高一数学必修4复习资料

1、高中数学必修4复习资料正角：按逆时针方向旋转形成的角1、任意角J负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：不作任何旋转形成的角2、角a的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 a为第几象限角.第一象限角的集合为k 360：二：. ；k 360; -90，:,k 三/） 第二象限 ；k 360：, 180* ：二：k 360： 270：,k 三.,；） 终边在x轴上的角的集合为 00fA 180：,力 终边在坐标轴上的角的集合为/, , =k 90:,k.才一象限k 360.90 0.k .360 : 180 0，k 三三;第四象限k 360 270 ：；.：“ 36

2、0： 360：,kE终边在y轴上的角的集合为（0tk=k i80：+90；,kWZ3、与角口终边相同的角的集合为 B|P=k 360：+a,kez4、已知a是第几象限角，确定 色W卜*声在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 a原来是第几象限对应的标号即为 区 终边所落在的区域.n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.6、半径为r的圆的圆心角ot所对弧的长为l ,则角ot的弧度数的绝对值是0 =17、弧度制与角度制的换算公式：2元=360匚11 =L1801 = 180：-57.3: 8、若扇形的圆心角为 a （ot为弧度制），

3、半径为r,弧长为1,周长为 C,面积为 S,则 l=ro(，C=2r + l ,S=1lr =16 r2.2219、设a是一个任意大小的角，a的终边上任意一点 P的坐标是（x, y ）,它与原点的距离是r（r =Jx2，y2 oy则sina=_y，coscfj，tanct=y(x 却 rx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.11、三角函数线：sin豆=MP , cosa =OM , tan =AT .12、同角三角函数的基本关系:(1 )sin2 口 +cos2 口 =1 (sin2a =1-cos2 a,cos2 c( =1 -

4、sin2 ot )；小.sin ct _sin a 2 =tan ！sin : =tan 二 cos : ,cos :=costan 工13、三角函数的诱导公式：（口诀：奇变偶不变，符号看象限.）（1 sin（2kn +a 尸sina, cos（2kn +a 尸cos , tan（2kn + 产tanqkZ （2 sin （n+口）=sin , cos（n+口）=cos , tan（n十口 尸 tan .(3 sin产sinu , cos( )=cosa , tan(一产tan .tan俨-a )=tano( 4 sin 二 -a )=sinot, cos(n -a 尸-cosa，14、（1）

5、先平移后伸缩函数y =sin x的图象上所有点向左（右）平移 中个单位长度，得到函数 y =sin（ x+中严图象；再将函数y=sin（x+平）的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的X倍（纵坐标不变）,得到函数y = sin（cox +邛）的图象；再将函数y=sin（0x+平）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（0x+中产图象.（2）先伸缩后平移函数y =sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 L倍（纵坐标不变），得到函数y = sineox的图象； co再将函数y =sin gx的图象上所有点向左（右）平移 E1个单位长度，得

6、到函数 y =sin（6x+中）的图象；再将函数y=sin（6x+中）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y=ASin（x+中）的图象.（3）函数 y = Asin （ox +甲 / A 0,6 0 ）的性质：振幅： A ;周期：t =空；频率：f _A =虫_;相位：co x +中；初相：中.：.-?T 2 二函数y =Asin（cox+中）+B ,当x = x1时，取得最小值为ymin ;当x = x2时，取得最大值为ymax,则A=（ymax _ymin yc 1,- T- 2 ymaxyminI ? - *2 - x I x! ：. x? I次数图象炉

7、y = sin工卡y = cos x ay = tan x 卡i y/T 竽 y.炉dyIu14* 1； / F 10Q定义域,R p=1x手kk+ 土，无七E二.2 .值域户T】kTkRamp当工=2k邪+ 上 Z 时， 2JmaK =1 ;当工=加方-彳 Xi时，为m=一1 0当先二2k才 上e Ni时.=1 ；当先=2代T+kP 1小七1时，为加=一1 户既无最丈值也无最小值Q15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:2穴 音函数，奇儡性2JF+1 值函数垢十件灯十外jIeZiJzJ翻涵数卡在21t开一兀,2上汗ke. Z 上是增 函数；在2上兀2七t十开上 戊上是减函数.122)

8、/eZi上是增函数.小中心 女郭,0i Are Zi+j对称中心神中心(冷口卜壮16、向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.相等向量：长度相等且方向相同的向量.平行四边形法则的特点：共起点.a三角形不等式:ai - b h +b a- AB + BC = ACa+b = AB+AD = JS运算性质：交换律：a +b %b+a ；+ (b +C )；结合律：a b , c = a巨有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.17、向量加法运算：三角形法则

9、的特点：首尾相连. a+0=0+a=a.CJ * = Xo =耳坐标运算：设 a =(%, y1 ), b =(x2, y2 ),则 a +b =(x1 +x2,y1 +y2 18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.一一4 . * .坐标运算：设a =(x1, y1), b =(x2, y2),则 a _b =(x1 _x2, y1_ y2).设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2卜则AB =(x1-x2,y1- y219、向量数乘运算:.实数人与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a .平底当九A。时，$a的方向勺a的方向相同；当儿0

10、时，a的方向与a的方向相反；当儿=0时，九a = 0 -运算律：九(甫)=(，卅)a；(九+rg=*胃+鬲；九(a+b)=娟+媪.坐标运算：设a =(x, y卜则九a = X(x, y )=(Kx,九y)20、向量共线定理：向量 a (S #0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数 九，使b = ?a .设 a = (x1, y1 ), b =(x2, y2 ),其中 b = 0 ,则当且仅当 x1y2 x2y1 = 0 时，向量 a、b (b 0 0 )共线.21、平面向量基本定理果 .、殳是同一平面1勺节不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数%、入2，使a= Ae +

11、%e2 .(不共线的向量e、3作为这一平面内所有向量的一组基底)T T22、分点坐标公式：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1,y1),(x2, y2),当P1P= 73PP2时，点P的坐标是他士也幺上也I 1+九1 +九 J23、平面向量的数量积： a b =|a| bcos9 (a #0,b #0,0 1 180w ).零向量与任一向量的数量积为0 .性质：设a和彳彳则a _ b ：二a b = a b ；b都是非零向量，ab=0.当a与b向时， 当a与b反向时，a b =露；a a=a2 =第或 a=，a a.一一_ 4J 耳4运算律：a-b=b-a；, a b =

12、 a b = a坐标运算:4,耳设两个非零向量 a=(x1,y1 ), b=(x2, y2),Tarnu贝(a + b ) c = a c + b c .b = X1X2 + y型 .4a若,X1- a设b =%, y2 ),贝U a , b u 乂泾+W丫2=0X1X2 N1V2设a、b都是非零向量，a=(x1,y1), b=(x2,y2 M 8是a与b的夹角，则cos日24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：(1) cos(a - P )= cosa cosP +sina sin P ; cos（a + C）=cos cosP -sinasin P ； sin（u - s 户sinacos

13、P -cosotsinP ；（4）sin（ot + s）=sinc（cosP +cosasinP ； tan -= tan 二=tan tan -1 - tan 二 tan -tana+tan -1 - tan : tan P（tana -tanP =tan（u -P 11 +tantanP ）；（tana +tan P =tan（a + P 1 1 -tana tanP） .25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:（1）sin2a =2sinacosc（ .（2） . . o / .（3）,、2 tan 20t2 tan,1 - sin 2 - =（sin： cos： ） tan 2一tan2：

14、.（4）cos2a=cos2 口一sin2口 =2cos2o（1 =12sin2 口（ cos 2 a - cos 2a +1, sin 2a J -cos2a）.- -2- -226、Asin a +Bcosa =Ja2 +B2 sin （a 十中）三角函数基础训练题一.选择题1、下列角中终边与 330相同的角是()A. 30 B , -30 C , 630 D , -63052、角a的终边洛在区间(一 3无，一2无)内，则角a所在象限是A.第一象限 B .第二象限 C .第三象限3、已知角a的终边过点 P (-1,2) ,cos a的值为.5 RR 2.5 n ,5A . B . J5 C

15、 . D . 4、如果| COSX |=COS（X +元）.则X的取值范围是（）3a. 2k二，一2k二（k Z） b. （ 2k二，二 2k二） （k Z）2222二3C. 一+2knn+2kn（k Z） d. （_n+2kn,n+2kii）（k=Z）2 25、函数y =3sin(2x+H)的图象可看作是函数 y =3sin2x的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是(3向左平移工个单位6A.向右平移 _个单位 B,向左平移个单位 C, 向右平移 三个单位 D.3T6、与函数y =tan(2x +2)的图象不相交的一条直线是()4A. x=B . y=C . x=D . y =一22887、

16、a是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（）1A . sin a B . cos a C . tan 口 D .tan ;8、已知 sin a cos a =:,贝U COS a sin a 的值等于（）83 3- 33A . 4 B .土 C . D .19、如果角8满足sin8+cos8 = J2 ,那么tan e +的值是（）tan 丁A . -1B. -2C. 1 D . 2一 .4二 25 二5 二10、sin - cos - tan 的值是（）A - 3B . 3C . - -D.11、已知 tan（-14jr） =a 那么 sin1992*二（） 15A. a B.aC. aD

17、. 11 a21 -a21 a21a212、已知 sin（o（ -P） cosa -cos（ot -P） sin a =3 ，那么 cos2 B 的值为（）5A.B.C.D.L187182525252513、（1 +tan21）（1+tan20）（1+tan24）的值是（）A.2B.4C.8D.1614、函数y =&n x + Jtanx的定义域为（）.A- x2kjr x 2kji+-,kZ B - x2kH x2kH +2L, k Z Ux x =2kn +7i,keZC. x2k二：二 x 三2k二 5，k =ZD -x|2knx0,则a的取值集合为19、函数= 2sin(2x + )的

18、图象的对称轴方程是320、函数2 tan x的最小正周期是1 - tan x21、已知、2sin 0 +cos 0 = (0 0 x )，贝1J cos2 0 的值为22、记 f(x) = asin(n x +a) +bcos(n x + P)+4, (a、b、a、P 均为非零实数)， 若 f (2009) =2009 ,贝U f (2010) =答案：1-7 : BCACDCB 8-14:BDACABB15、4n。16、191,1690 ; 17、2925;18、x71一- 2k二：x 2k二,or x -二，2k二 k 二e k 二19、 x =2.解答题+ k 匚 Z ； 20、1221

19、、区;22、-2001;2=1 -sin x ,画出函数在区间10,2冗】上的简图；指出函数在区间10,2冗上的单调区间及单调性，最大值x0JI2冗3n22冗y =sin x010-10y =1 -sin x1012123、若函数y 和最小值. 解：列表：描点、连线成图:单调递增区间：产3n|： 单调递减区间:24、3n a 1 (ke R),求 k 的取值范围.解(I):| a |斗b日c|=1，且a、b、c之间的夹角均为120 ,二(a b) c =a c -b c m a | c | cos120 一一| b | c | ocs120，=0 3 分 (a b) _L c .(口)| ka

20、 b c| 1,. |ka b c|2 1,* *2(ka b c) (ka b c) 1, . k a a b b c c 2ka b 2ka c 2b c 11,a b=a c=b c=cos120 =一，k2 -2k 0,二 k 2.2,26.已知 f (a,b)=sin2 2A+cos2 2b /3sin 2a cos2B +2。(I)设 A B、C为AABCrt角，当f (A B)取得最小值是，求/ C(口)当A+巳己且A、Be R时，y=f (A,的图象通过向量 p的平移得到函数 2y=2cos2A的图象，求向量P。. c _. 3 21 2f (A- B) =(sin2A -)2

21、 +(cos2B1)2 +1 。22.3sin 2A =, 2 =1cos2 B =一2A =一或一63B 二B/ c 2 ：_t./ cc / C=或/ C=一。，_ m 一一(口)A+B= , ; 2B=n -2A ,2:f (A B) =cos2A- . 3 sin2A+3=2cos(2A+ ) +3=2cos2 (A+ ) +3,，n 一、 p = ( , -3 ) o冗 j27.平面直角坐标系内有点P (1, cosx), Q(cosx, 1), x = - , o4 4(I)求向量OP和OQ的夹角。的余弦用 x表示的函数f (x);(口)求。的最值。解：(I) ., OP OQ =

22、2cosx, | OP | - | OQ |= 1 +cos2 x ,(x)。cOP OD 2cosx . cos 0 =_ , 一一，2|OP | |OD | 1 cos x(口)cos 9 = f (x) = 2 c0sx =2。18sx cosx，cosxx 可，工,cosxw巨，1 , 2 cosx返，4 42cosx 222f (x) 1,即wcos 9 1。Qmaxarccos 警,emin =0。28.已知 a = (cos a , sin a ), b= (cos P , sin P ), a与 b之间有关系式 | ka+b |= 0。 (i)用k表示a b； ( 口)求a b

23、的最小值，并求此时 a与b的夹角。的大小。解：(I)由 |ka+b12= J3 | a- ka|2得，8ka,b=(3-k2)a2+(3k2-1)b2。2222 .a b=(3-k)a +(3k -1)b o8ka = (cos ct , sin ct ), b= (cos P , sin P ), ; a2=1, b2=1,b=L4k12V (n) k0, k2+12k,即 k1 2ka - b 的最小值为 1 。4k 4k 22- a - b=| a| - | b|cos 9 , : cos 9 =1 , 9 =60 二，此时 a与 b 的夹角为 601 229.已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a =(1,2)(I)若 Ci =2不,且ca,求c的坐标；(口)若| b