必修一函数讲义

1、第一次课函数一、知识要点1 .函数的定义：设 A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合 A中的任意一个数x,在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A-B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x) , x6,其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y的值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x S叫 做函数的值域.2 .两个函数相等：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则，当函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也随之确定.因此，函数的定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都

2、分别相同时，称这两个函数相等.3 .求函数的定义域要从以下几个方面考虑：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数大于等于零；(3)对数的真数大于零；(4)指数函数与对数函数的底数必须大于零且不等于1; (5)函数y=x的定义域是x|x CR且xw。.4 .函数的表示法：函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法5 .映射的定义：设 A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任何一个元素 x,在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f: A-B为从集合 A到集合B的一个映射.、典例精析 题型一：求函数的解析式【例1】 已知f(x)=2x +

3、 3,求f(x1)的表达式；(2)已知f(x+ 1) = x2+x+1 ,求f(x) 的表达式；(3)已知f(x) +2f( -x) = 3x2+5x+3,求f(x)的表达式.【解析】(1)把 f(x)中的 x 换成 x- 1 ,得 f(x 1)= 2(x 1)+3= 2x+ 1.(2)设 x+ 1 = t,则 x=t 1,代入得 f(t) = (t 1)2+ (t 1)+1=t2-t+ 1,所以 f(x) = x2- x + 1.(3)由 f(x) +2f( x) = 3x2+5x+3, x 换成一x,得 f(x) + 2f(x) =3x2 5x+ 3,解得 f(x) =x2-5x+1.【点

4、拨】已知f(x) , g(x),求复合函数 fg(x)的解析式，直接把 f(x)中的x换成g(x)即可，已知fg(x),求f(x)的解析式，常常是设g(x)=t,或者在fg(x)中凑出g(x),再把g(x)换成x. 2.x 1 x x 12【变式训练1 已知f( x ) = x ，求f(x).x 11112n n【解析】设 u= x ，则 x=u 1 (uW1).由 f(u) = 1+ x + x =1+(u1)+(u1) = u u+1.所以 f(x)=x2x+1 (x w1).题型二：求函数的定义域 2_lg(x -2x)【例2】(1)求函数y= 血-，的定义域；(2)已知f(x)的定义域

5、为2, 4,求f(x23x) 的定义域.2 C 一 C广，、x -2x0,x 减 x0 即3x3,解得3VXV0或2Vx 3.故所求的定义域为(3, 0) U(2, 3).(2)依题意，只需一2W：3xW4,解彳导iwxw或2WxW4.故f(x23x)的定义域为1, 1L2, 4.【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数fg(x)的定义域要把 g(x)当作f(x)中的x来对待【变式训练2】已知f(x)的定义域为(一1, 1),求函数F(x) = f(1 x) + f( x)的定义域-K1 -x 0,因为 x0,解得0vxv 2+兀.即函

6、数y=_(2+ 2)x2+lx的定义域是x|0vxv 2+兀.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是 xCR,但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问题对变量的制约题型四：分段函数x +3, xv0, f(x)= 2【例4】 已知函数J +1 x0.求(1) f(1) + f(1)的值；(2)若f(a) = 1,求a的值；若f(x) 2,求x的取值范围.【解析】(1)由题意，得 f(1)=2, f( 1)=2,所以 f(1) +f( -1)=4.(2)当 av 0 时，f

7、(a) = a+ 3= 1,解得 a= 2;当 a0时，f(a) = a2+1 = 1,解得 a= 0.所以a= 2或a= 0.当 x2,解得一1vxv0;当 x0时，f(x) = x2+1 2,解得 x 1.所以x的取值范围是一1*1.【点拨】分段函数中，x在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.17第二次课函数的单调性一、知识要点1 .增函数(减函数)的定义：设函数 f(x)的定义域为I,如果对于定义域 I内某个区间 D上 的任意两个自变量的值 xi, X2,当X1VX2时，都有f(Xl)Vf(X2),则说函数 f(x)在区间 D 上是增函数.当X1V

8、X2时，都有f(Xi)f(X2),则说函数 f(X)在区间 D上是减函数.如果函数y= f(X)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y= f(X)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D叫做y= f(X)的单调区间.2 .判定函数为单调函数的常用方法：图象法：函数f(X)在区间D上的图象呈上升趋势时为增函数，呈下降趋势时为减函数；利用函数单调性定义判断函数的单调性：在给定的区间上任取两个自变量的值XI、X2,作差比较f(Xi)与f(X2)的大小，从而得出函数的单调性；(3)复合函数单调性的判断：设 y=f(u) , u= g(x)(x qa, b)都是单调函数，则 y = fg(x)的单

9、调性由同增异减”来确定；二、典例精析题型一：函数单调性的判断或证明例1讨论函数f(x)=ax 1x 2(aw2)在(-2, + 8止的单调性.设xi , x2为区间ax1 1(2, +8)上的任意两个数且xix2,则 f(x1) f(x2) =x1*2ax2 1 x2 2(x1 -x2)(2a 一1)(xi2)(x2 2),因为 xq 2, + 8), x2 (- 2, + 8),且 xi x2,所以 xix210, x2+20,所以当 av 2 时，12a0, f(x)f(x2),函数 f(x)在(一2,1+ 00比为减函数；当 a 2时，1 2av0, f(x i)1,【解析】(1)y =

10、 |x-1|= 1 _x,x1,间是(一8, 1).(2)y = x2+2|x1|= J -2x+2, x0.(1)试判断函数f(x)在区间1, 1上是增函数还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式f(5x -1)f(6x2).f (x1)-f(x2)【解析】(1)当x1，x2q 1, 1,且xvx2时，x1x2,得 f(x 1) f(x2),所以函数“66 x ,f(x)在区间1,1上是增函数.(2)因为f(x)在1,1上是增函数.所以，由f(5x 1)vf(6x2)x 一| -1 5x -1 1, * -1 6x2 1,知，L5xT6x =、32所以0x 3,所求不等式的解集为x|0 &

11、R 3.【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域【例4】若f(x) = x2+2ax+3与g(x) = x+1在区间1 , 2上都是减函数，求a的取值范围.a【解析】若f(x) = x2+ 2ax+ 3在区间1 , 2上是减函数，则a 0.所以，a的取值范围为 0vavi.【点拨】二次函数的单调区间主要依据其开口方向和对称轴的位置来确定第三次课函数的奇偶性、知识要点1 .函数的奇偶性：对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个X,都有f( -x) = - f(x)那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个X,者B有f( x)

12、 = f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.2 .奇(偶)函数的图象特征：(1)奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.3 .函数的周期性：(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得x取定义域内的每一个值时，者B有f(x +T) = f(x)成立，那么函数 f(x)就叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期；(2)对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.、典例精析2 lg(1 -x2) x2 -2 -2f(x)为非奇非偶函数题型一：函数奇偶性的判断1 x【例1】判

13、断下列函数的奇偶性.(1)f(x) =(x 1) 1x ; (2)f(x)=x2 +x(x0);J3-x2Vx2 -3(3)f(x) = 、(4)f(x) = 3x+，x 31 x【解析】(1)由1 -X 0,得定义域为1 , 1),关于原点不对称，故(2)由/2 c1 -x 0,% 2 一 一 一x -2 -2 00lg(1-x2)得定义域为(一1, 0)U0, 1),因为 f(x) = (X22)2 =2 lg(1-x2)2x ,_lg 1.1 -( -x )2 1f( x) =( x) =2lg(1 -x2)2x=f(x),所以f(x)为偶函数(3)当 xv 0 时，一x0,f( - x

14、) = - (- x)2-x = (x2+ x) = f(x);当 x 0 时，一xv 0,f(-x) = (-x)2-x=x2-x = - f(x).所以对任意x q 8, 0) L(0 , + oo),都有 f( - x) = - f(x), 故f(x)为奇函数. 2 3x2 0,12q c厂厂厂L由J - 1得x= 73或x=禽，所以函数f(x)的定义域为-屈,鸟,又因为 对任意的 x 6 一4, 内, x 6 一禽,J3 ,且 f( x) = f(x) = f(x) = 0,所以 f(x)既是 奇函数又是偶函数 .【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析

15、f(-x)与f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形题型二：由奇偶性的条件，求函数的解析式x m-2-【例2】若函数f(x) = x +nx+1是定义在(1, 1)上的奇函数，求 f(x)的解析式.x -m-2【解析】因为函数f(x) = x +nx+1是定义在( 1, 1)上的奇函数，所以 f(0) = 0,从而得11x二T-2Lm = 0;又 f( 2)+ f(2)=0,得 n= 0.所以 f(x) = x1(-1x 0时，f(x) 0且f(2) =6.(1)求证：函数 f(x)为奇函数；(2)求证：函数 f(x)在R上是增函数；(3)在区间 4, 4上，求f(x)的最值.【解析

16、】(1)证明：令 x=y= 0,得 f(0) =f(0) +f(0),所以 f(0) = 0;令 y= x 有 f(0) =f(x) + f( x),所以f( - x) = - f(x),所以函数f(x)为奇函数.证明：设 xi, x2 R,且 xix2,则 f(x 2) f(x l)= f(x2) + f( xi)= f(x2 xi),又 x0 时， f(x) 0,所以 f(x 2) f(x l)= f(x 2xi) 0 ,即 f(x2)f(xi),所以函数 f(x)在 R 上是增函数. (3)因为函数f(x)在R上是增函数，所以 f(x)在区间 4, 4上也是增函数，所以函数f(x)的最大

17、值为 f(4),最小值为 f( 4).因为f(2) = 6,所以f(4) = f(2) + f(2) = i2 ,又f(x)为奇 函数，所以f(4) = f(4)= i2,故函数f(x)在区间 4, 4上的最大值为i2,最小值为i2.【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值.【变式训练 2函数f(x)的定义域为 D = x|x W0且满足对任意 xi、x2 D,有f(x i x?) = f(xi)+f(x2).求f(i)的值；判断f(x)的奇偶性并证明； (3)如果f(4) =i , f(3x + i)+ f(2x6)W且f(x)在(0, + 8止是增函数，求

18、 x的取值范围.【解析】(i)令 x = x2=i,有 f(i M)= f(i) +f(i),解得 f(i) = 0.令 xi =x2=- i ,得 f( - i) = 0 ,令 x i = i , x2= x,有 f( x) = f( i) + f(x),所以 f( x) = f(x),所以f(x)为偶函数.(3)f(4 4)= f(4) + f(4) = 2, f(16 4) = f(16) + f(4) = 3.所以 f(3x + 1) + f(2x 6) W 即 f(3x+ 1)(2x 6) f(64).因 为 f(x)在(0 , + 8)上 是增 函数，(3x +1)(2x -6)0

19、, (3x +1)(2x -6) 641 c -x3, 3或x R，所以713vxW5 或3 3 或173x3.故x的取值范围为x|3vxW5或一3 x-3 或3 x0时，二次函数f(x) = ax2+ bx+ c的图象是开口向上的抛物f(x) = ax2+bx+c的图象是开口向下的抛物线 .二次函数图象的f(3x+1)(2x-6)0,所以:血包-6)W64或3.二次函数的定义域和值域：二次函数f(x) = ax2+ bx + c (a丰的定义域为 R,当a 0时,其值域为|4ac -b2K， J ,-);当a0时，f(x)在1 2a-上，.二上是减函数，在 2a-上是增函数；当 a40=-x

20、2+ 40x+ 500 = (x- 20)2+900,当x=20时，y取得最大值，所以最佳销售价应为70元.题型三：二次函数在方程、不等式中的综合应用1【例 3】设函数 f(x) = ax2+ bx + c (a w 0) x v x2, f(x 1)丰 f(x),对于方程 f(x) = 2 f(x 1) +f(x2),证明：(1)方程在区间(x1, x2)内必有一解；(2)设方程在区间(x1, x2)内的根为 m.若1_b_x1, m- 2 , x2成等差数列，则 2a m2.111【证明】(1)令 g(x)=f(x) 2 f(x 1) + f(x2),则 g(x1)g(x 2)= 2 f(

21、x 1) f(x2) 2 f(x 2) f(x1) 1=-4 f(x 1)- f(x2)2 0,所以方程 g(x) = 0 在区间(x，x2)内必有一解.1(2)依题意 2m1=x+x2,即 2m-x1-x2= 1,又 f(m) = 2 f(x 1) + f(x 2),即 2(am2+bm2222+ c) = ax1 + bx + c + ax2 + bx2+ c,整理得 a(2m2 x1 - x2)+ b(2m x1一 x2) = 0,22a(2m2 x1 - X2)+ b= 0, - 2a = m222X1X22-2- m22【点拨】二次方程ax2+ bx+ c= 0的根的分布问题，一般情

22、况下，需要从三个方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点对应二次函数的函数值的正负；(3)相应二次函数的对称轴x =b2a与区间的位置关系.【变式训练 2已知函数f(x) =ax2+bx (a w姗足条件f( x + 5) = f(x 3),且方程f(x)=x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数 m、n (m v n),使f(x)的定义域和值域分别是m , n和3m , 3n ?若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由【解析】(1)函数f(x)满足f( - x + 5) = f(x - 3),则函数f(x)的图象关于直线x= 1对称,b故2a = 1,即b = 2a.又方程f(

23、x) = x有等根，即ax2+ (b 1)x = 0有等根，所以b= 1, 11a= 2 ,所以 f(x) = 2 x2+ x.1111(2)因为 f(x) = 2x2+x= 2(x1)2 + 2 在区间m , n上的值域为3m , 3n,则 3n 0, 一a, a V 0.3.分数指数哥的意义：若1m ， n ma n = Va mnn ma 0, m, n都是正整数，n 1,则a = a0的正分数指数哥等于0,0的负分数指数哥没有意义4.有理数指数哥的运算性质:ar as= ar+s (a0)； ar-as= ar s (a0)； (ar)sars (a 0);(ab)r= arbr (a

24、, b0).5.指数函数的概念：函数y= ax (a 0且aw 1叫做指数函数，其中 x是自变量.a 16.指数函数的图象与性质0V a 0 时 y1,当 x= 0 时 y= 1,当 XV 0 时 0V yv 1当 x0 时 0vyv 1,当 x= 0 时 y = 1,当xv 0时y1单调性在R上是增函数在R上是减函数二、典例精析题型一：指数及其运算【例1】计算:(.4ab)3J- 9 Q Q 1-J1)，2- 1 4 2 .01)(a b)；(2)(0. 027)-7+ ( 9)2_h12-1)13【解析】（1）原式=10012511(巨尸-(-1)九1)，(丝” -110 -49 5 -1

25、(2)原式=100079= 33= 45.【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先将底数化成相同题型二：指数函数性质的应用2x -1【例2】已知函数 f(x) = 2x+1 ,其中xCR, (1)试判断函数 f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)是区间(一, + 8)上的增函数.2-11 -2x【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为x CR,且f( x) = 2, +1 - 1 +2x = f(x),所以f(x)为(一8, + 8)上的奇函数.2x1 -1 2x2 -12x1 1 -2x2 1(2)证明：设 x1 , x2 安，且 xvx2, f(x 1) f(x 2)=月+1)(2“十所以f(

26、x)是区间(8, + 8)上的增函数.【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1,如果不能确定底数的范围，应分类讨论【变式训练1】已知a0,且awl,函数f(x) = ax a x,其中xCR.。(1)试判断函数 f(x)的奇偶性；(2)试判断f(x)在区间(8, + 8止的单调性.【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为 x页，且f( x) = a x- ax= f(x),所以f(x)为(一8, + 00止的奇函数.x1-x1x2-x2x1x2(2)当 a 1 时，设 x，xzCR,且 xvx2, f(x1)f(x2)= (a -a)- (a -a )=

27、 (a -a )*-x2x1x2-1x2-(a a ),其中，当 a1, x1x2 时，a a ,从而有 f(x1)一 f(x2) 1时，f(x)是区间(8, + 8止的单调递增函数；同理，当 0v av 1时，f(x)是区间(8, + 8止的单调递减函数.题型三：指数函数的综合应用12【例3】(1)求函数f(x)=(5)x+(3)x, xqo, 1的最小值与最大值；(2)求函数f(x) =4x+2x+1 + 3, xq1, 1的最小值与最大值.1212【解析】(1)因为0V2V1, 0V3V1,所以函数 f(x)=(万)+(3)x, xq。，1是单调递127减函数.所以，函数f(x) = (

28、 2)x+ ( 3)x, x q0, 1的最小值为 6 ,最大值为 2.1(2)令 t=2x,则 f(x) =4x+2x+1 + 3=t2+2t + 3,其中 xq1, 1,即 tq2 , 2,所以，函17数f(x) =4x+ 2x + 1 + 3, xq 1, 1的最小值为4，最大值为11.【点拨】对于形如f(x) =a2x+b ax+ c的函数求最值，要注意换元，令 t= ax,化成二次函数后再在某区间上求最值.1【例4】(1)求函数y=(3)x242x45的单调区间；(2)设0vav 1,解关于x的不等式：a2x2&x+x2 2x _5 a .【解析】(1)因为函数y = x2+2x+5

29、在区间( 8, 1上单调递减，在区间 1, + 00止11x2 2 x 5单调递增，又底数03 a ，得2x2 3x + 1x2+2x-5,解得2v xv 3,所以原不等式的解集为x2 x 3.【点拨】求函数y=af(x)的单调区间，只需先求出函数 f(x)的单调区间，然后根据复合函数的单调性彳#知函数y = af(x)的单调区间.作业一（函数及表示）一、选择题（共6小题；共30分）1.已知集合 心口2训，h口海？二必则？的子集共有（）A.1个B.个C.6个D. ；, 个2 .有下列说法：Q与0表示同一个集合；由J 组成的集合可表示为123 或3如；方程（ -力：卜2二。的所有解的集合可表示为

30、。口卜集合卜二9是有限集.其中正确的说法是（）A.只有和 B.只有和C.只有 D.以上四种说法都不对3 .集合 A二沁勿-18二十-51-硼， 且d与m的公共元素是g,则j的4AuAfluB或AMHV或5 .已知阳是一次函数，且满足沛+1评计17,则闻等于B.D.-A6 .已知加+y）二闻且f二2不能等A.川）硼口砸B.C.Jj V、填空题（共2小题；共10分）7.已知函数丫二加）的定义域是且f；二卜二-，那么函数 则二的1* lin/i+fwD定义域是.8.小二h2yyq二加1e M,若，表示集合及中元素的个数，则三、解答题（共3小题；共39分）的两个子集，且满足9.已知全集U = W大于2

31、0的朋轨，为5城二网（阈仙=啊（MMyHM求mu10.已知函数的解析式.11.已知M = r-L 附s-L xCi求也（2）和力）的值；n求/，&）和的解析式.答案第一部分1. B 2. C 3. B 4. B 5. A6. D第二部分7.71；做第三部分9.如图所示,L9三部分中,由（前唯中二口你可知，U J中没有元素1 11由（期心二口现可知，H中没有元素7 8。中有元素由UmQJ=G5可知，H中有元素，5, #中没有元素J 剩下的元素上， 不在 心如心办。）槌勤（局 则比加（ 13泮EN所以M二口品11131K二似M涮 10.当？之。时跑二产/顺）二2KT；j； -I-1 -J i当屋。时，血）二 j/（m）二-2-1 二-3,所以当21力0即小时而伞-阴当hl即! -,所以:1/Jl 0故g施）二代T二-2；当Ml时闻0故而）=2一也）=3-x:所以加力用T工1耿JU-x -lrl作业二（函数的性质）一、选择题（共6小题；共30分）1.下列函数中，既是偶函数又在区间 卜外。上单调递增的是（）A.加二 jB.励二 Ml C.限二寸D.胸:胪2 .已知阳则分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且向二户+F+l,则 f(D+g(l)二A.=)B.C.D.3 .若函数他）和加）都是奇函数，且 烟二好（）+&咖+2在区间仙十公上有最大值力在.0）上（A.有