分式不等式放缩、裂项、证明

1、放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些 项（2）在分式中放大或缩 小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩（例如均值 不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩 （5）根 据题目条件进行放缩。（6） 构造等比数列进行放缩。精心整理(7)构造裂项条件进行放 缩。(8)利用函数切线、割线逼近进行放缩。;； 使用放缩法的注意事项 (1)放缩的方向要一致。(2)放与缩要适度。(3)很多时候只对数列的一 部分进行放缩法，保留一些 项不变(多为前几项或后几精心整理项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎,则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解,不宜深入。先介绍

2、工具柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）工口之 E&a均值不等式调和平均数矶何平均数今术平均数厘方平均数绝对值三角不等式 £，八定理 1 : |a| -|b| <|aF b| < |a|+ |b|推论 1 : |a1 +a2 +a3|w|a1| +|a2| + |a3|此性质可推广为 |a1 +a2 +an| <|a1| + |a2| + |an| .推论 2 ： |a| -|b| <|a- b| < |a|+ |b|定理2 :如果a, b, c是实数，那么|a c| w |a b| + |b c|,当且仅当(a b)(b c

3、) >0时，等号成立.一一一：一一 、 "一一一一-一一一一一一- 1"常用放缩思想x/u _ 1 <,2-Jri > Vn + Vn L Vn +1 1> Vn - Ln(n 4-1) >= n(n > 0), 1 1 1 1 11.、=< <=(n > 1),n n +1 n(n +1) n- n(n -1) n -1 n2(Vn +1 -= (=/< j= = < 2( Vn - 1)-Jn+Jn+1 Jn + Jn Vn这几个务必牢记不常见不常用的不等式a a a a + m若a、b、iueR-,则b

4、 + m'TF一-<1n + 1 n + 2 2n n +1 n +1 n +1 n +1111111n1+ + > + + = =.n +1n + 22n2n2n2n2n2精心整理1 1这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了卜面就是常用思路了，主要就是裂项部分 _ , _ 1 1 _ 1(2左 + if -+ 44 +1 < 4左？ + 4左一 Z 年 FTl2« = tt + n >-1) +- l)(n -1)ii-i2M 1(J7？+ Jf2-1)y H 11 Jn - J?l1 11, < 2z? Jn(九- 1) Ji-1 G

5、琴生不等式工（注意前提、等号成立条件），1上凸函数：/（工），工、煞斗、海是函数f（x）在区间出b）内的任意口个点，则有* 土叱丁F）孑/（为）+/（£）+（不）/ nn2、下凸凹）函数了（工）,工、於、也是函数/（尤）在区间Q, b）内的任意n个点，则有*/（再+W+&）w工/&）+/（七）+/5）M nn上述不等式的等号当且仅当用r产三曲成立./二项平方和f (x) = (a1x-b1 ) A2+ (a2x-b2 ) A2+ (abix)A2由f (x) >0可得小于等于01 1 1”8& :+ +n H-1总+2盟+同LCauchy +Hh <

6、; nI理+1 « + 2 h A-n） 十十十 （题+1,（即' + 2 （黑+题1 1 1 11- + +月（超+1）（芮+ 1）（国+2）（方 1）2黑12«22 3 42«-1 2»+ 1x2 3x4 5x6 7x8（2n -1） 2»1111 1 1< 一+ H +2 12 30 6x3 3x10（2m-2）2 月=一 + I 2 12 30 2 16 2n）11117V2JV + + + = < ,不口1吐2 1230121021.分式不等式中的典范，典范中的典范，放缩、裂项、去等，步步精彩f(x) = J J

7、+工为非负数3f(x的maxV 工 + 4 V x + 2也十丁 J2-十 x + 24解析：步步经典，用笔化化就能明白思想，换元或许更直观，即令t=1/(x+2 )第一步意义-开不了方的，开方，并且可取等号第二步意义-开不了方的，开方，裂项，并且可取等号 个人认为这俩个放缩，很犀利，没见过，看似难实则简单，3V24精心整理看似简单实则难2.构造+三角形 -2 的min 平面内三点A、B、C,连接三点，令AB=g AC=b BC=a求 值 +方 C解析：: a £ b + c当且仅当匕+=9且H=b+C时取得，显然可取到 c 22构造，主要就是构造，b/c就是很明显的提示。三角形中两

8、边之和大于第三边，两边之差小于第三边。构造已知正数白，满足二5。-3。WB W4一口，club£。+(?出c,则一的取值范围是a、b、c>05c *3a < b 4c - a, club a 4- chic/. ©5 3 £ 士 邑 4 £ 一 1一匕ki (7 a a accb5- - 3 « -1对于式,“线性规划易得匕玉工b A c ta< 41q ab3ia 对于式，有£出且之1,即9之(与/二J a £ a a gac平.将士看作一个量，求导二 J JCj 丁所以当马二1时取得最小值eC综上所述上

9、取疸范围为限7 a为了方便观察，没有采用换元，直接写更清楚，这题应该是一直在向目标上凑得题目了3 .反证法典例 设0 v白,瓦。< 1,求证：(1 - a)bs (1 - b)c. (1 c)a,不可能同时大于工4解析：设(1 一耽 (1 - )0-, (1 -c)a>.4 44则三式相乘：ab<(1 - d)b*( - b)c*(l c)a <一 64r-|2又r0<2九(?<1，0<(1-而省 0 2 +口 二;同理工(1 台池41 . (l-c)c<-44以上三式相乘：(1 © 门(1 一万抽(1 c)c 64与矛盾，原式成立4,

10、柯西不等式典例设x, y, z g Rt且满足炉+ y? + z? = 5,则x + 2y + 3z之最大值为U7P 丁j一二解(x + 2y + 3z)2 < (x2 + y3 + z2)(l2 4- 22 + 32) = 5 X 14 = 70二x + 2y + 3z最大值为J75有些方法就是那么气人，神奇的气人或者用三角函数也可以不过要用到三角恒等式：令 x+2y+3z=t 贝U (t-3z)A2 /，5< , (5-zA2)IP 14zA2-6tz+tA2-25 <0=-201人2+1400 W0所以 tmax=A/705.2 f 2 2甲(a ) =(X，+ 4)之 +