椭球面上大地问题的解算

1、椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 一、概述一、概述 二、勒让德级数式二、勒让德级数式 三、高斯平均引数正解公式（重点）三、高斯平均引数正解公式（重点） 四、高斯平均引数反解公式（重点）四、高斯平均引数反解公式（重点） 五、贝塞尔大地问题解算五、贝塞尔大地问题解算一、一、 概述概述（一）解算内容（一）解算内容 大地问题正解大地问题正解已知P1点大地坐标（B1，L1）、P1P2大地线长S和大地方位角A1，推求P2点大地坐标（B2，L2）和大地方位角A2。 大地问题反解大地问题反解已知P1P2两点的大地坐标（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地线长S和大地方位角A1、A2。（二）解

2、算方法二）解算方法 1、按解算的距离分为：短距离（400km)、中距离（4001000km)和长距离（10002000km)的解算。 2、按解算形式分为：直接解法和间接解法 直接解法直接解求点B、A和相邻起算点的大地经差。 间接解法先求大地经差、纬差和大地方位角差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解算。 （二）解算方法二）解算方法 3、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适用于短距离）。 基本思路：基本思路： a、按照平均引数展开的泰勒级数把大地线两端点的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长S的幂级数； b、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，最终得到大地问题解

3、算公式。大地主题解算分类：大地主题解算分类：正算：正算：已知(B1, L1)，A12，S12，计算(B2, L2)，A21反算反算：已知(B1, L1)， (B2, L2)， 计算A12，S12 ，A21短距离中距离长距离解算方法：级数展开 勒让德级数 高斯平均引数公式 贝塞尔公式KmS120KmSKm400120KmS400二、勒让德级数二、勒让德级数 按照泰勒级数将P1和P2两点的纬差b、经差l和方位角差展开成为大地线长度S的幂级数，称为勒让德级数式勒让德级数式。1、纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式62626230332022012303320220123033202201

4、2SdSAdSdSAdSdSdAAAaSdSLdSdSLdSdSdLLLlSdSBdSdSBdSdSdBBBb由大地线的微分公式，得其一阶导数为：ANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintan cossin cos 二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算：dSdAdSBdAdSdBdSBdBdSBddSdAdSdBAdSdBdSdBBdSBd22223322同理可求出四阶以上的导数和L、A的高阶导数，代入展开式即可。三、三、 高斯平均引数正解公式高斯平均引数正解公式（一）基本思想一）基本思想 首先把勒让德级数在P1点展开改为在大地线大地线长度中点长度中点M M展开，以使级数公式项数减少、收

5、敛快、精度高； 其次，考虑到求定中点M的复杂性，将M点用大地线两端的平均纬度及平均方位角相对应的平均纬度及平均方位角相对应的m m点点来代替，并借助迭代计算，便可顺利的实现大地问题的正解。高斯平均引数公式高斯平均引数公式若取大地线中点展开，得：4882488233322213332222SdSBdSdSBdSdSdBBBSdSBdSdSBdSdSdBBBMMMMMMMM两式相减，得：111,LBP222,LBPMN12AMA2S2S2433312SdSBdSdSdBbBBMM类似地，有：2433312SdSLdSdSdLlLLMM243331221SdSAdSdSdAaAAMM1两式相加，得：

6、8222SdSBdBBMMm类似地，有：8 ,8222222SdSAdAASdSLdLLMMmMMm其中：21212121 ,21 ,21AAALL LBBBmmm 将 展开成级数，得：MdSdBMmmMmmmMAAdSdBABBdSdBBdSdBdSdB2由大地线的微分公式：mmmANVMAdSdBcoscos 2求导，得：ANVdSdBAAtMdSdBBmmmmmmmsin cos322mMmMdSAddSAddSBddSBd22222222 取：代入 式，得 的计算公式。并取2MdSdBmMdSBddSBd3333代入 式，求出各阶导数后整理得：12222222222221241cos3

7、 232sin241cosmmmmmmmmmmmmmttAtANSASNVBBb同理可得：222222221291cos sin241sincos1mmmmmmmmmmtAtANSASBNLLl4222222222125972cos 22sin241sinmmmmmmmmmmmmtAtANSASNtAAa以上3式具有4次方精度，可用于解算225公里下的大地主题。3 当距离小于70千米时，上述个式中的可 以略去，则得到简化公式，结构比较简单，精度高22222212sin1sincos cos24mm mmmmmSlLLSAA tANBN222212cos1sin(23) 24mmmmmSbBBS

8、AAtMN2222212sin12cossin224mmmmmmSaAASAAAtNN因计算Bm , Lm要用到B2 , L2，因此需要叠代计算。其初值为： 121112012110sintan21cos21ASBNAAASMBBmm叠代计算公式为： 2 2 12111kkmkkmaAAbBB直到 为止。 10.00 10.000 11 kmkmAkmkmBAABB最后计算纬度、经度和方位角：aAAlLLbBB12211212 （二）高斯平均引数正解公式推求步骤：二）高斯平均引数正解公式推求步骤： 1、经差l、纬差b、方位角差a是S的函数，故可以将其展为S的泰勒级数（按平均引数在 S/2处展为

9、S的幂级数）。 2、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将dL/dS以Bm、Am按泰勒级数展开。 3、根据大地线微分方程求泰勒级数中的系数。 4、将系数代入平均引数公式。 5、由于B2、A2未知，Bm、Am精确值未知，可通过逐次趋近法求出。一般三次即可。 四、高斯平均引数反解公式四、高斯平均引数反解公式高斯平均引数反解公式推求步骤：高斯平均引数反解公式推求步骤： 1、已知两点间的纬差b、经差l和平均纬度Bm，导出 SsinAm和 ScosAm，求a。 2、由SsinAm、ScosAm和 a计算S和A1、A2。计算公式：计算公式：高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式由正算公式，反解得：2

10、22222222222241cos3 232sin24coscosmmmmmmmmmmmmmmttAStASNASNbVAS22222222291cossin24sincossinmmmmmmmmmmmtAStASNASBlNAS右端第二项与第一项相比为小量，可以作近似：mmmmmmBlNASNbVAScossin cos2代入上式第二项，得：3222222222824332coscosbtNblttBNVbNASmmmmmmmmmmmm32222224sincos9124coscossinlBBNlbtBNlBNASmmmmmmmmmmm由此可求得平均方位角和大地线长度如下：mmmmmAAS

11、 SASASAsinsin cossintan1由正算公式的第三式，计算a：4222222222125972cos 22sin241sinmmmmmmmmmmmmtAtANSASNtAAa最后得起终点的大地方位角为：2 22112aAAaAAmm小结小结1 1、大地主题正解微分公式、大地主题正解微分公式 终点的经纬度（B2,L2）和大地线方位角A21，与起点的经纬度（B1,L1）和大地线方位角A12，以及大地线长度S的微分关系。1211122112221212221221212212112212122sinsincostansin0cossincoscoscossin1tansinsincos0cosdAdSdLdBAALLRBABLLBRASBRABLLRASRAAAdAdLdB2 2、大地主题反解微分公式、大地主题反解微分公式 起点大地线方位角A12和大地线方位角A21，以及大地线长度S与起点和终点的经纬度（B1,L1）和（B2,L2）的微分关系。21211211121121212121222122212121212221222121212112coscoscoscossinsincoscoscoscossinsinsincossincoscoscosdLdLdBdBASBNASBNASMASMAS