勾股定理知识点梳理

1、Bb C勾股定理知识点梳理1直角三角型有哪些特殊的性质；角，直角三角型的两锐角互余;边，直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方，用符号表示：在RtZkABC中，a'+z/ = c；而积，两种汁算而 积的方法。2. 如何判定一个三角形是直角三角形呢？有一个内角为直角的三角形是直角三角形;两个内角互余的三角形是直角三角形：如 果三角形的三边长为a、b、c满足/ +疾=疋，那么这个三角形是直角三角形3. 勾股定理与勾股定理逆左理的区别与联系区别:勾股泄理是直角三角形的性质左理，而其逆左理是判圧左理； 联系:勾股泄理与其逆左理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4. 互逆命题的概念如

2、果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆 命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。5. 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2ta, b, c为正整 数时，称a,b,c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5： 6.8,10; 5,12,13： 7,24,25 , & 15,1 7 ；9 , 40, 4 1 等6勾股定理的证明勾股左理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙,而积不会改变 根据同一种图形的面积不

3、同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：力法':+ S疋方形efgh = S正方彤abcd » 4xab + (b-a) = c?,化5'J 可ilE.方法二: 四个直角三角形的而积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的而积与小正方形而积的和为S=4xLah + c=2cib + c22大正方形而积为S = (u + h)2 =a2 + 2xih + b2所以/ +b2 =c2 方法三:S梯形=扣+外(“+可,S梯形=2S沁+S沁=2十血+挡化简得证举一反三【变式】：如图Z B = ZACD=90°是多少？ A类型二勾股定理的构

4、造应用*中，= 60° AC = 70 AB = 30A(3)己知 c = 2 5,6=15,求A长一.典型例题类型一:勾股定理的直接用法1> 在 RtAABC 中,ZC=90°(1)已知 a二6,c=10z求 b,aa 思路点拨：写解的过程中, 注意勾股龙理的变形使用。(2)已知 a=40, b=9,求 c： 一泄要先写上在哪个直角三角形中,fAD=13,CD=12.8(7=3,则 AB 的长2、如图,已知：在求 B C 的a 思路点拨:由条件Z4 63,想到构适含30。角的直角三角形，为此作AD丄于BD = -AB = 15 °,则有Z = 30

5、6;a,2,再由勾股左理计算出力、DC的长，进而求出BC的长.a举一反三【变式1】如图，已知C = °AM = CMMP丄虫B于只 =AP2+BC【变式2求,Z A=60° , AB=4 , CD=2 o 求:四边形 ABCD的而积。4类型三：勾股定理的实际应用(-)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示准一次夏令营活动中，小明从营地A点岀发，沿北偏东60°方向走了 500的垃到达B点撚后再沿北偏西30。方向泄了 500m到达目的地C点。必(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地C在营地A的什么方向。亠举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形髙25米，

6、宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?A【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其髙度是否小 于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD丄AB,与地面交于Ha（二）用勾股定理求最短问题4国家电力总公司为了改善农村用电电费过髙的现状, 目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形 的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部 分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.A 思路点 拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短，通过利用勾吸泄理讣算线路长，然

7、后进行比 较，得出结论.举一反三亠 【变式】如图，一圆柱体的底而周长为20cm,高AB为4cm, BC是上底 而的直径一只蚂蚁从点A岀发，沿着圆柱的侧而爬行到点C,试求出爬行的最短路程.定理）（提问：勾股.AC=J力矿+时=、如+1（? = 229 10. 77 （cm）（勾股定理）.亠 答: 最短路程约为1 0 .77cm.类型四:利用勾股定理作长为而的线段OA B5、作长为旋、羽、的的线段。思路点拨:由勾股左理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于旋，直角边为旋和1的直角三角形斜边长就是右，类似地可作的。丄举一反三【变式】在数轴上表示航的点。解析:可以耙帀看作是宜角三角形的斜边，（应

8、F = 1°,为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分別是3和仁亠a作法:如图所示在数轴上找到A点，使OA=3,作AC丄OA且截取AC=1,以OC为半径产以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为航。类型五:逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正祁強1 .原命题：猫有四只脚.（正确）必2. 原命题:对顶角相等（正确）3. 原命题：线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.（正确）4. 原命题:角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）a思路点拨:掌握原命题与 逆命题的关系。解析：1.逆命题:有四只脚的是猫（不正确

9、卜2.逆命题:相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.回（正确）a4. 逆命题：到角两边距藹相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：本题是为了学习勾股泄理的逆命题做准备。7、如果A ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+ b 2+c2+50= 6 a+8b+l 0 c 判断A ABC的 形状。4 总结升华：勾股定理的逆左理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证 明中也常要用到。4 举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中,ZB = 90° , AB = 3, BC=4 , CD= 1 2 , A 0=13, 求四边形A

10、BCD的而积。【变式2已知:ZX/A B Q的三边分别为一n£2m n ,m +n2（m/n为 正整数，且m>n ）,判断AABC是否为直角三角形.分析：本题是利用勾股左理的的逆左理，只要证明:a2b 2=c2即可证明（/ 一屏）2斗（2楓2）2 =朋- 2旳如2 +屛+4陀竝12 24=（詔 +«2）2所以是直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD, E为BC中点,F为AB上一点，且BF=4 ABU 请问FE与DE是否垂直?请说明。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法、若直角三角形两直角边的比是3： 4,斜边长是20,求此直角三角形的而积小 思路点拨:

11、在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根 据勾股左理列岀方程，求出未知数的值进而求而积。总结升华:直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股上理列方程（组）求 解。a举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的而积。a【变式2】直角三角形周长为12 cm,斜边长为5cm,求直角三角形的而积。a【变式3】若直角三角形的三边长分别是n +l,n+ 2 ,n+3,求n。思路点拨：首先要确左斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股左理列方程求解。4 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A. & 157 B. 4, 5,6 C、

12、5, 8,10 D、8, 3 9, 40解析:此题可直接用勾股定理的逆宦理来进行判断，【变式5】四边形ABCD中，ZB=90° ,AB=3> BC=4,CD二12, AD二13,求四边形 ABCD的而积。类型二:勾股定理的应用2、如图，公路N1N和公路PQ在点P处交汇，且ZQPN=3 0 °，点A处有 一所中学，AP=160mo假设拖拉机行驶时，周囤1 00m以内会受到噪音的 影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响? 请说明理由，如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h.那么学校受影响的时间为多少秒？金思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音

13、是否影响学校久实质上是看A到公路的距离是否小于 100m,小于1 00m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要 求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖 拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结朿影响学校。同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD= 1 OO（m）, BD=60 （m ）户/.CD= 1 2 0 （m）o拖拉机行驶的速度为：1 8 km/h =5m/s a t =1 2 Om-r 5m/s=24so亠 答: 拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

14、a 总结升华：勾股左理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过 作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股泄理。举一反三【变式1如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”, 在花恫内走出了一条"路”。他们仅仅少走了步路（假设2步为lm）,却踩伤了花草。43+4 =7 (m)解析：他们原来上的路为设走“捷径”的路长为xm,则运=拧"=5故少走的路长为7-5 = 2(m)又因为2步为lm,所以他们仅仅少泄了 4步路。【答案】4 【变式2】如图中的虚 线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三 角形称为

15、单位正三角形。(1) 直接写出单位正三角形的高与而积。(2) 图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的而积是多 少？(3) 求出图中线段AC的长(可作辅助线)。类型三：数学思想方月(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论ilE时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直 角三角形问题来解决.3、如图所示,AABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、 AC边上的点，且DE丄DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。思路点拨:现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD. a总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股立理等知识。通过此题，我们可以了解:当已知仁 的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一