河北省衡水市2026届高三数学下学期4月期中测试【含答案】

2025-2026学年高三下学期4月期中数学试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B． C． D．3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．4．若5个数依次成等差数列，前三项的和为，后三项的和为9，则这5个数的和为（

）A．1 B．2 C．3 D．55．若，则（

）A． B． C． D．6．设是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则（

）A． B．1 C．2 D．37．口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（

）A． B． C． D．8．在三棱锥中，平面，，则三棱锥的体积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则（

）A．B．曲线在点处的切线方程为C．恰有2个极值点D．的图象与轴恰有2个交点10．如图，在四边形中，，则（

）A．当时， B．当时，C．的取值范围是 D．的取值范围为11．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．过点的直线交抛物线于两点，设点为坐标原点，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则（

）A． B．若为定值，则C．若，则的最大值为6 D．若，则的最大值为三、填空题12．已知函数，若为的图象的一条对称轴，则_________．13．已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________．14．黑箱中有6个质地大小相同的小球，分别编号为1，2，3，4，5，6，每次从中无放回地取一个球，然后记录编号，若编号三对中的其中一对出现，则停止取球，设此时取球次数为随机变量，则_________．四、解答题15．抛掷一枚质地均匀的硬币4次，设正面朝上的次数为．(1)求的分布列、数学期望与方差；(2)求的值．16．已知数列的前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，求证：对于任意，都有．17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，．

(1)求证：平面；(2)设，点为棱的中点，若二面角的正弦值为，求的值．18．已知椭圆的上顶点为，离心率为，圆，点到圆上一点的距离的最大值为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)设点为坐标原点，过点且与圆相交的直线交椭圆于另一点，若的面积为，求直线的方程；(3)若点在椭圆上，过点作圆的两条切线分别交轴于、两点．是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．19．设函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)判断是否存在实数、，使得函数的图象关于点对称．若存在，求出满足条件的、的值，若不存在，说明理由；(3)设是函数在区间上从小到大的前两个极值点，若，求的值．参考答案1．A【详解】由，则，所以，又，因此集合.由，则，所以，因此集合.所以.2．B【详解】设，则,由得，即，解得，所以，因此.3．C【详解】由题意知，，，，所以，即，整理得，解得.4．D【详解】由题意知5个数依次成等差数列，设为，则，且，故，则这5个数的和为.5．A【详解】设，则，由，得，即，则，故.6．D【详解】已知是定义在上的偶函数，故；又，代入得，因此，即是周期为的周期函数，当时，，因此：，，已知，代入得：，利用对数运算化简：，可得：，整理得，解得或，由对数真数要求对成立，故，舍去，所以.7．D【详解】记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，“第一次摸到蓝球”为事件，“第一次摸到黄球”为事件，则，所以.8．B【详解】如图，由平面，平面,则，又，平面，故平面，从而、、两两互相垂直，从而三棱锥可补全为如图所示的长方体，设，，，则,，由均值不等式（当且仅当时等号成立）从而，,即三棱锥的体积的最大值为.9．AB【详解】对于A，求导可得，令可得，所以，即A正确；对于B，由A可得，则，所以切线方程为，即，可得B正确；对于C，易知函数的定义域为，又，令，可得，所以当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数仅在处取得极小值，即仅有1个极值点，可知C错误；对于D，由C中分析可知，即对于任意,恒成立，因此D错误.10．AD【详解】由题意如图建系，可得，过点作轴，垂足为，因为，则，又，所以，又，，所以直角直角，即，则选项A，当时，，则​，A正确；选项B，当时，，则，，故，B错误；选项C，，，则：，因为，由二次函数单调性可得，C错误；选项D，，则：，时，二次函数对称轴为，由单调性可知，即的取值范围是，D正确.11．ACD【详解】焦点到其准线的距离为，故A正确；设，，易知直线斜率不为，设直线方程为，联立，得，所以，，所以，若为定值，则，解得，故B错误；，线段的中点到抛物线的准线的距离，则，又，所以，，将代入得，，所以当时，取得最大值，最大值为，故C正确；，，，，因为，所以，即，又，，所以，则，，则，则，所以，令，，则，由得，则，所以的最大值为，故D正确.12．【详解】，其中为辅助角，由为的图象的一条对称轴，则为最大或最小值，即，即，整理得，即.13．0或.【详解】由圆知，，半径.由圆截直线所得两段弧长之比为知，两段弧所对的圆心角为和，根据圆的弦长相关性质可知，圆心到直线的距离.根据点到直线的距离公式知，，所以，平方整理得，即，解得或.14．/【详解】根据题意有：的可能取值为，又，，，所以.15．(1)分布列见解析；(2)【详解】（1）由题意得：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，则，所以，，，所以的分布列为：所以；（2）由（1）有：，所以.16．(1)(2)证明见解析【详解】（1）当时，由得，所以，即，当时，，所以，所以，故，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即.（2），所以，当时，，不等式成立，当时，，综上.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）取中点，连接，由底面为菱形，，则为等边三角形，则，又平面平面，平面平面，平面，故平面，由平面，则，又，，、平面，故平面，又平面，故，由底面为菱形，则，由，、平面，故平面；（2）令，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设为单位长度，即，则，，则，则，，，，，则，，，设平面与平面的法向量分别为、，则有，，令，，则，，，，即、，设二面角的平面角为，则，即有，整理得，则（负值舍去）.18．(1);(2)或;(3)存在，.【详解】（1）由题意，圆的圆心，半径，由点到圆上一点的距离的最大值为3，即，从而，即，解得，又，即，又，即，解得，，从而椭圆的标准方程；（2）设由的面积，解得，由在椭圆上，从而，得，从而，即，当的坐标为，，直线，圆心到直线的距离，不合题意；当的坐标为，，直线，圆心到直线的距离，不合题意；当的坐标为，，直线，圆心到直线的距离，符合题意；当的坐标为，，直线，圆心到直线的距离，符合题意；综上所述，直线的方程为：或（3）设，当,有一条斜率不存在时，为椭圆上下顶点或左顶点，若为椭圆左顶点，过点作圆的切线只有一条且与轴平行，不合题意；若为椭圆上下顶点，过点作圆的切线有一条且与轴重合，不合题意；故,的斜率均存在，分别设为，则直线：，即，则，同理，则.又直线与圆相切，则圆心到直线的距离，两边平方得：，化简整理得：，同理可得，从而为方程的两根，，此时，则，化简整理，又，即得，整理得，解得或（舍去），当时，，从而.19．(1)(2)存在，(3).【详解】（1）当时，，则，而，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）假设存在实数，使得的图象关于点对称，则，即，则，取，则，所以或.若，则，取，则，故，即，则.综上所述，总有，因此，当时，有，若为偶数，则对任意恒成立，故，即；若为奇数，则对任意恒成立，故对任意恒成立，显然不成立.故.（