2013届高考数学二轮复习热点考点精品讲义函数的性质(单调性奇偶性周期性)

1、20XX届高考数学二轮复习热点考点精品讲义：函数的性质（单调性、 奇偶性、周期性） 【高考再现】 热点一函数的单调性 1. （ 20XX 年高考（天津文）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（ ） 3 D. y 二 x 1 【答案】B 【解析】产二匚册2恥 为偶函数且在 上单调谨増，-12-CC 2 上打一彳我7T I展2丨，故Ait? J = log3|j|为18函数，在门单调谨増，故乃对; 数7二匚二为奇函轨二F+1为非奇非偶函轨 答案为乩 2. （ 20XX 年高考（陕西文）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 （ ） 2 1 A. y=x 1 B. y =-x C.

2、 y D. y=x|x| x 【答案】D 【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键 .A 是增 函数，不是奇函数；B 和 C 都不是定义域内的增函数，排除，只有 D 正确，因此选 D. 3. _ （20XX 年高考（安徽文）若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是3,+处），则 a = _ 【答嘉】-6 【解析】由题可知雯使函数兀+的的单调逛増区间是3,+oos则-2 = 3、解得 a = 6 s A. y = cos2x B. y=log2|x| 【方法总结】 1. 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)可以结合定义(基本步

3、骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解. (2)可导函数则可以利用导数解之但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采 用定义法进行. 2. 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致. (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区 间.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间. (3)图象法：如 果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它 的单调区间.(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 . 3. 函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则 f(X1)f(X2)：= f(Xl) f(

4、X2)0，若函数是增函数，贝 U f(X1)f(X2)= X1X2，函数不等 式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程) 求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行. 热点二函数的奇偶性 4. (20XX 年高考(广东文)(函数)下列函数为偶函数的是 ( ) A. y =sinx B. y=x3 C. y =ex D. y =1 nx2 1 【答案】D 【解析】/1 -J： I = In尢F十1 = Ind?十1 = 故y ki JF + 为隅函数. = sinx 是奇函数丿二尹是非奇菲偶函数. 5. ( 20XX 年高考(重庆文)函数f (x) =

5、(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a= _ 【答案】4 【解析】本题考查函数奇偶性的应用，若已知一个函数为偶函数，则应有其定义域关于原点对 称，且对定义域内的一切 a 都有f ( a)二f ( a成立.由函数f (x)为偶函数得 f (a)二 f ( _a)即(a a)(a _4) = (_a a)( _a _ 4) = a = 4 .6. (2oxx 年高考(上海文)已知y = f(x)是奇函数.若g(x) = f(x) 2且g(1)=1.则 g(-1)二 _ - 【答案】3 【解析 1 y=川力是奇函航则/(-I)-/(I), g(l) + g(-l) = /ffi +/(-D+4 =

6、4, 所以烈1*4g(l) =乳 M +m= _ 【答案】2 【解析】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想 像 的 对 称 性 知 【方法总结】 1, 利用定义判断函数奇偶性的方法 (1)首先求函數的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要 条件- Q那果圈嫩的定义域关于原点对称，可进步判断或X 一兀尸/ 是否对定义域内的毎一个.Y恆咸佥(悝咸佥要给予证明,否则要举出反例) 洼意：分段晶数判断奇偶性应分段分别证駅及一与允0的关系，只有当对称的 两啟上都満足相同的关系时.才能判断其奇偶性 工函数奇偶桂的应用 (1) 巳知國数的奇偶性求函数的解析式. 抓住奇偶性讨论函数在

7、各个分区间上的解析式，或充分利用奇偎性产生关于斎) 的方程，从面可得X口的解析戎. (2) 已知带有字罟参如的函数的表达式及奇偶性求枣数. 常常采用待定系数法：利用心 X护0产生关于字母的恒等式，由系漿的对 等性可得知字母的值. (3倚偶性与单调性综合时要洼意奇函数在关于原点对称 的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的E间上的羊调性相反- 热点三函数的周期性7. (20XX 年高考(课标文) )设函数f (x)= 2 (x+1) sinx 的最大值为M ,最小值为 m,则 f(x)= 2 (x sinx2x sinx,设 g(x；gx-g(x). g(x)为 x2 1 =1 x2 1 g

8、( mX) x g( =m g (X m ) a 1 g x = ( ) g 8. (20XX 年高考(浙江文)设函数f(X)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x 0,1时, 3 f(x) =x+1，则 f(2)= _ . 3 【答案】- 2 【解析】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性 _ 3 2 . R 上且周期为 2 的函数，在区间上, 0w x w 1,其中a “ R .若伽)则“的值为 x 1 【答案】-10. 【解析】打/(AJ是走义在R上且周期为2的函瓠A s即匸 士. 联立，解得卫=2占=-4 m +號=-1CL 【方法总结】 求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和

9、换元法，形如 y=Asin汁妨, 2 n 用公式 T=厂!计算.递推法：若 f(x+ a)= f(x)，则 f(x+ 2a) = f(x+ a) + a二f(x I 3| + a) = f(x)，所以周期 T= 2a.换元法：若 f(x+ a) = f(x a),令 x a = t, x= t+ a, 则 f(t) = f(t+ 2a)，所以周期 T = 2a. 热点四函数性质的综合应用 10. (20XX 年高考(重庆理)已知f (x)是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则“ f(X)为 0,1上的增函数”是“ f(x)为3,4上的减函数”的( ) A.既不充分也不必要的条件 C.必

10、要而不充分的条件3 3 1 1 1 f()二 f( - 2) = f(-一)=f (一) 1 2 2 2 2 2 ax 1, -1 w x : 0, f(x) WEbx 2 B.充分而不必要的条件 D.充要条件 【答案】D 【解析】本题主要通过常用逻辑用语来肴査函数的奇偶性和对称性进而来考查函数的周期 性根据图像分析出函数的性质及具经过时特殊点是解答車題的关键.由/w杲定义在R 上的偶函数及Q1上的増函数可知在-10为减函数，又2为周期，所以了在3,4上为 减函数. 11. (20XX 年高考(山 东理)定义在 R上的函数 f(x)满足f(x6)= f(x)当 -3 _x :： -1 时,f(

11、x)二(X 2)2 ,当-仁 x ：3时，f(x) =x.则 f(1) f(2) f(3厂 f (2012)二 A. 335 B. 338 C. 1678 D. 2012 【答案】B 【解析】由了0 + 6)二了(对可知函数的周期为瓦所以 /(-3) = /(3) = -1,/(-2) = /(4) = 0f /(-I) = /(5) = -1, 7(0) = /(0= 0, /=1 ，/二厶所以在一个周期内有/Q + /(2)+- +/(6) = 1 + 2-1 + 0-1 + 0 = 1,所以 /O)+/C2)+- + /C2012)=/(l)+/(2)+335xl = 335 + 3 =

12、 338,选氐 【方法总结】 在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图， 根据 简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、 复杂问题变得简 单明了，对问题的解决有很大的帮助 (1) 一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函 数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小； (2) 画函数草图的步骤： 由已知条件确定特殊点的位置， 然后利用单调性确定 一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个 定义域内的图象 【考点剖析】 .明琏要求 1. 理解鬲数的单调性，会讨论和证明屬數的单调性. 2. 理解函数的奇偶

13、性，会判断函数的奇偶性. 3+利用函数奇偶性、周期性求函漿值及求参漿值* 二. 命题方向 1. 利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高 考考查的热点. 2. 函数的奇偶性是高考考查的热点. 3. 函数奇偶性的判断、禾U用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、 周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点. 3. 题型以选择题和填空题为主，函数性质其他知识点交汇命题 . 三. 规律总结 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 两个性质 (1诺奇函数心诳工=0处有定义，则只0尸0一 设乐h或的定

14、义域分别是D,那么左它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇乂奇=偶，偶+偶=偶，偶乂偶=偶，奇乂偶=奇. 三种方法 判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3 )性质法. 三条结论 若对于R上的任意的x都有f(2a x) = f(x)或f( x) = f(2a + x)，则y=f(x)的图 象关于直线x= a对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a x)= f(x)，且 f(2b x) = f(x)(其中 avb)，则:y 二f(x)是以2(b a)为周期的周期函数. 1 1 若f(x+ a)= f(x)或f(x+ a) = f或f(x+ a) = f一,那

15、么函数f(x)是周期函数, f(X) T(x) 其中一个周期为T=2a； 若f(x+ a)= f(x+ b)(a工b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为 T=2|a b|. 【基础练习】 1.(课本习题改编)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是 A . y= |x| B . y = 3 x C. y=x D. y= x+ 4 【答案】A 1 2 【解析】y= 3 x 在 R 上递减，y = -在(0,+上递减，y= x1 2 + 4 在(0, + 上递减. x 2.(经典习题) 函数 f(x)= ln(4 + 3x x2)的单调递减区间是( ) A.卜汽号丨 B.号，+ I C

16、.-1，2 D._2, 4 【答奏】D 【解护】圈數几1的定义域是L1內 臥工)=一逛+丸+4=兀一、+宁的减区间4S 二圈救几0的单碉减区间为恃 4) ,a+ 1 = 3(1 a)，解得 a=- 2+ 1 1 a 2 4.(经典习题)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( ). 2x+ 1 x a 1 2 + 1 1 a 1 13.(课本习题改编) 若函数 f(x)= x 为奇函数，则 a =() (2x + 1 (x a ) 1 A.2 【答案】A 2 肿 B.3 C.3 D. 1 【解析】 f(x) = x .曰吞 疋可 函数，利用赋值法, f ( 1) = f(1). A . f(x) + g(x)|是偶函数 B . f(x) |g(x)|是奇函数 C. |f(x)|+ g(x)是偶函数 D. |f(x)| g(x)是奇函数 【答案】A 【解析】由题意知 f(x)与|g(x)|均为偶函数，A 项：偶+偶=偶；B 项：偶偶=偶，B 错; C 项与 D 项：分别为偶+奇=偶，偶奇=奇均不恒成立，故选 5设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，如图表示该函数在区间 f(2 011)+ f(2 012)=( ) D. 0 【解祈】由于/W是定义在尺上的周期为3的周