2019年高考真题理科数学(天津卷)

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第n卷3-5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试 卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1 .每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。2 .本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件 A、B互斥，那么 P(AUB)

2、= P(A)+ P(B).如果事件 A、B相互独立，那么 P(AB) = P(A)P(B).,圆柱的体积公式 V =Sh,其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.1 _一 一棱锥的体积公式 V=Sh,其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.3一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合 A =1,1,2,3,5, B =2,3,4, C=x R |1, x 3,则(AnC)U B =A2)B-2,33C-1,2,3)D.；1,2,3,4)x +y-2 0,一. x-y+2 之 0,2 .设变量x,y满足约束条件 则目标函数z = -4x + y的取大值为y 一1

3、，A.2B.3C.5D.63 .设 xw R,则“ x2 5x 0” 是 “ |x1|0,b0)的 a b两条渐近线分别交于点 A和点B,且|AB|=4|OF | (O为原点)，则双曲线的离心率为A. .2B3C.2D.50.26 .已知 a=logs2, b=logo.50.2, c =0.5 ，则 a,b, c 的大小关系为A.a :二 c :二 bB.a :二 b :二 cC.b : c : aD.c : a :二 b7 .已知函数f(x) =Asin(0x+平)(A0p 0,|平卜冗)是奇函数，将y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(

4、x).若g(x)的 、一/3k、最小正周期为2兀，且g i上1=，则f i=14 广I 8 JA. -2B. ；2C. . 2D.22c , c/8.已知aWR,设函数f(x) = x -2ax 2a, x, 1,若关于x的不等式f(x)-0在R上恒 x - aln x, x 1,成立，则a的取值范围为A. 10,11B. 1.0,21C. l.0,elD. 1,el第n卷注意事项：1 .用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2 .本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.1.1 是虚数单位，则 M 的值为.10 . i2x、8是展开式中的常数项为8

5、x311 .已知四棱锥的底面是边长为 J2的正方形，侧棱长均为 J5.若圆柱的一个底面的圆周经过 四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.x = 2 2 cos ,12 .设a=R,直线axy+2=0和圆( 8为参数)相切，则 a的值y =1 2 sin为.(x 1)(2y 1)13 .设x0, y 0, *+2丫=5,则尸一的最小值为 ., xy14 .在四边形 ABCD 中，AD / BC, AB = 2, AD =5, A = 30s,E 在线段 CB-T的延长线上，且 AE =BE ,则BD AE =.三.解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写

6、出文字说明，证明过程或演算步骤.在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b + c = 2a , 3csinB = 4asinC .(i)求cosB的值;(n)求 sin 2b + i的值616.（本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7: 30之前到校的概率均为 2 .假定甲、乙两位同学3到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（I）用X表示甲同学上学期间的三天中7： 30之前到校的天数，求随机变量 X的分布列和数学期望；（n）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7： 30之前到校的天数比乙同学在7: 30之前到校的天数恰好多 2”，求事件M发生的概率

7、.17 .（本小题满分13分）如 图， AE_L 平 面 A B C CF / AE, AD / BC ,AD - AB, AB = AD=1, AE = BC = 2 .（I）求证：BF /平面ADE ;（n）求直线 CE与平面BDE所成角的正弦值；（出）若二面角 E -BD -F的余弦值为1 ,求线段CF的长.318 .（本小题满分13分） 22设椭圆 今+4 = 1但b0）的左焦点为F ,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为 4,离 a b15.(本小题满分13分)心率为_5. 5(I)求椭圆的方程；(n)设点P在椭圆上，且异于椭圆白上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上

8、.若|ON |=|OF | (。为原点)，且OP_L MN ,求直线PB的斜率.19 .(本小题满分14分)设an是等差数列，bn是等比数列.已知为=4,b =6,b2 =2a2 2h = 2a3+4.(i)求an和bn的通项公式；1. 2k ；n =：2kd.(n)设数列够满足c1 =1,cn =, 其中kw N .d，n=2k,(i)求数列 02n (c2n -1，的通项公式；2n(ii)求工 aiciN ).i =120.(本小题满分14分)设函数f (x) =excosx, g(x)为f (x)的导函数.(i)求f (x )的单调区间；冗冗r jt 、(n)当 x e ,|,时，证明

9、f (x) +g(x). - -x 卜0 ；IL4 22(出)设xn为函数u(x)= f(x)1在区间.2m+,2mn+二 内的零点，其中n N , nI 42 J证明 2n二 - -xn :二e.2sin x0 -cosx02019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.1.D2.C3.B4.B5.D6.A7.C8.C.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.9. 1310. 2811. 412. 413.4,314. -1三.解答题15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦

10、公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分 13分.b c一(I)斛：在 ABC中，由正弦te理 =,得bsin C= csin B,又由sin B sinC3csin B= 4a sinC,得 3bsinC = 4a sinC,即 3b = 4a .又因为 b+ c=2a ,得到,42.人rb =-a, c=-a.由余弦定理可得cosB 二222a c -b2 4 216 2a a a992 a 22 a a3(n )解：由(i )可得 sin B = J1 - cos2 B =,从而4一 一 一 .15-2 一 . 2-7,sin2B =2sin

11、 BcosB = ,cos2B = cos B -sin B =,故88jisin 2B+I 6 Jjin= sin2Bcos cos2Bsin=663.5 71616.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.(I)解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7: 30之前到校的概率均为 2 ,故 X B 13,2 j,从而 P(X = k) = C； 2 I I3. 333k = 0,1,2,3.X0123P1248279927所以，随机变量X的分布列为2随机变量X的数学期望

12、E(X)=3M=2.3“2 2 ?(n)解：设乙同学上学期间的三天中7： 30之前到校的天数为 丫，则YB 3,I 3；且 M =X =3,Y =1|JX =2,Y =0.由题意知事件X =3,Y =1与X =2,Y = 0互斥，且事件X =3与y=1,事件X =2与Y=0均相互独立，从而由(I)知P(M )=P(X =3,Y =1 UX =2,Y =0)=P(X =3,Y =1) P(X =2,Y =0)824120= P(X =3)P(Y= 1) P (X= 2P 丫= -)- 一亍 27 99 2 724317.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空

13、间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分13分.依题意，可以建立以A为原点，分别以元,完工的方向为*轴,y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得 A(0, 0, 0), B (1,0,0), C (1,2,0), D (0,1,0)E(0,0,2).设CF =h (h A0),则 F (1,2, h).(I)证明：依题意,AB = (1,0,0)是平面ADE的法向量，又 BF =(0, 2,h),可得BF AB = 0 ,又因为直线 BF S平面ADE ,所以BF /平面ADE .(n)解：依题意，BD=(1,1,0), BE=( 1,0,2), C

14、E =(-1,一2,2).n BD =0.-x y =0.设n =(x, y, z)为平面BDE的法向量，则, T 即V,不妨令z = 1,n BE =0,-x 2z 二 0,可得 n=(2,2,1).因此有 cos(CE,n)= CE n =-4.|CE|n|9所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 4.9_m bD =0, Lx y = 0,(出)解：设 m =(x, y,z)为平面BDF的法向量，则 即m BF =0, 2y hz-0,一.、人，口2不妨令y =1,可得m = , 1,1,- I.H232 ；18解得h =.经检验，符合题意.所以，线段CF的长为8.718.本小题主要

15、考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13(I )解：设椭圆的半焦距为c,依题意，2b = 4,f =，又a2右2 # ,可彳导a = 55 ,a 5b = 2, c = 1.所以，椭圆的方程为2 x +52 J.4(n)解：由题意,设 P(xp ,yp Xxp 00),M (Xm，0).设直线 PB 的斜率为 k(k=0),又B(0,2 ),则直线 PB的方程为y = kx + 2 ,与椭圆方程联立y = kx 2,x2v2整理得工 +L = 1l54,(4+5k2 )x2 +20kx=0,可得

16、 xP220k870k,代入 y = kx + 2 得 yP =,进4 5k24 5k2y4 15k2而直线OP的斜率Xp-10kp2在y =kx+2中，令y = 0 ,得Xm = 一一 .由题意得 k由题意，有 cos，m,n=| m n | |m|n|N(0,-1),k4 -5k2 k所以直线MN的斜率为万.由OP_LMN ,得ok 一5J1,化简得k2=从而k=士也.55所以，直线PB的斜率为 型30或_290.5519.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力n项和公式等基础知识.考查.满分14分.(I)解： 设等差数列an的

17、公差为d ,等比数列bn的公比为q .依题意得6q =6 2d,d =3,nJ n二解得故 an =4 + (n1)M3 = 3n+1, bn = 6父 2n二3父 2n.6q2 =12 4d, q =2,所以,an的通项公式为an=3n+1, %0的通项公式为 6=3父21(n)(i)解：a2n (c2n -1 ) = a2x(bn -1 )=(3父2n +1 13父2n 1 )=9父4n -1.所以,数列 a2n (c2n 1)的通项公式为 a2n(C2n 1 )=9M4n 1.2n(ii)解：Zi w2n2nnaci -|ai-aici-1 !.ai.二 a2ic2i-12n 4 21r

18、zi23 + (9M4i -1)二 3 22nJ 5 2n/9 4 14-n1-4=27 22n，5 2n4 -n -12 n N* .20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的 能力.满分14分.I )解：由已知，有 f(x) =ex(cosx sin x) .因此，当一 二 一5 二x = . 2kn + ,2kn +(k = Z)时，有 sin x a cosx,得 f ( x) 0 ,则 f (x )单倜 443 二二递减；当 x - 2k二-，2k 二,一f （x评调递增.所以，f（x）的单调递增区间为.|2kjin ,2kn +-j(ks Z), f (x)的单调递减区间为二