变系统的状态,这样的微扰叫 做突发微扰.33 .能量与时间不确定度t Eh被称为时间一能量的不 确定度关系,可以证实 此式的一般形式为：E t2此式反映了一个力学量变化快慢的周期 t,同系统能量的不确定度环能同时为零34 .能级宽度与谱线宽度 由于能量不确定性 Ek t 2所以,所有的能级都有一个宽度,这叫能级的 展