巧求最值问题八种方法

1、精品文档5欢在下载如何求“最值”问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解 这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法 与技巧。一、利用配方求最值例1：若x,y是实数，贝U x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是 分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。6y 9) 1990原式二 1(x22xy y2)1(x2 6x 9)1 ( y2222121212=2(xy)2-(x3)22(y 3)21990显然有(x-y)2 > 0,(x-3)2 >0, (y-3)2

2、 >0,所以 当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3时，代数式的值最小，最小是 1990;21例2,设x为实数，求y=x2 x 3的最小值。x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x取值相同。由于2y二x 2x 1x - 2 1 = (x 1)2 x(Vx -jU)2 1 ,要求y的最小值，必须有 x-1=0,且xVx0,解得 x=1,x1于是当x=1时，y=x2x - 3的最小值是-1。x二、利用重要不等式求最值 11例3:若xy=1,那么代数式 -4 -4的最小值是 x

3、4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，11/ 1 、2/ 1 、2 c 111t k = (F ()2二口;7 =1x 4yx 2y x 2y (xy).11.所以：r 4的取小值是 1x 4y三、构造方程求最值例4：已知实数 a、b、c满足：a+b+c=2, abc=4.求a、b、c中的最大者的最小值 分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。解：设c为最大 者，由已 知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab= /，则a、b可以看作c24口 ,24rX2 (2 c)x 0的两根，因为a、b是实数，所以(2 c)2 4-

4、 0 ,即 ccc3 4c2 4c 16 0, (c 2)(c 2)(c 4) 0,得 c 2 或c 4,因为 c 是最大者，所以 c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使Jx2 4 J(8 x)2 16取最小值的实数X的值为 分析：用一般方法很难求出代数式的最值，由于Jx2 4 &8 x)2 16= J(x 0)2 (0 2)2J(x 8)2 (0 4)2 ,于是可构造图形 ，转化为：在x轴上求一点c(x,0),使它到两点 A (0, 2)和B (8, 4)的距离和 CA+CBt小，利用对称可求出C点坐标,这样，通过构造图形使问题迎刃而解。解：x2 4,(8-x)216= .(x

5、0)2 (0 2)2. (x 8)2 (0 4)2 .于是构造如图所示。作 A (0, 2)关于x轴的对称点A' (0,-2),令直线A' B的解析式为y=kx+b,30kb 2 k 3则解得 48kb 838所以y x 2,令y=0,得x .43即C点的坐标是(8,0),所以当x 8时,Jx2 4 4(8 x)2 16有最小值， 33五、利用判别式求最值3x26x5一，例6:求y=66x5的最小值5xx1解：去分母可以整理出关于 x的一元二次方程(y 6)x2 (2y 12)x (2y 10) 0,因为 x 为实数，所以0得:4 w x w 6,解得，故y的最小值是4六、消元

6、思想求最值例 7:已知 a、b、c 为整数，且 a+b=2006, c-a=2005 , a<b,贝U a+b+c 的最大值为(2006年全国初中数学竞赛试题)分析由题：由于是求三个未知数的最大值，设法将其转化成一个未知数的形式，由题设可得b=2006-a, c=2005+a,将其代入原式得：a+b+c=a+2006-a+2005+a=4011+a又 a+b=2006,a、b 均为整数，a<b,所以 a< 1002,所以当a=1002时，a+b+c 的最大值是 4011+1002=5013.七、利用数的整除性求最值例8：已知a、b为正整数，关于x的方程x2 2ax b 0的两

7、个实数根x1、x2,关于y的方程y2 2ay b0两个实数根为y1、y2,且满足x1y1、x2y22008，求b的最小值。（数学周报杯 2008年全国初中数学竞试题）分析与解：因为方程 x2 2ax b 0与y2 2ay b 0有实根，所以有：（2a）2 4b 0,即a2 b ,由根与系数的关系，得xx22a,xx2b;y y2a,yy2b%y2 2a（x1x2）（x）（ x?）V1V2 （ x1）（ x2）解得：y1x1或y1x2V2 x2 V2 X把y1，y2的值分别代入,x1 y2 x2y22008 得x1（ x1）x2（ x2） 2008 ,或 x1（ x2）x2（ x1）2008 （

8、不成立）即 x22 x12 2008, （x2 x1）（x2 x1） 2008因为 x1 x2 2a 0,x1x2b 0 所以 x10, X20于是有2aV4a2 4b 2008 即 av50b 1 502 2 251因为a,b都是正整数，所以a 1a2 b2或a 505或5022a2 b 1a 2a2 b2512 或a 251a2 b 4分别解得:251225124a 1a 502或22b 1 5022b 5022外 a 2. a或。或1 b 2 2512 b经检验只有：a 502 a 251符合题意.22b 5022 1 b 2512 4所以b的最小值为：3小值2512 4= 62997八、利用函数的增减性求最值22例9：设x1、x2je方程2x 4mx 2m 3m 2 0的两个实根，当 m为何值时,22Xi X2 有最小值，并求这个最小值。解：因为方程2x24mx 2m2 3m 2。有实根，所以=(4m)2 82m2 3m 2)由根与系数的关系得：X1 X20 ,解得m2m, x1x2_2_2m2 3m 22，于是 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 4m2(2m2 3m 2)=2(m 3)2 7481 o 73因为函数y=2(m )2 在m 时的值y随m的增大而减少，即 m取最大值