ch-6-2两类换元积分法和分部积分法ppt课件

1、数学分析数学分析 第二节第二节 换元积分法和分部积分法换元积分法和分部积分法二、分部积分法二、分部积分法重点：换元法和分部积分法的应用重点：换元法和分部积分法的应用难点：换元法的应用要点与灵活性难点：换元法的应用要点与灵活性 分部积分法的应用要点分部积分法的应用要点一、换元积分法一、换元积分法数学分析数学分析问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、换元积分法一、换元积分法1 1、第一类换元法、第一类换元法数学分析数学分

2、析在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuF 那那么么.)()( CuFduuf假如假如)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理数学分析数学分析设设)(uf具有原函数，具有原函数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式凑微分法）第一类换元公式凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1关键关键 找出合适的函数找出合适的函数 f 和和 . 数学分析

3、数学分析例例1 1 求求.2sin xdx解一）解一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解二）解二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解三）解三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 方法方法: 凑系数凑系数 ；三角恒等式；三角恒等式.数学分析数学分析例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu |ln21.|23|ln21Cx dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地，一般地，

4、方法方法: 凑系数凑系数 .数学分析数学分析例例3 3 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2)(111.arctan1Caxa )0(22 axadx练习练习 求求 (1) (1).arcsinCax (2) dxxa221Cxaxaa |ln21数学分析数学分析例例4 4 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu |ln21.|ln21|ln21Cx 方法方法: 直接凑直接凑 .数学分析数学分析例例5 5 求求.)11(12dxexxx 解

5、解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 方法方法: 直接凑直接凑 .数学分析数学分析练习练习 求求.cot. 2;tan. 1dxxdxx CxdxxCxdxx |sin|lncot|cos|lntan数学分析数学分析例例6 6 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 方法方法: 添平衡项添平衡项 .数学分析数学分析例例7 7 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.

6、34arctan31Cx 方法方法: 配方后用积分公式配方后用积分公式 .数学分析数学分析例例8 8 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 解解方法方法: 有理化有理化 .数学分析数学分析例例9 9 求求解解(一一).cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 方法方法: 三角函数恒等式变形三角函

7、数恒等式变形 .解二）解二） dxxcos11 dxx2cos212数学分析数学分析例例10 10 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 数学分析数学分析例例11 11 求求解解.cos4 xdx结论结论: 当被积函数是三角函数正弦或余弦当被积函数是三角函数正弦或余弦的多项式时，奇次直接凑微分的多项式时，奇次直接凑微分; 偶次降次偶次降次.,4cos812cos2183)(coscos224x

8、xxx 由于由于 dxxxxdx)4cos812cos2183(cos4故故Cxxx 4sin3212sin4183数学分析数学分析例例12 12 求求解解.sectan33 xdxx xdxx33sectan xdxxxxsectansectan22 xxdxsecsectan22 xxdxsecsec)1(sec22 xdxxsec)sec(sec24Cxx 35sec31sec51数学分析数学分析例例13 13 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212

9、cos3cos.5sin101sin21Cxx 数学分析数学分析例例14 14 求求解一）解一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx |2|tanln.|cotcsc|lnCxx （应用三角函数恒等变形）（应用三角函数恒等变形）数学分析数学分析解解(二二) dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu |11|ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.|tansec|lnsec

10、Cxxxdx.|cotcsc|lnCxx 数学分析数学分析解解例例15 15 设设 求求 . .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 数学分析数学分析练练 习习解解 .2arcsin41. 12dxxx dxxx 2arcsin41. 12)2(arcsin2arcsin1xdx .|2arcsin|lnCx .tan. 24 xdx xdx4tan. 2 dxx22)1(secCxxx tantan313数学分析数学分析 作作 业业 P246: 1 (书上，不交书上，不交).P259

11、: 1, 2(3,4,5,6,19,20) .数学分析数学分析问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分即可求出结果）凑微分即可求出结果）2 2、第二类换元法、第二类换元法数学分析数学分析其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. .证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 令令)()(xxF 那那么么dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 设设)(tx 是是单单调调的的、

12、可可导导的的函函数数， )()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并并且且0)( t ，又又设设)()(ttf 具具有有原原函函数数，定理定理2 2数学分析数学分析第二类积分换元公式第二类积分换元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说明说明)(xF为为)(xf的原函数的原函数,数学分析数学分析例例16 16 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt |tansec|lntax22ax .ln22Caaxax 2,

13、2t Caxx 22ln数学分析数学分析例例17 17 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 数学分析数学分析例例18 18 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt |tansec|lnt

14、ax22ax Caaxax 22lnCaxx |ln22数学分析数学分析说明说明1 1） 以上几例所使用的均为三角代换以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 数学分析数学分析说明说明(2)(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换换外还可用双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根

15、式例例 中中, 令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.ln22Caaxax 数学分析数学分析说明说明(3)(3) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用倒代换可采用倒代换.1tx 例例19 19 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解练习：试用拆项的方法求此积分练习：试用拆项的方法求此积分)2(221)2(22)2(1767777 xxxxxxxxx数

16、学分析数学分析 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换倒代换或双曲代换并不是绝对三角代换倒代换或双曲代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定的，需根据被积函数的情况来定.说明说明(4)(4)例例20 20 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解数学分析数学分析基基本本积积分分表表(2)(2);|cos|lntan)16( Cxxdx;|sin|lncot)17( Cxxdx;|tan

17、sec|lnsec)18( Cxxxdx;|cotcsc|lncsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 3 3、基本积分表、基本积分表数学分析数学分析;|ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .|ln1)24(2222Caxxdxax ;|ln211)21(22Caxaxadxax 数学分析数学分析4 4、两类换元法的比较、两类换元法的比较两类积分换元法两类积分换元法 （一凑微分（一凑微分（二三角代换、倒代换、根式代换（二三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)两类积分换元法比较两类积分换元法比较一

18、样一样: (1): (1)引入新积分变量引入新积分变量; (2) ; (2) 复合函数求导复合函数求导不同不同 变量类型变量类型 代换方式代换方式第一类第一类 中间变量中间变量 直接代入直接代入第二类第二类 自变量自变量 求反函数后再代求反函数后再代 数学分析数学分析思考题思考题求积分求积分.)1(ln)ln(dxxxxp 数学分析数学分析思考题解答思考题解答dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp数学分析数学分析练习练习 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dt

19、ttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx数学分析数学分析问题问题 ?ln xdx解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式三、分部积分公式三、分部积分公式数学分析数学分析,dxvuuvdxvu .duvuvudv 问题：问题：u, v 如何选择？如何选择？分部积分公式分部积分公式例例 求积分求积分.cos xdxx假设假设 令令

20、,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.vu ,数学分析数学分析例例1 1 求积求积分分.cos xdxx解解令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 反三角反三角对数对数幂幂指数指数三角三角 arctan)(arccos,arcsinln(cos)sin xxxexnx数学分析数学分析例例2 2 求积求积分分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexe

21、exxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u数学分析数学分析例例3 3 求积求积分分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21a

22、rctan22Cxxxx Cxxxxdx )1ln(21arctanarctan2#数学分析数学分析例例4 4 求积求积分分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为u .u .Cxxxxdx lnln#数学分析数学分析例例5 5 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxde

23、xexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式数学分析数学分析例例6 6 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 数学分析数学分析课堂练习：课堂练习： 求积分求积分 xdx3sec xdxarcsinCxxx 21arcsinCxxxx |)tansec|lnsec(tan21#1.#2.数学分析数学分析例例7 7 求积分求积分解解 dxax222)(1 dxaxxaxxdxax22222222)(21 dxaxaaaxdxdxaxaaxdxaxx22222222222222222)(22)(2)(2Caxaaxaxaxdxaaxaxdxax arctan21)(221)