2020年全国卷Ⅱ普通高等学校招生全国统一考试理科数学高考试题含答案

1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一测试理科数学考前须知：1 .做题前,考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在做题卡上.本试卷总分值150分.2 .作答时,将答案写在做题卡上.写在本试卷上无效.3 .测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回.一、选择题：此题共 12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目 要求的.1 .集合 U=- 2, - 1 , 0, 1 , 2, 3, A=- 1, 0, 1, B=1 , 2,那么a|JbA. - 2 ,3B.- 2,2 ,3 C. - 2, - 1 ,0, 3 D . -2,-1, 0 , 2 , 32 .假

2、设a为第四象限角,那么A. cos2a>0B.cos2a<0C. sin2 a>0D. sin2 a<03 .在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05 ,志愿者每人每天能完成 50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95 ,那么至少需要志愿者A. 10 名B. 18 名C. 24 名D. 32 名4 .北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、

3、中、下三层,上层中央有一块圆形石板称为天心石,环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加 9块,每层环数相同, 且下层比中层多729块,那么三层共有扇面形石 板不含天心石A. 3699 块B. 3474 块D. 3339 块C. 3402 块5 .假设过点2, 1的圆与两坐标轴都相切,那么圆心到直线2x y 3 0的距离为3、55D.4.556 .数列an中,ai2 , am naman.假设akiak2 ak 1021525,那么 kA. 2B. 3C. 4M ,在俯视图中对7 .以下图是一个多面体的三视图,这个多面

4、体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为应的点为N ,那么该端点在侧视图中对应的点为A. EC. GB. F228 .设O为坐标原点,直线 x a与双曲线C :冬 与 1a 0,b 0的两条渐近线分别交于 D,E两点, a b假设AODE的面积为8,那么C的焦距的最小值为A. 4B. 8C. 16I 一 一, 11、,一,B.是奇函数,且在,-单调递减 2 2一, 一 一,1 、一,D.是奇函数,且在,单调递减2且其顶点都在球 O的球面上.假设球O的外表积为16兀,那么O9 .设函数 f(x) ln |2x 1| ln |2x 1| ,那么 f(x)1A,是偶函数,且在 -,单调递增2 _.1

5、C.是偶函数,且在,1单调递增210 .4ABC是面积为陋的等边三角形,4到平面ABC的距离为A.石B, 5的0-1序列中,满足 Ck k 1,2,3,4的序列是 5211 .假设 2x 2y<3-x 3-y,那么A. ln(y-x+1)>0B. ln(y-x+1)<0C. ln lx-y l>0D . ln lx-y l<012.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.假设序列aa2“|an|满足a 0,1 i 1,2,用,且存在正整数m ,使得a m ai i,2,|成立,那么称其为0-1周期序列,并称满足a5a"i1,2,|的最小正整数m为这个序列

6、的周期.对于周期为m的0-1序列底“印|, Ck1 m aiaim i 1(k 1,2j|,m 1)是描述其性质的重要指标,以下周期为A. 11010|B. 11011Hlc. 10001|d. ii00i|二、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.13 .单位向量a, b的夹角为45° ,ka 也与a垂直,那么k=14 . 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排 1名同学,那么不同的安排方法共有 种.15 .设复数Zi,Z2满足 |乙|=忆2|=2, zZ2J3i ,那么 |乙Z2 |=;16 .设有以下四个命题:pi:两两相交且不过同一

7、点的三条直线必在同一平面内.P2 ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.P3：假设空间两条直线不相交,那么这两条直线平行.P4:假设直线l平面a,直线m,平面a,那么m,I.那么下述命题中所有真命题的序号是 PiP4PlP2P2P3P3P4三、解做题：共 70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分.17 . (12 分) ABC 中,sin 2A sin2B sin 2C= sin Bsin C.(1)求 A;(2)假设BC=3 ,求ABC周长的最大值.18 . (12 分)

8、某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的 200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(Xi, yi)(i=1, 2,20),其中Xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:202020公顷)和这种野生动物的数量,并计算得Xi 60 ,yi 1200 ,(xi X)2 80 ,i 1i 1i 12020*-、2 *-、,-、(yiy)9000 , (Xix)(yiy)800.i 1i 1(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的

9、平均数乘以地块数)；(2)求样本(Xi, yi) (i=1, 2,20)的相关系数(精确到 0.01 );(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提升样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由. n(X x)(y y)附：相关系数r , i 1,近1.414.nnJ (X x)2(yi y)2i i 1i 119 . (12 分)22,一 x y椭圆.：-2 2-2- 1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中央与C2的顶点重合.过 a b 4 _F且与x轴垂直的直线交 C1于A, B两点,交C

10、2于C, D两点,且 CD - AB .3(1)求Ci的离心率；(2)设M是Ci与C2的公共点,假设|MF|二5,求Ci与C2的标准方程.20 . (12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面 BB1C1C是矩形,M, N分别为BC, BiCi的中点,P为AM上一点,过 BiCi和P的平面交 AB于E,交AC于F.(1)证实：AA1/MN ,且平面 AiAMN,平面 EBiCiF;(2)设O为MiBiCi的中央,假设 AO/平面EBiCiF,且AO = AB,求直线BiE与平面AiAMN所成角的正弦值.21 . (12 分)2函数 f (x) sin xsin2x .(

11、1)讨论f(x)在区间(0,兀)的单调性;证实：|f(x) 正；3n4n8(3)设 n N ,证实：sin2xsin22xsin24x"|sin22nx2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、(二)选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用错涂、漏涂均不给分.如果多做,那么按所做的第一题计分.22 .选彳4 4:坐标系与参数方程(10分)曲线Ci, C2的参数方程分别为Ci:2x 4cos ,2y 4sinx(8为参数),C2：1t,t (t为参数).1t将Ci, C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1,C2的交点为P,

12、求圆心在极轴上,且经过极点和 P的圆的极坐标方程.23 .选彳4 5:不等式选讲(10分)函数 f(x)= | x-a2|+| x-2 a+1| .(1)当a=2时,求不等式f(x)2的解集;(2)假设f(x)2,求a的取值范围.参考答案1 . A 2 , D 3. B 4. C 5 . B 6. C7. A 8. B9. D 10 . C 11 . A 12 . C14 . 3615 . 2、316 .2_AB AC AB ,17 .解：(1)由正弦定理和条件得 BC2 AC2由余弦定理得 BC2 AC2 AB2 2AC AB cosA ,口A1由,得cosA . 2由于0 A 兀,所以A

13、. 3,o AC AB BC 一(2)由正弦定理及(1)得2J3,sin B sin C sin A从而 AC 273sinB, AB 28sin(/ A B) 3cos B T3sin B.故 BC AC AB 3.3sinB 3cos B 3 2 .3sinB +.3冗冗L又0 B ,所以当B 时,zABC周长取得最大值3 2y/3 . 3660 x-,人1 20、,、18 .解：1由得样本平均数y yi 60 ,从而该地区这种野生动物数量的估计值为20 i1200=12000(2)样本(Xi,yi) (i 1,2,|,20)的相关系数208002 2j 0.94.80 90003(X X

14、)(yi y) i 12020(X x)2(yi y)2i 1i 13分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对 200个地块进行分层抽样.理由如下：由2知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提升了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.19 .解：1由可设C2的方程为y2 4cx ,其中 c Va2b2 .不妨设A,C在第一象限,由题设得一b2A,B的纵坐标分别为ab2一；C,D的纵坐标分别为2c, 2c, a2b2

15、故 |AB| ,|CD| 4c.a4由 |CD| -|AB| 得 4c38b23ac,即3 ac 2.12 2(-),解得a2 舍去,-1a 2-1所以Ci的离心率为一.222(2)由(1)知 a 2c, b 辰,故 Ci : -xr 1 ,4c 3c1 ,y 4cxo,故 £ 4X0 1.4c23c22设Mx0,y.,那么之驾 4c2 3c2由于C2的准线为xc ,所以 | MF | Xoc ,而 | MF | 5 ,故 Xo5 c,代入得,一 、2 ,一、1 ,即 c2 2c 3 0 ,解得 c1 舍去,c 3.(5 c)4(5 c)4 c23c22x y2所以C1的标准方程为一

16、工 1, C2的标准方程为y2 12x.36 2720 .解:1由于M, N分别为BC, B1C1的中点,所以MN /CC1 ,又由得 AA1 /CC1,故AA1 /MN .所以平面A1AMN,平面EB1clF .2由得AM ±BC.以M为坐标原点,由于A1B1C1是正三角形,所以 B1C11A1N,又B1C1LMN ,故B1C1,平面A1AMN .mA的方向为x轴正方向,iIMb"!为单位长,建立如下图的空间直角坐标系 M-xyz,那么AB=2 , AM = 73 .连接NP,那么四边形 AONP为平行四边形,故 PM 2巨,E2臣J,0 .由1知平面A1AMN,平面 3

17、3 3ABC,作NQ XAM ,垂足为 Q,贝U NQ,平面ABC.设 Q(a,0,0),那么 NQ 44 (手 a)2 ,B1(a,1,4 (手 a)2),2 32 -2 10a) ),| BE| 33,2、32,故 BE (- a,4 (33i又 n (0, 1,0)是平面 A1AMN一.一 一,兀/ 的法向量,故sin2n,cos n,n B1E10.|n| |B1E| 10所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为1010解：(1) f (x) cosx(sin xsin 2x)22sin xcosxsin 2x 2sin xcos2x2sin xsin3x .sin x(sin

18、xsin 2x)'当 x 了 )时,f(x) °x W时,f(x) °.所以fx在区间0,司,木,单调递增,在区间33-,y单调递减.(2)由于f(0) f( ) 0,由(1)知,f(x)在区间0,的最大值为f(-) 3最小值为f()晅.而f(x)是周期为的周期函数,故|f(x)| 述.3883(3)由于(sin2 xsin22x|sin2 2n x)2333 n| sin xsin 2x sin 2 x | sinx |sin2 xsin3 2x|sin3 2n 1 xsin 2n x|sin22nxin 12 n|sinx| f (x)f (2x) f (2 x)|sin 2 x| f(x)f (2x)|f(2n 1x)| ,222 n所以 sin xsin 2x|sin 2 xn34n.解：(1) G的普通方程为x y 4(0 x 4).221-221_22由C2的参数方程得x t p2,y t 2,所以x y 4 .故C2的普通方程为x2y24.338所以P的直角坐标为(1 ,3),2 25x y 4, x 2(2)由 22/ 得 Qx