43多项式方法求特征值问题

1、43多项式方法求特征值问题4. 3多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L方法求多项式系数我们知道,求n阶方阵A的特征值就是求 代数方程()|A I | 0(4.3.(1)的根.()称为A的特征多项式.上式展开为 nn()Pl n 1 p2 n 2 Pn(4.3.(2)其中Pl, P2,Pn为多项式()的系数.从理论上讲,求A的特征值可分为两步：第一步 直接展开行列式|A I|求出多项式 ();第二步 求代数方程(x) 0的根,即特征值.对于低阶矩阵,这种方法是可行的.但对于 高阶矩阵,计算量那么很大,这种方法是不适用的. 这里我们介绍用F-L ( Faddeev-Leverrier )方法

2、求特征方程(4.3.2)中多项式()的系数.由于 代数方程求根问题在第2章中已经介绍,所以本 节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A的特征多项式(),所以称这种方法为多项式方法求 特征值问题.记矩阵A=).n的对角线元素之和为trA % a22ann(4.3.(3)利用递归的概念定义以下n个矩阵Bk(k便."Bi A,B2A(Bipil),B3A(B2 P2I),Bk A(Bk1 Pk1l),Bn A(Bn1 Pn1l),P1 trB 1 1 - p2trB 22 1P3rB 3(4.3.4)1 , c Pk -trBk k 1 Pn -trBn n可以证实,(4.3.4)式中Pk,k

3、 1,2,.,n,即是所求A的特 征多项式()的各系数.用(4.3.4)式求矩阵的 特征多项式系数的方法称为F-L方法.相应特征方程为：/ /、n , nn 1n 2(1) (P1P2.Pn) 0(4.3.(5)而且可证矩阵A的逆矩阵可表示为A 11 ,A(Bn 1 Pn 1l)Pn(4.3.(6)例1求矩阵3 2 4A 2 0 24 2 3的特征值与A1.解用F-L方法求得3 2 4B1A 2 0 24 2 3p1 trB 16112 4B2 A(B1 p1I ) 2 8 24 2 111 -,p2 一 trB 2 15 28 0 0B3 A(B2 p2I) 0 8 00 0 81 -p3

4、.trB 38所以A的特征方程为332(1) (6158) 0此方程的根,即特征值为18, 21, 31111242A 1 (B2 p2l)1-p348 4111242从例1中的计算结果可知 B3 p3l.Faddeev曾经证实：对n阶矩阵A,按(4.3.4) 式计算出的Bn总有Bn pnl(4.3.7)4.3.2特征向量求法当矩阵A的特征向量确定以后,将这些特征 值逐个代入齐次线性程组(A 1 )x=0中,由于系数 矩阵a 的秩小于矩阵a i的阶数n,因此虽然有 n个方程n个未知数,但实际上是解有n个未知数 的相互独立的r个方程(r<n).当矩阵A的所有特 征值互不相同时,这样的问题中

5、要解的齐次方程 组中有n-1个独立方程 淇中含有n个特征向量 分量,因此特征向量分量中至少有一个需要任意 假设其值,才能求出其他特征分量.在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高 斯-假设当消去法,以便把一组n个方程简化为等价 的一组n-1个方程的方程组.然而,用高斯-假设当消 去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是 独立的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需 交换方程中未知数的次序,以防止主元素位置上 为零的情况.因此,为了提升精度和防止零元素的 可能性,我们总是用主元素举措把绝对值最大的 系数放于主元素位置.例如,假设矩阵A为422A 5 322 41其特征方程为4 225 326 4

6、 1 =0展开后为(1)(2)(5) 0故特征值分别为2, 3卜面求特征向量,将1代入方程组(A I)x.中,得3xi 2x2 2x305xi 2x2 2x302x1 4x2 0x3 0(4.3.(8)以-5为主元素,交换上式第一与第二个方程得5x1 2x2 2x303x1 2x2 2x302x1 4x2 0x3 0(4.3.(9)用高斯-假设当消去法消去-5所在列中的x1,并把主 元素所在行调到最后,得0x1 16x2 葭 0551640x1 x2 - x3055x1葭葭0 55(4.3.(10)再以16/5为主元素,消去它所在列中的乂2,并把主 元素所在的行调到最后得0x1 0x2 0x3

7、0x1 0x2 - x300x1 x2 1 x304(4.3.(11)这就是用高斯假设当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形.由于这 个等价的方程组包含两个独立的方程 ,而有三个 未知数,所以只要假定其中一个值,那么其它两个 值就可以通过两个独立方程解出 .比方,令*3 1,那么得到矩阵A的对应于1 1的一个特征向量为1 2 1 4 1对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述 对1 1的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性方程组 的消去步骤是,用第3章讨论过的高斯-假设当消去 法的公式,方程组(4.3.9)的系数矩阵经过第一次 消去后的矩阵B为4545251651

8、6B525(4.3.(12)以矩阵为方程组(4.3.10)的系数矩阵,其中省略了 有0和1元素的第一列.在进行第二次消元之前,要应用完全主元素 举措对前两行进行最大主元素选择,然后再进行 必要的行或列交换.每完成一次消元过程,总省略 只有0和1元素的第一列,并且计算机仅寻找矩 阵的前n-k行中的最大主元素,其中k是消元过 程应用的次数.对(4.3.12)式再进行一次消元过程 那么得到列矩阵B1 1 B 21 4(4.3.(13)此矩阵是对应于方程组4.3.11的系数矩阵,不过 省略了含0和1元素的前两列.一般来说,最后矩 阵列的数目等于矩阵a i的阶数和秩的差值.由于方程组4.3.8有三个未知

9、数,两个独立 方程,所以计算机必须任意给定一个未知数的值： 以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个 未知数.为方便,在计算机决定特征向量时,要恰 当地设定任意选取的未知数的值.例如,令X3 1 ：由方程组4.3.11知道,其他两个分量的值正好能 从含X3的非零系数项得出.为此,从计算机所存储 的最终矩阵中,令b1最上面的0元素为-1,并把它 顺次调到最下面第三行的位置上,就得到所求的/ 11 T特征向量21 41 .在工程问题中,从特征方程所求出的特征值： 少数情形也有相同的.一般地,当一个特征方程有 k重根时,矩阵A I的秩可能比其阶数少1,或2 或3,或k,当然对应于 的线性无关的特征向

10、量 的个数也就是1,或2,或3,或k,下面通过一个 特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一 步说明计算机求特征向量的方法.设矩阵A为其特征方程为32422423展开后得2_(1) (8) 0所以特征值为121, 381代入方程组为了决定 1的特征向量,将(A l)x=0,得424x1212x20424X3(4.3.(14)应用一次高斯-假设当消去法 得000X1000X2011/21x3(4.3.(15)写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为00B 001/2 1(4.3.(16)由于方程组(4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于1有两个线性无关的特征向量,必须

11、给两个未知数任意规定值,才能确定这两个线性无关的特征向量,由(4.3.15)式可看 出,一般总是选择X2小3.求一个特征向量；选择 X2 0,X3 1求另一个特征向量；这样有两个线性无 关的特征向量1/211001,计算机中求两个线性无关的特征向量的办 法是,在(4.3.16)式的B中,把第一列中第一个0元 素用-1代替,第二列中第二个0元素也用-1代替 然后把第一、第二行顺次调到最下面一行的位置 上,第三行自然就成了第一行,如此调换后矩阵 的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的 特征向量.对应于 1的全部特征向量为1/21k11 k2 001其中匕与k2是任意常数,且不同时为零.为了说明列

12、交换的必要性,防止主元素为零,再举一个例子,设矩阵 A为2812A 144001其特征方程为(2) (1) 0特征值为12, 20, 31对应于2的特征向量可由解以下方程组而求得(4.3.(17)用一次高斯-假设当消去法,得0 0 1 x10 0 1 x2 01 23 x3(4.3.(18)假设不进行列交换,那么下一个消元过程只能在第一 行的第二个元素与第二行的第二个元素中找最 大主元素,而它们都是零,我们不得不对(4.3.17) 式进行列交换,即交换未知数之间的次序,之后 再进行消去过程.对(4.3.17)式进行列交换,即把绝对值最大系 数放在主元素位置,显然是第一列与第三列的交 换)交换后成为1284 x34 2 1 x2 01 0 0 x1(4.3.(19)其中未知数列矩阵中x1与x3也进行了交换,这样 才能保证(4.3.17)式与(4.3.19)式等价,对(4.3.19) 式进行一次高斯-假设当消去法,得02/31/3x302/31/3x2012/31/3x1(4.3.(20)再进行一次消去过程,得(4.3.(21)在计算机中计算,剩下一个最终的列矩阵0B 01/2(