四川省宜宾市高考数学三诊试卷(理科)

1、高考数学三诊试卷（理科）1.i选择题（本大题共12小题，共60.0分）已知集合 A=x|x+10, B=x|x2-x-6W 0则 AAB=（2.A. （-1, 3 如图，在边长为 内的豆子粒数为 影的面积为（B. (-1,-3)C.(-1, 2)D. (-1, 2)口的正方形内随机地撒一把豆子，落在正方形m,落在阴影内的豆子粒数为 ）3.4.5.A. 一B.-C.mD.设是空间两条直线，则“。力不平行”是“A.充分不必要条件B.C.充要条件D.n,据此估计阴以上是异面直线”的（）必要不充分条件既不充分也不必要条件已知函数 汽川=卜此科,若函数g（x）是f（x）的反函数，则fg）=（）A. 1欧

2、拉公式:B. 2C. 3D. 4=COSH +后ill* （i为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三题号一一二总分得分第5页，共15页角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，A. 1B. - 1C.D.A.图象关于y轴对称B.图象的一个对称中心是（-T- 0）7.C.周期是寻D.在&方上是增函数.如图圆锥的高5口 =平,底面直径丹丹二2f是圆。上一点，且 再。=1,则5月与日匚所成角的余弦值为（）A.-C乖B.：1D.6.已知函数y =匚第一为，则下列关于它的说法正确的是（8.9.10.4尼已知c(?$a二一百，a (-兀，0),贝/=()A. 1B. 7C.已知双曲线二1的左右焦点分别

3、为 a的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于( )D. -7F1, F2,以它的一个焦点为圆心，半径为 aA, B两点，则四边形 F1AF2B的面积为A. 3B. 4C. 5如图，边长为2的正方形ABCD中，E, F分别是BC, 点，现在沿AE, AF及EF把这个正方形折成一个四面体, C, D三点重合，重合后的点记为 P,则四面体P-AEF ( )11.12.13.14.15.16.相邻的排法有 种.123A.B.C. ,D. 1已知函数f (x)是定义在 R上的奇函数，且当 xRO时，f (x) =x (x-4),则方程f(x) =f (2-x)的所有解的和为()A. 1. ；B. 1C.

4、3D. 5已知椭圆十=1的左右焦点分别为 F1, F2,过F1作倾斜角为45。的直线与椭圆 G U、T = 2t交于A , B两点，且F,白丹F,则椭圆的离心率二()“甲一书八仙r短A.B. _C. _D.填空题(本大题共4小题，共20.0分)已知实数x, y满足则z=x+2y的最小值为.“五一”小长假快到了，某单位安排甲、乙、丙、丁四人于 5月1日至5月4日值班，一人一天，甲的值班只能安排在5月1日或5月4日且甲、乙的值班日期不能如图，已知AB为圆C的一条弦，且AB AC = = _则G=海上一艘轮船以60nmile/h的速度向正东方向航行，在A处测得小岛C在北偏西30 的方向上，小岛D在北

5、偏东30。的方向上，航行20min后到达B处测得小岛C在北偏西60。的方向上，小岛D在北偏西15 的方向上，则两个小岛间的距离 CD=nmile解答题(本大题共 7小题，共82.0分)17.设数列但看的前w项和为5北，5r? = |ar-l.求证：是等比数列；求俗金的通项公式，并判断册中是否存在三项成等差数列 ？若存在，请举例说明; 若不存在，请说明理由.18.流浪地球是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上影，该片上影标志着中国电影科幻元年的到来；为了振救地球，延续百代子孙生存的希望，无 数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进.某网络调查机构调查了大 量观众的评分，得到

6、如下统计表：评分12345678910频率0.030.020.020.030.040.050.080.150.210.36(1)求观众评分的平均数？(2)视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取 1人，他的评分恰好是10分的概率是多少？(3)视频率为概率，在评分大于等于8分的观众中随机地抽取 4人，用E表示评分为10分的人数，求 E的分布列及数学期望.19.如图，在四棱锥 S-ABCD 中，AB=AD=AS=2BC, AD/BC, AD1平面 ABS,二面角 B-AD-S为60, E为SD中点.(1)求证：CESA；(2)求AB与平面SCD所成角的余弦值.20.已知抛物线x2=2p

7、y (p0)上一点M (1, m)到它的准线的距离为 ，(1)求p的值；(2)在直线l上任意一点P (a, -2)作曲线C的切线，切点分别为 M, N,求证: 直线MN过定点.21 .已知函数 f (x) =eax-a (x+2) , awQ(1)讨论f (x)的单调性；(2)若函数f (x)有两个零点xb x2 (x1vx2),求证:22 .在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲x 3 + 2 c,。s riy = 2-b2sina (为参数).(1)写出C的普通方程，求 C的极坐标方程；(2)若过原点的直线l与C相交于A, B两点，AB中点D的极坐标为(

8、Po，今，求 D的直角坐标.23 .设函数 f (x) =x+|2x-4|+1 , gQO = |工十 叫十 |一|,其中m 至 0.(1)解不等式f (x) 0得：x-1,即A= (-1, +8),解一元二次不等式 x2-x-64导：-2a即B=-2 , 3,即 AAB= (-1, 3,故选：A.由一元一次不等式的解法得：A= (-1, +8),由一元二次不等式的解法得：B=-2, 3,由交集的运算得：AAB= (-1, 3,得解.本题考查了一元一次不等式、一元二次不等式的解法及交集的运算，属简单题.2 .【答案】A【解析】【分析】本题主要考查几何概型的应用，根据几何概型的概率公式， 进行估

9、计是解决本题的关键,属于基础题.由已知求出正方形面积，根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论.【解答】解：正方形面积为 a；设阴影部分面积为 S,则W，得，*故选A.3 .【答案】B【解析】 解：由a, b是异面直线？a, b不平行.反之不成立，可能相交.“a, b不平行”是“ a, b是异面直线”的必要不充分条件.故选：B.由a, b是异面直线？ a, b不平行.反之不成立，可能相交.即可判断出结论.本题考查了异面直线的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4 .【答案】B【解析】解：由函数y=f (x) =log2X,得x=2y,把X与y互换，可得y=2

10、x,即g (x) =2x,.g (2) =22=4,则 f (g (2) ) =f (4) =log24=2.故选：B.由已知求出f (x)的反函数g (x),然后依次求函数值得答案.本题考查函数的反函数的求法，是基础的计算题.5 .【答案】B【解析】解：由eix=cosx+isinx,得(网a=3谒十is沅芋=产=-1 .故选：B.n _If 与 7由题意可得产”0句+在) =t =T,则答案可求.本题考查欧拉公式的应用，考查三角函数值的求法与虚数单位i的性质，是基础题.6 .【答案】B【解析】解：函数丁 二匚”6-3为，=sin3x.则：函数的图象关于原点对称，故选项 A错误.函数的最小正

11、周期为 T=y,故选项C错误.当 x=q时 f（4）=0,故选项B正确.令：一7+2上拜 W 3m W 2笈 + g （kCZ）,整理得：一：十黜r M * M熊汗+ ：,所以函数在,刍上单调递减.故选项D错误.故选：B.直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考 察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.7 .【答案】A【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系得:A (0,-1, 0) , B (0, 1, 0) , S (0, 0,炳，C (T, 4, 0),

12、设dS, 8C的夹角为又 Af=（0，1，B），冏=（? 3 0），A5 EC 。贝U cos。广-|=i ,A5 0C即SA与BC所成角的余弦值为 故选：A.由空间向量的数量积运算及两空间向量所成的夹角得：建立如图所示的空间直角坐标系得：A (0,-1, 0) , B (0, 1, 0) , S (0, 0,招)，C (,-：, 0),设二，丸的夹角为又小(0，1,志)，；广(目一，)，则cos0言早Y，即SA与BC所成AS BC角的余弦值为，得解.本题考查了空间向量的数量积运算及两空间向量所成的夹角，属中档题.8 .【答案】D【解析】解：。学2二一；a (-0 0),33. sin , t

13、an 8彳,贝hwg与=黑=-7，故选：D.由已知结合同角平方关系可求tan囚然后根据两角差的正切公式即可求解.本题主要考查了同角平方关系及两角差的正切公式的简单应用，属于基础试题.9 .【答案】D【解析】解：双曲线1 二 1的左右焦点分别为 Fi, F2,以它的一个焦点为圆心，半径 为a的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A, B两点，可得：凉高=口，所以a卒,C=J6, A (T, T),则四边形F1AF2B的面积为：2 X 1 X 26 X =6.故选：D.a=b,然后求解四边考查转化思想以及计算求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线的距离推出 形F1AF2B的面积.本题考查双

14、曲线的简单性质以及圆与双曲线的位置关系的应用， 能力.10 .【答案】B【解析】 解：由题意可知 PA, PE, PF两两垂直,1 1 1 1. Va-pef=55 KFEF ”尸人=可乂2乂 1 X1M 2=于 设P到平面AEF的距离为h,2又 Saaef=22-. - I - -_ - I - -_ I - I.Vp-aef= 0时，f(x)=x (x-4),.,当 XV0 时,-x0,则 f (-x) =-x (-x-4) =-f (x),即 f (x) =-x (x+4) , x 0,则 f (X) =-x(x + +),x0，作出f (x)的图象如图：，.y=f(2-x)的图象与y=

15、f (x)的图象关于 x=1 对称，.作出y=f (2-x)的图象，由图象知 y=f (2-x) 与y=f (x)的图象有三个交点，即f (x) =f ( 2-x)有三个根，其中一个根为1, 另外两个根a, b关于x=1对称，即 a+b=2,则所有根之和为 a+b+1=2+1=3 ,故选：C.根据函数奇偶性的性质求出函数f (x)的解析式，结合 y=f (2-x)的图象与y=f (x)的图象关于x=1对称，利用对称性进行求解即可.本题考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，利用函数的对称性，利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.12 .【答案】D【解析】解

16、：椭圆亍+ %匚1的左右焦点分别为 Fi, F2,过Fi (-c, 0)且斜率为1, 为1的直线y=x+c,交椭圆于A, B,代入椭圆方程，化简可得(a2+b2) y2+2cb2y+c2b2-a2b2=0,设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 y1+y2=-j777, yy2=出+9，2且f再叫，可得y2=-2y1,可得，-2 (奈+b1)2督呼2cb可得 9c2=2a2, e=：:=F.故选：D.r = 2 -利用椭圆焦点坐标，求解直线方程，利用且F声一留转化求解椭圆的离心率即可.本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.13 .【答

17、案】1f y 10 X20v15 Xcos45 ；在那BD中由正弦定理可得 BD,在4BCD中由余弦定 的值.正弦定理、余弦定理的应用，求出BD和BC的值,17.【答案】解：（1）n=1时,. a1=2.n2时, an=3an-1 anWQ-3, an是等比数列.a1二2,公比 q=3,（2）由（1）知小是等比数歹（, 曲线y =3工上任意两点确定的线段，除端点外，都在该曲线的上方,即无三点共线.不存在三项成等差数列.【解析】（1）首先利用递推关系式求出数列的通项公式.（2）根据数列的通项公式，进一步转换为函数的关系式求出结果.本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的通项公式，主要考察学生

18、的运算能力和转换能力，属于基础题型.18.【答案】解：（1）设观众评分的平均数为则 工=1 x 0,03+2x 0,02 + 3 x 0.02 + 4 x 0,03 + 5x0,04 + 6 x 口.05 十 7 x 0,08+80.15+9X0.21+10 0.36=8 （分）；（3 分）（2）设A表示事件：“ 1位观众评分不小于（8分）”，B表示事件：“ 1位观众评 分是（10分）”，P川- -1P(A) 015 + 0.21 十 0 362 )6分)由题知E服从B（4,= o 1 2, 5 4),(9 分)分布列:01234113111P前百4同.Ed) = 4X： = 2. (12 分

19、)【解析】（1）设观众评分的平均数为 二 则 工=1 X 0,03 + 2 X 0,02 + 3 乂 1）,02 + 4 父 0,03 + 5 X 0,04 + 6 X 口.05 + 7 x 0.08+8X0.15+9X0.21+10 0.36=8 （分）；（2）利用条件概率公式可得；根据二项分布的概率公式可得分布列和期望.本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题.19.【答案】（1）证明：作SA中点F,连接EF, 为SD中 11点，EF 二笈，（ 1 分）田匚efbc得平行四边形 BCEF, CE/BFj （3 分）y.AD4 面ABS,，SAB为二面角B-AD-S的平面角， 二zSA

20、B=60 , （ 4 分）.AB=AS, . BA=BS, . BF _LSA,. CE ISA （ 6 分）（2）解：作 AB 中点 O,由（1）知 SO小B, SO小D, .ABnAD=A, .SO面 ABCD（7分）如图建立空间直角坐标系 O-xyz,设BC=1,则5（0 仇同 CU 1, 0）,巩一1,2t 0）,设平面SCD的法向量：=（x, y, z）,得二;+漏=o,可取:二1, 2,平），（9分）8S=m = = T（ 11 分）早（12 分）（注：本题结合等体积法等方法，请参照给分）$m=半，AB与平面SCD所成角的余弦值为 n AB【解析】（1）作SA中点F,连接EF,证明

21、BCEF是平行四边形，CE /BF,说明ZSAB 为二面角B-AD-S的平面角，推出BF1SA,然后证明CE上SA.（2）如图建立空间直角坐标系 O-xyz,设BC=1,求出设平面SCD的法向量，利用空间 向量的数量积求解 AB与平面SCD所成角的余弦值即可.本题考查直线与平面平行以及垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力.20.【答案】解：（1）抛物线E：y2=2px（p0）的准线为# =一1（2分）由已知得，叫到准线的距离为,-P=2,E 方程：y2=4x （4 分）（2）证明：由已知可设，1： x=my+2, 12： x=m2y+2由卜士切建+ 2得：y2

22、-4m1y-8=0设 A （x1，y1） , C （x2, y2）,则 y1+y2=4m1 （6分）. yM=2m1,又Mm = 2渊+ 2,即鬲+ 2, 2啊）同理可得：N（2mf + 2, ?m2）（8 分）2win-2mLi也MM = . Wh =许;（吗 +。）17MW :,即y =-2+2巾1小。（10 分）1 1 1,.1i, l2的斜率之积为-2, .有，忌=一上即叫m2二fMN : y =/7闲（彳-3）即直线MN过定点（3, 0） . （11分）当血1+血=。时，不妨设帆20 口寸，1气时, e1,f (x) 0.20. xv。时，eax 1, :f (x) 。时，f (x)

23、 0.20. xv 0 时，eax 1,f (x) 0.综上，f (x)的增区间是0, +8),减区间是(-8, 0).(2)证明：由(1)知，f(x)有两个零点时，/0与，/(0) = eu-a(0 + 2)0, h (力)在(0, 1)上单调递增，h (3 v h (1) =0. g (2-t1)-g (t2)v 0,即 g (2-t1)vg (t2).才团=.当te(1, +8)时，g 单调递增.(2-t1), 12c (1, +8), 2-t1t2, -t1 + t22,【解析】(1) f (x) =aeax-a=a(eax-1),由f (x) =0,得x=0,对a分类讨论，即可 得出单调性.(2)由(1)知，f (x)有两个零点时，巧0孙六。)=/一40 + 2)|.令=3, J=t2.可得 ax=lnt1, ax2=lnt2,可得 t1，t2为方程 t-lnt-2a=0 的两个根.令 g(t)=t-lnt-2a,则t1，t2为 g(t)的两个零点，0vt11vt2.可得 g (2-t1)-g )=g(2-t1) -g (t1) 二2-t1-ln (2-t1)-2a- (t1-ln