勾股定理的不同证法

1、宜bhn勾股定理的不同证法证法1设三角形较短的两边长度分别为 a和b,较长的边为c, 如果a的二次方与b的二次方的和等于c的二次方，最长边对 应的角为直角，则已证明勾股定理：a2hb2=c2证法2:以三角形三边延伸做三个正方形，边长分别为 a，b， c，如果正方形（a边长）加正方形（b边长）面积和等于正方 形（c边长），则a；+b2=c2,已证明勾股定理。证法3:以a, b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形， 则每个直角三角三角形的面积等于？ ab,把这两个直角三角形如图所示，使A , E, B三点在一条直线上 RtA EAD 也 RTA CBE,/ ADE = / BEC ,vZ AED

2、 + Z ADE = 90 °/ AED + Z BEC = 90°Z DEC = 180° 90°= 90° DEC是一个等腰直角三角形它的面积等于？ c2又因为Z DAE = 90°,Z EBC= 90 AD / BC ABCD是一个直角梯形，它的面积等于？（a+ b） 2 ? （ a+ b） 2= 2 ？ab+?c2 a2b2=c2证法4:做8个全等的直角三角形设它们的两条直 角边长为a, b,斜边长为c,在做三个边长为a, b, c的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形，从 左图可以看到，这两个正方形的边长都是a+ b,所以

3、面积相等，即：aEb2+ 4 ? ab 等于 c2+ 4 ? ab,整理便得 a+b2=c2证法 5:以a, b为直角边（b>a）,以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于？ab,把这四个直角三角形拼成如图所示形状。v RtDAH 也 RtA ABE, Z HDA = Z EABvZ HAD + Z HAD = 90 ° Z EAB +Z HAD = 90° ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2v EF = FG= GH = HE = b aZ HEF= 90° EFGH是一个边长为b a的正方形，它的面积等于（ba） 24

4、？ab+（ b a） 2等于 c2 a2b2=c2证法6:从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下:b （ a + b ）= 1/2c2+ ab + 1/2（b + a）（b - a）矩形面积=（中间三角形）+ （下方）2个直角三角形+ （上方）1个直 角三角形。（简化）2ab + 2b 2= c 2； + b 2- a 2+ 2ab2 b2- b2 + a2= c2:a+b2=c2证法7 :如图，在Rt ABC中，设直角边AG BC的长度分别为a、b,斜 边AB的长为c,过点C作CDLAB,垂足是D.假设a2b2 =c2，即假设AC2 + BC2工AB2，贝U由AB2= AB AB

5、 = AB (AD + BD )= AB AD + AB BD 可知，AC2M AB AD 或者 BC2MAB BD.即 AD: ACM AC AB,或者 BD: BO BC AB2 2BC - AB的假设不能成立.在 A ADCP A ACB中, / A = / A,若 AD: ACM AC AB 贝U/ ADOZ ACB在 A CDS和 A ACB中, Z B = Z B,若 BD BCM BC AB,贝UZ CDMZ ACB又 Z ACB = 90o, Z ADO 90o,Z CDM 90o.2这与作法CD!AB矛盾.所以，AC a2 +b2 =c2证法 &设直角三角形两直角边的

6、长分别为 a、b（b>a）,斜边的长为c.做 两个边长分别为a、b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状，使 E、H、M 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a,连结DA、DC, 则 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a , DM = EM ED = (b + a) a = b.又 Z CMD = 90o, CM = a,Z AED = 90o, AE = b, RtA AED 也 RtA DMC. Z EAD = Z MDC , DC = AD = c. Z ADE + Z ADC+ Z MDC

7、=180o,Z ADE + Z MDC = Z ADE + Z EAD = 90o,Z ADC = 90 o.作AB / DC, CB / DA，则ABCD是一个边长为c的正方形. Z BAF + Z FAD = Z DAE + Z FAD = 90o, Z BAF= Z DAE.连结FB,在A ABF和A ADE中，AB =AD = c , AE = AF = b，/ BAF= / DAE , ABF 也 ADE. / AFB = / AED = 90o, BF = DE = a. 点B、F、G、H在一条直线上.在 RtA ABF 和 RtA BCG 中，AB = BC = c， BF = CG = a, RtAABF 也