导数的应用完全归纳

1、第8讲与数应用的题型与方法（4课时）一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值二、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。熟记基本导数公式（c,x m （m为有理数），sin x, cos x, ex, ax ,lnx, log a x的导数）。掌握两个函数四则运算的求导 法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可

2、导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点 两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。三、复习目标1. 了解导数的概念，能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的 概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念.2. 熟记基本导数公式（c,x m （m为有理数）,sin x, cos x, ex, ax , Inx, log a x的导数）。掌握两个函数四则运算的求 导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大（小）值的问题, 掌握导数的基本应用.3.

3、了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求 导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。4. 了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则， 并会用法则解决一些简单问题。四、双基透视导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几 个方面：1 .导数的常规问题：2 1）刻画函数（比初等方法精确细微）；3 2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；4 3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式

4、的导数问题属于较难类型。5 .关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。6 .导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。7 .曲线的切线在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫 做切点.圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的.如图31中的曲线C是我们熟知的正弦曲线 y=sinx.直线11与 曲线C有惟一公共点M,但我们不能说直线11与曲线C相切

5、；而直线12尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说 直线是曲线C在点N处的切线.因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义.所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.8 .瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时 刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明.物理 课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定 义瞬时速度.9 .导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时

6、，都是以此为依据.对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)4x是自变量x在Xo处的增量(或改变量).(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x-O时，-y有极限，那么函数 y=f(x)在点x0处可导或可微,X才能彳#到f(x)在点x0处的导数.(3)如果函数y=f(x)在点xo处可导，那么函数 y=f(x)在点x0处连续(由连续函数定义可知).反之不一定成立.例如函数y二|x|在点x=0处连续，但不可导.由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量yf(x0x) f(x0)；(2)求平均变化率一yf(x°x) f(x0)(3)取极限，得导

7、数f'(x0) lim -yox 0 x7 .导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=(x)在点P(x0, f (x0)处的切线的斜率.由此，可以利用导数求曲线的切 线方程.具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线 y=f(x)在点P(x0, f (x0)处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y y0f'(x0)(x x0)特别地，如果曲线 y=f(x)在点P(x0, f (x0)处的切线平行于 y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程 为x x08 .和(或差)的导数上一节我们学习了常见函数的

8、导数公式，那么对于函数f(x) x3 x2的导数，又如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。f (x x) f (x). (x x)3 (xx)2 (x3 x2)f'(x) lim lim x 0xx 0xlimx 03x2-2 lxm0(3x2,、3x 3x( x) ( x)x22x 3x x ( x)22x x ( x)x)3x2 2x32232我们不又t发现(x x ) 3x 2x (x ) (x ),即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，这就是两个函数的和(或差)的求导法则。9 .积的导数两个函数的积的求导法则的

9、证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。(具体过程见课本P120)说明：(1) (uv)' u'v'；(2)若c为常数，则(cu) ' =cu'10 .商的导数两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以。现补充证明如下:u(xx)u(x) u(x x)v(x) u(x)v(xx)v(x x) v(x)v(x x)v(x)u(xx) u(x)v(x) u(x) v(xx) v(x)v(x x)v(x)u(x x) u(x)v(x) u(x)v(x x) v(x) xx v(x x)v(x)因为v(x)在点x

10、处可导，所以它在点x处连续，于是x-O时，v(x+4x) v(x), 从而lim，u'(x)v(x) u2(x)v'(x)即 y' U'史一 x 0 xv(x)v v说明：(1) u ' E； (2) u ' u'v 2uv' 2v v'v v学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、募函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简 单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。11 .导数与函数的单调性的关系f (x) 0与f(x)为增函数的关系。3f (x) 0能推出f(x)为增函数，但

11、反之不一定。如函数 f (x) x在(，)上单调递增，但 f (x) 0,f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件。f (x) 0时，f (x) 0与f(x)为增函数的关系。若将f (x) 0的根作为分界点，因为规定f (x) 0,即抠去了分界点，此日f(x)为增函数，就一定有f (x) 0。，当f (x) 0时，f (x) 0是f(x)为增函数的充分必要条件。f (x) 0与f(x)为增函数的关系。0 ,即为f (x) 0或f (x) 0。当函数f(x)为增函数，一定可以推出 f (x) 0,但反之不一定，因为 f (x)在某个区间内恒有 f (x) 0,则f(x)为常数，函数不具有

12、单调性。f (x) 0是f(x)为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好 函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化 了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知 y f(x)(1)分析 y f(x)的定义域；(2)求导数 y f (x)(3)解不等式f (x) 0 ,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式f (x) 0 ,解集在定义域内的部分为减区间我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能

13、准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数y f(x)在某个区间内可导。函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数f(x)在(a,b)单调递增，在(b,c)单调递增，又知函数在f(x) b处连续,因此f(x)在(a, c)单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二 区间就可以合并为以个区间。12 . y f (x) x a , b(1) f (x) 0恒成立 1- y ”*)为(2,3上对任意x (a ,b)不等式 f(a) f(x) f(b) 恒成立(2) f (x) 0 恒成立y f (x)在(a,b)上对

14、任意x (a , b)不等式f (a) f (x) f (b) 恒成立五、注意事项1 .导数概念的理解.2 .利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值.复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。3 .要能正确求导，必须做到以下两点：(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求

15、导法则。(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。4 .求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)；(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数。也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系 y=f(qp=f(x);然后将已知函数对中间变量求导(y'),中间变量对自变量求导 (1)；最后求y' 1,并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解求导一一回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变

16、量。六、范例分析一 一x2x 1例1. y f(x)在x 1处可导，则a b ax b x 1思路：y f (x)x2 x 1ax b x 1在x 1处可导,必连续lim f (x) 1x 1lim f (x) a b f (1) 1x 1a b1lim -y2x 0 x. y lim - ax 0 x例2.已知f(x)在x=a处可导，且f' (a)qb求下列极限：2-(1) lim f(a 3h) f(a h); lim f(a h)f h 02hh 0h分析：在导数定义中，增量 *的形式是多种多样，但不论 X选择哪种形式， Ay也必须选择相对应的形式。利 用函数f(x)在x a处可

17、导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：(1)一二 3h) f(a h) f(a 3h) f(a) f(a) f(a h)h 02hh 02h.f(a 3h) f(a) f(a) f(a h)limlim h 0 2hh 0 2h3 f (a 3h) f(a) 1 f(a h) f (a) lim -lim2 h 0 3h2 h 0h3 .1 .-f'(a) -f'(a) 2b22220、 f(ah2)f(a) f(ah2)f(a) u(2) lim -lim -2-hh 0hh 0h2-2-him0hf'(a) 0 0f(a h ) f(a

18、)h2说明:只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例3.观察(xn)nxn 1, (sin x) cosx , (cosx)sinx,是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数,f (x x) f (x)令 lim -x 0xf (x x) f (x)lim -x 0xf (x)f (x)f (x)可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若f(x)为偶函数 f( x) f (x)f( x x) f( x)f ( x) lim x 0xf (x x) f (x)lim -x 0可导的偶函数的导函数是奇函数另证：f f( x) f (

19、 x) ( x)可导的偶函数的导函数是奇函数2x例4. (1)求曲线y -在点(1,1)处的切线万程;x 1t 19(2)运动曲线万程为 S2t2,求t=3时的速度。t2分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在xo处的导数就是曲线y=f(x)在点p(xo,yo)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。解：(1) y'2(x2 1) 2x 2x(x2 1)22 2x2(x2 1)2.2 2c ，一y'|x 1 0,即曲线在点(1, 1)处的切线斜率k=o42x因此曲线y 在(1, 1)处的切线万程为y=1x 1t 19(2) S't

20、1 ' (2t2)'t24tt2 2t(t 1)t1S'It 3271227例5.求下列函数单调区间1(1) y f (x) x3 -x2 2x 52(2) yx2 1(3) yk2x (k0)(4) y 2x2 ln-八 2-2、)时y 0斛：(1) y3x x 2(3x 2)(x1)x (,3)(1，222x ( -,1) y0. (, -), (1,)(2,1)333- x2 1 y-(,0), (0,)x(3) yk2k) (k ,y 0 x ( k,0) (0,k) y(,k), (k,)(k,0),(0,k)1 4x2 1(4) y 4x -定义域为(0,1

21、(0,2) y 0例6.求证下列不等式(1)2 x 一 ln(1 x)2(2)(3)x2(1 x)(0,2xsinx x (0 ,)sin x tanx(0,2)证：（1）f (x) ln(1x) (x2-)2f(0)(x)f(x)为(0,）上x (0,f （x） 0恒成立 ln(12 xx) x 2g(x)2(1 x)ln( 1x) g(0) 0g (x)4x2 4x124(1 x)22x22x24(1x2)g(x)在(0 ,）上x (0,2xln(1 x) 0恒成立2(1 x)（2）原式sin x令 f (x)sin x/ xx（0,2）cosxx tanxf (x)cosx(x tanx

22、)(0,2)f (x) 0 (0,二)22x(3)令 f(x)tanx 2x sin xf(0)2f (x) sec x2 cosx(1 cosx)(cosx2cos x. 2.sin x)x (0,2-) ftanx x x(x) 0sin x例7.利用导数求和:（1.; 0=C； + 2b；+WC；+. + C；gE2。分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式（xn）' nxn1,可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：（1）当x=1时，=1 + 2 + 3 + ,*'+ = + 1）2;当XW1

23、时,两边都是关于X的函数，求导得r * - ”11f .2.3. j= v 5,X + X +- + 器)=1 - J日口1 nK-L1 一 (方+ 1)五* *卿*即 | -口3(2)(1+工)*三1+学/ +十代六，两边都是关于X的函数，求导得招（14或广1 =C：+2C% + 3C：/4;修C；k"1令X=1得=C； +2C；#3C： +，"C；?即况Y*杷+ 3b +一回-步2°例8.求满足条件的a(1)使y sin x ax为R上增函数3(2)使y x ax a为R上(3)使 f(x) ax3 x2 x 5为 R上解：(1) y cosx a， a 1a

24、 1时 y sin x x 也成立 a 1 ,)(2) y 3x2 a a 0 a 0时 y x3也成立1(3) a 1,)3a 0,)例 9. (1) x(2) n N(1)证：令1原不等式 11 x 11(0,)求证inq x 1 x x,、1n 2求证21-t x 0 x11 int t 1 t13 tt 1令 f(t) t 1 in t1n 11 f (t) 1 tt (1 ,)f (t) 0 t (1 ,)f(t) f(t) f(1) 0, , 人1t 1 int 令 g(t) int 1 -t (1,) g(t) 0-t (1. 1, , g (t) g(1) 0, , int 1

25、 t(2)令x 1 , 2 n 1上式也成立1 1t1 g iFF)g(t)11x 11inx 1 x x.11123n 1将各式相加111in2in-ig1 -2 3n 12 n 12in n 1 12例10. (2003年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷，理工农医类19)设a 0,求函数f (x) Jx in(x a)(x (0,)的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力解：f (x)12.x1(x 0). x a当 a 0,x 0 时 f (x) 0x2 (2a 4)x a20._2_2_f (x) 0 x (2a 4)x a 0当

26、a 1时，对所有x 0,有x2 (2a 4) a2 0.即f (x)0 ,此时f (x)在(0,)内单调递增.(ii)当 a 1 时，对 x 1,有 x2 (2a 4)x a2 0,即f (x) 0,此时f (x)在(0, 1)内单调递增，又知函数 f (x)在x=1处连续，因此,函数f (x)在(0, +)内单调递增(iii)当 0 a 1 时，令 f (x) 0,即 x2 (2a 4)x a20.解彳lx 2 a 2n a,或x 2 a 24Va .因此，函数f (x)在区间(0,2 a 2JT7)内单调递增，在区间(2 a 2"a,)内也单调递增.令 f(x) 0,即x2 (2

27、a 4)x a2 0,解彳12 a 2.1 a x 2 a 21 a.因此，函数f (x)在区间(2 a-21 a,2 a 2ji&)内单调递减.说明：本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下(人教版试验本第三册 P148):设函数yf (x)在某个区间内可导，如果f (x) 0 ,则f(x)为增函数；如果f (x) 0,则f (x)为减函数。如果f (x) 0 ,则f (x)为常数。例11.已知抛物线y x2 4与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为li和12。(1)求A、B两点的坐标；(2)求直线11与的夹角

28、。分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。解 (1)由方程组2y x 4,y x 2,解得 A(-2 , 0), B(3 , 5)(2)由y' =2x则y'|24, y'| 3 6。设两直线的夹角为9,根据两直线的夹角公式，x 2x 3tan所以说明:4 6101 ( 4) 62310arctan 一23本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。x e a 例12. (2001年天津卷)设a 0 , f (x) x是R上的偶函数。 a e(I)求a的值；ae(II)证明f (x)在(0,)上是增函数。 x 解：(I)

29、依题意，对一切 x R有 f(x) f(x),即 e- -ax aex,(a 1)(ex 1X) 0 对一切 x R成立， a e1由此得到a 1 0, a2 1 , a又 a 0 , . a 1。(II)证明：由 f (x) ex e x,得 f (x) ex e x e x(e2x 1),当 x (0,)时，有 ex(e2x 1) 0,此时 f(x) 0。f (x)在(0,)上是增函数。例13. (2000年全国、天津卷)设函数 f(x)&1 ax,其中a 0。(I)解不等式f (x) 1；)上是单调函数。(II)证明：当a 1时，函数f (x)在区间0,解1 ： (I)分类讨论解

30、无理不等式(略)(II)作差比较(略)。x解 2： f (x) ja.x2 1x(i)当a 1时，有, 1, x2 1此时f (x)0,函数f (x)在区间)上是单调递减函数。但f(0) 1,因此，当且仅当x 0时，f (x)1。(ii)当 0 a1时，解不等式(x)0,得xf (x)在区间(a .,2 上是单调递减函数。,1 a解方程f (x)1,2a1 a2 '.0 .12a/ 2 ，1 a2当且仅当f(x) 1,综上,(I)a 1时，所给不等式的解集为:x |0 x_2a_221 a当a 1时，所给不等式的解集为：x|x 0。(II)当且仅当a 1时，函数f(x)在区间0,)上时

31、单调函数。例14. (2002年普通高等学校招生全国统一考试(新课程卷理科类20)一 1ax 一 一 2已知a 0,函数f(x) ,x (0,)，设0 xi ,记曲线y f (x)在点M(xi, f (xi)处的切线为1。xa(i)求1的方程；111(n)设1与x轴的父点为(x2，0),证明：0 x2 若x1 ,则x1 x2 aaa1解：(1) f(x)的导致f (x),由此得切线1的方程x1 ax1x11x1(xx1)，(2)依题得，切线方程中令y 0,得又2x1 (1 ax1) x1x1(2 ax1),其中 0 x1(i)由 0 x1 一，x2 x1(2 ax1)，有 x2 a.-1，1

32、.1, 0 x2 ,当且仅当x1一时，x2 。aaa1(ii)当 x1 一时，ax1 1 ,因此，x2 x1 (2 a ,1所以x1 x2- oa/121a(x1),a aax1) x1，且由(i) , x2例15. (2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷21)已知a 0,n为正整数.(I)设 y (x a)n,证明 y n(x a)n 1;(n)设 fn(x) xn (x a)n,对任意 na,证明 fn1(n 1) (n 1) fn (n).分析：本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力n证明：(I)因为(x a)nCnk ( a)n kxk ,

33、k 0n_ kkCn( a)k 0nk 1 nn Cn 1 ( a)k 0k k 1,、n 1x n(x a)(口)对函数 fn(x)xn(xa)n求导数:fn (x) nxn 1 n(x 所以fn (n) nnn1a)n1, (n a)n1.a。时,fn (X) x a时，fn(x)因此，当n a时,(n0.nX1)n(x a)n是关于x的增函数.(n 1 a)n n(n a)nfn 1 (n 1)(n1)(n 1)n (n1 a)n (n 1)(nn (na)n)(n1)(nn n(n a)n 1)(n 1)fn (n).即对任意 n a, fn 1 (n 1) (n 1)fn (n).七

34、、强化训练1.设函数f(x)在Xo处可导，则limX 0f(X°X) f(x0)等于2.3.4.5.6.A - f'(X0)B. f'(Xo)C.f'(Xo)D.f ( Xo)若 lxm0曲线f(X0 2 X) f(X0)C.3x上切线平行于(-12)B.f'(Xo)等于D. 2x轴的点的坐标是(1,-2)C. (1, 2)D.(-1, 2)若函数f(x)的导数为f ' (x)=nx ,则函数图像在点(4B. 0C.锐角D.钝角f (4)处的切线的倾斜角为(函数y 2x3A. 5, - 153x212xB.一直线运动的物体，从时间A .从时间t

35、到t+t时,5在0, 3上的最大值、最小值分别是C. - 4, - 15D.5,16t到t+t时，物体的位移为$,物体的平均速度B .时间t时该物体的瞬时速度C.当时间为t时该物体的速度D.从时间t到t+At时位移的平均变化率7.关于函数f (X)2x326x 7 ,下列说法不正确的是那么limt 0A.在区间(，0)内，f(x)为增函数B.在区间(0,2)内，f(x)为减函数C.在区间(2,)内，f (x)为增函数D.在区间(0)(2,)内，f(x)为增函数8.对任意x,有f '(x).34x , f(1)=-1 ,则此函数为4A f (x) x-4_B. f(x) x 2C. f(

36、x)D.f(x)x4 29.函数y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值与最小值分别是A.5 , -15B.5,4C.-4 , -15D.5 , -1610.设f(x)在xO处可导，下列式子中与f'(x。)相等的是(1) lim f(x0) f(x0 2 x); x 02 x(2)f (x0 lim 0x 0x)f (Xoxx)一；(3) limx 0f(x02 x) f(x0x)(4)limx 0f(Xox) f (Xo 2 x)A. (1) B. (1) (3)11.(2003年普通高等学校招生全国统C.(2) (3)D.考试(上海卷理工农医类(1) (2) (3) (4)

37、16)f(x)是定义在区间c,c上的奇函数，其图象如图所示：令g ( x)=af ( x ) +b,则下列关于函数g ( x )的叙述正确的是(A.a<0,则函数g ( x)的图象关于原点对称.B.a=-1, 2<b<0,则方程g (x) =0有大于2的实根.C.aw 0,b2,则方程g ( x ) =0有两个实根.D.a>1,b<20方程g (x) =0有三个实根.12.若函数f(x)在点X0处的导数存在，则它所对应的曲线在点(Xo, f (Xo)处的切线方程是一、 113 .设f(x) x -,则它与x轴交点处的切线的方程为 x14.设 f'(Xo)3

38、,则网f(x0 h)f(x0 3h)15.垂直于直线2x-6y+1=0 ,且与曲线32y x 3x5相切的直线的方程是16 .已知曲线y17 . y=x2ex的单调递增区间是 18 .曲线y 33x2 1在点(1,V4)处的切线方程为一 .2 . ,119 .P是抛物线yx2上的点，若过点P的切线方程与直线 y jx 1垂直，则过P点处的切线方程是20 .在抛物线yx2上依次取两点，它们的横坐标分别为Xi1, X23,若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为。3 33321 .曲线f(x) X3在点A处的切线的斜率为 3,求该曲线在 A点处的切线方程。 2 , ,，一 ，一2

39、2 .在抛物线y X上求一点P,使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为一。4x(x 0)23 .判断函数f(x)在x=0处是否可导。x(x 0),_ 1 ,，一24 .求经过点(2, 0)且与曲线y 相切的直线方程。X25 .求曲线y=xcosx在X万处的切线方程。26 .已知函数 f(x)=x2+ax+b, g(x)=x2+cx+d.若 f(2x+1)=4g(x),且 f'x=g'(x) , f(5)=30 ,求 g(4). 2 ,227 .已知曲线C1 ： y x与C2 : y (x 2)。直线l与CC2都相切，求直线l的万程。28 .设 f(x)=(x-1)(x-

40、2) (x-100),求 f '1)。1 ,11，29 .求曲线y 口在点(1,一)处的切线方程。(3x x2)21630 .求证方程x lgx 1在区间(2,3)内有且仅有一个实根31 . a、b、x、y 均为正数且 a b 1 n N n 1求证：axn byn (ax by) n32 . (1)求函数yJX在x=1处的导数；(2)求函数y x2 ax b (a、b为常数)的导数。33 .证明：如果函数 y=f(x)在点X0处可导，那么函数 y=f(x)在点X。处连续。34 . (2002年普通高等学校招生全国统一考试(新课程卷文史类21)3已知a 0,函数f(x) x a,x 0

41、,)，设x10 ,记曲线yf (x)在点M (刈，f (x)处的切线为l。(I)求l的方程；1(n)设|与x轴的交点为(x2,0),证明：X2a3；若X1a3,则a3X2X1。八、参考答案1 5 CBDCA ;610 BDBAB ;11 B12.y f(Xo)f'(Xo)(XXo)13. y=2(x-1)或 y=2(x+1)14.-615.3x+y+6=0116.217.(-8-2)与(0,+OO)18. x 32y 1 o19.2x-y-1=020. (2, 4)由导数定义求得 f'（x）3x2,22.令 3x2 3 ,则 x= 土。当x=1时，切点为（11）,所以该曲线在（

42、1,1）处的切线方程为 y-1=3（x-1）即3x-y-2=0 ;当x=-1时，则切点坐标为（-1,-1）,所以该曲线在（-1,-1）处的切线方程为 y+1=3（x+1）即3x-y+2=0。由导数定义得f'2X0 32xo 324.解得Xo1或Xo由Xoyo（x）=2x设曲线上 P点的坐标为（xo,yo）,则该点处切线的斜率为 kp 2x0,根据夹角公式有由 xo 1 ,得 yo 1 ；则 p（-1, 1）或，116)limlimlimx o Xx oXx olim y.f(o x) limf (o).limx o Xx oXx o.y limlim y ,x o Xx o X23.y

43、 -lim-不存在。x o x二函数f（x）在x=o处不可导。可以验证点（2, 0）不在曲线上，故设切点为由八limoXo X Xolimx °Xo(XoX)得所求直线方程为2 1,X1,P(xo,yo)。x limx o X (Xox) Xo1T， Xoy y0（Xx Xo） oX。2_由点（2, 0）在直线上，得xo yo 2 x。，再由P（x0,y。）在曲线上，得Xo yo 1,x+y-2=o。联立可解得xo 1 , yo 1。所求直线方程为25. Y =x'cosx+x (cosx)'=-xsinxy'| 一,切点为 一,o , x 222切线方程为：

44、y o (x )22即2 x 4y 2 oo26 解：由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x 2+cx+d)=2x+c=2x+a:a=c 又知 52+5a+b=30：5a+b=5由知a=c=2.依次代入、知 b=-5,d=g(4)=42+2X4=2322、P的切线27.解：设l与Ci相切于点P(Xi,Xi ),与C2相切于Q(X2,(X2 2)。对C1：y' 2x,则与C1相切于点22_方程为 y x12x1 (x X1),即 y 2x1x X1。22d 2)(x X2),即XC2 ： y' 2(x 2),则与C2相切于点Q的切线方程为y * 2)22y2(x22)x x2 4。两切线重合,2x12(x2 2)2X12X2X10,X1解得1，或1X22；X2直线方程为 y=0或y=4x-4。28 .解：/(工)=(工- 2)(工一3)(k TOO) S