人教版选修4-5第1章1.2基本不等式(二)

1、253C.a3+ b3+ c3 3abcD.a + b + c 3 3 abc解析 由 a2+ b2 2|ab|= |a|2 2|ab|+ |b|2=(|a| |b|)20,故选 A.答案2.函数y= x2(1 5x) 0 x 2|ab|()B.a+ b2 ab答案 A3._已知实数 a, b, c 满足 a+ b+ c= 0, a2+ b2+ c2= 1,则 a 的最大值是_解析利用不等式求解.因为 a+ b+ c= 0,所以 b+ c= a.因为 a2+ b2+ c2= 1, 所以一 a2+ 1 = b2+ c2=(b+ c)2 2bc= a2 2bc,所以 2a2 1 = 2bc b2+

2、 c2= 1 a2,所以 3a22,所以 a2 33a+ b b+ c a+ c当且仅当 a= b= c 时，等号成立.知识点 2 利用平均值不等式求最值【例 2】 若正数 a, b 满足 ab= a+ b+ 3,求 ab 的取值范围.解 方法一：ta、b R+,且 ab= a+ b+ 3333ab， a3b381ab.又 ab0， a2b2 81. ab9（当且仅当 a= b 时，取等号）. ab 的取值范围是9，+）.方法二：tab- 3= a+ b2 . ab， ab2 .ab 30 且 ab0，ab3,即 ab9(当且仅当 a= b 时取等号) ab 的取值范围是9,+x).反思感悟：

3、注意平均值不等式应用的条件是三个正数在求最值时，等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在話变式迁移解tx(0,昜二 sin x0, y0.2 2 22. 242sin xcos xcos xy = sin xcosx=.丿=応丿=54= 27.故 yw27=彳3，此时，2sin2x= cost, tan2x=2,y 有最大值晋.J_1_a+ b b+ c a+ c (a + b + c)a+ b + c+土9.定要求出、22.求 y= sin xcosx，x 0，2 的最大值.1 2sin2x+。0 乙+ cofx31(238 4三 2知识点 3 平均值不等式的实际

4、应用【例 3】 某产品今后四年的市场需求量依次构成数列an,1, 2, 3, 4,并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为Pi，第三年比第二年增长的百分率为 P2,第四年比第三年增长的百分率为P3,且 Pi+ P2+ P3= 1给出如下数据：2 2 1127,5,3,13则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是()A.BEC.D.解析 设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x(x0),则 a4= a1(1 + x)3= a1(1 + P1)(1 + P2)(1 + P3), (1 + X)3= (1 + P1)(1 + P2)(1 + P3),3 (1 + X) = (1 + P

5、1)(1 + P2)(1 + P3)1 + P1+ 1+ P2+ 1 +P3|43三3=引.411 + x 3,即卩 X0, b0, c0.它的表面积 S= 2(ab+ bc+ ca) 2X3 (abc)2= 600.当且仅当 a= b= c= 10 (cm)时取“=”号.所以它的表面积 S 的最小值为 600 cm2.答案 600课堂小结利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时,把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问 题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最 小值；回答实际问题.随堂演练1.设

6、 f(x) = In x, Ovavb,若 p= f( ab), q = fa2r, r = 2(f(a)+ f(b)，则下列关系式中正确的是()A.q=rvpC.q= r p解析 利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p, q, r 之间的相等与不等关系.因为 ba0,故a0)为增函数，所以 fAfJab),即 1 1qp.又 r = 2(f(a)+ f(b) = 2 a+ ln b) = ln , ab= p.答案 B.5 r x 4x+ 5 ,2. 已知 x，则 f(x)二 2x2x_4 4 有()B.p=rvqD.p= r q4._ 用长为 16 cm 的铁丝围成一个矩形，则可围成的

7、矩形的最大面积是 _2cm .解析 设矩形长为Xcm(0 x0, 8 x0,可得 SW吐|二0，则 4x+子的最小值是()入A.9B.3336C.13D.不存在解析/ x0， 4x+ 負=2x 2X|2 32x 2x = 3 需 6.答案 B2.设 a， b， c (0,+x)且 a+ b+ c= 1,令 x= g 1 ) 1 1 j，则 x 的取值范围为()- 1 、一 1 、w42X+|x+1-3x33243-答案3243A.p，8 丿B8,1丿C.1,8)D.8,+x)解析Vx二 a-1b-1c-1 xy 4, xy16,J 4盲 y，当且仅当 t 1+4=1x y，x,y (0,+x)

8、,x=2,时取等号,沪8,此时(xy)min= 16.答案 A4.已知a，b,eR*，则計*c b+b+aA-.b c b c a , ac a2b2ab be c2小 小c+a a+b+c 二1+1+1+金+bc+ac+E+孑+Ob3+2解析ac bb2ac穿+詁 9.答案5.要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低总造价是_单位：元）.解析利用均值（基本）不等式解决问题.4设该长方体容器的长为 x m,则宽为；m.又设该容器的造价为 y 元，则 y= 20 x41-a 1-b 1-cab

9、c(b+c)(c+a)(a+b)2 be2ca 2 abA1D.最大值 161 4解析/ x, y (0,+x)且- + -= 1,x yabcabc当且仅当 a= b= c 时取等号， x 8.答案 D3.已矢口x.14y 都为正数，且+ = 1,则 xy 有（xyA.最小值 16B.最大值 16C.最小值 16 1 =1+4 2 xy44xy x4(x0).因为 x +42x4二4 当且仅当 x= 4，即 x= 2 时取“=”，所以 ymin= 80+ 20X4=160(元).答案 1606已知关于 x 的不等式|x+ a|vb 的解集为x|2vxv4.(1) 求实数 a, b 的值；求

10、at+ 12+ ,bt 的最大值.解(1)由 |x+ a|vb,得一 b avxvb a,一 b 一 a=2,a=一 3,则解得 2b a = 4,lb= 1.+ 2 x+ 4X10 ,即 y = 80 + 20 x+3t+ 12 + , t=3 4 t + ( . 3)2+ 12 ( 4 t)2+( ,t)2=2 4 t +1= 4,答案 B8.如果圆柱的轴截面周长 I 为定值，那么圆柱的体积最大值是（）A. 63”B.3故(i一 3t+ 12+ t)max= 4.综合提高7.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为 V,则下列关系式总成立的是（A.VnB.VW n1C.V 8 冗1D.VWgn解析

11、设圆柱的底面半径为r，高为 h,则由题意得：4r + 2h = 6, 即 2r + h = 3,当且仅当4W=，即 t = 1 时等号成立,于是有 V=n2hnr + r + h333厂亍=n3=n当且仅当 r=h 时取等号.C.4n解析 1= 4r+ 2h,即 2r+ h =2,2V= nh0,y0 时，x?y+ (2y)?xyx 的最小值为_解析 先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值X2y24v2x2X2y2因为x?y= 矿，所以(2y)?x=2xy .又 x0, y0,故 x?y+ (2y)?x=xy+答案 210某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间

12、内经过 测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶， 单位：米/秒)、平均车长 1(单位： 米)的值有关，其公式为(1) 如果不限定车型，1= 6.05,则最大车流量为 _ 辆/时；(2) 如果限定车型，I = 5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_ 辆/时.解析 把所给 I 值代入，分子分母同除以 v,构造基本不等式的形式求最值.900.当且仅当 v = 11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为、/ z76 000v76 000当1=5时，F= v2+ 18v+ 100=100 仝v+ + 18vD.443.2 2 2 24y x x + 2y2xy 2

13、xy2,当且仅当 x= 2y 时，等号成立.76 000 vF= v2+ 18v + 20l|.亠“76 000v(1)当=605时，F= v2+18v+121 =76 00076 0002 3 (X 2) X+ 12= 24,12当且仅当 3(X2)=-,X 23X2即卩 S矩形AMPN取得最小值 24平方米.12(3)令 g(X)= 3x+X(x4),设 X1X24,则 g(Xl) g(X2)二 3(X1 X2)+12(X2 X1)X1X211如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 在 AM上, D 在 AN 上且对角线 MN 过 C 点，已知|AB

14、|= 3 米，AD 匸 2 米.(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 AN 的长应在什么范围内?(2) 当 AN 的长度是多少时，矩形 AMPN 的面积最小？并求最小面积;(3) 若 AN 的长度不少于 6 米，则当 AN 的长度是多少时，并求出最小面积.解 设 AN 的长为 x 米(x2)，矩形 AMPN 的面积为 y. |AN| = |AM|，|AM|_x 2，3x2S矩形AMPN=(x2)X 2丄/口3x2(1)由 S矩形AMPN32 得 X232,x2 , 3X 32x+ 640,8即(3x 8)(x 8)0,二 2x8,矩形 AMPN 的面积最小?即 AN 的长的取

15、值范围是8 88-8- 3 33 ( X1 X2) ( X1X2- 4)X1X2X1X24,二 X1 X20, X1X216,二 g(xi) g(X2)0,. g(x)在4 ,)上递增.12 y= 3(X2) + + 12 在6,+x)上递增.X 2当 x=6 时，y 取得最小值，即 S矩形AMPN取得最小值 27 平方米.12.甲、乙两地相距 s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c km/h， 已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分 与速度v(km/h)的平方成正比，比例常数为 b，固定部分为 a 元.(1) 把全程运输成本 y 元表示为速度

16、v (km/h)的函数，并指出函数的定义域；(2) 为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？解(1)因为汽车每小时的运输成本为 bv2+ a(元)，全程时间为 V(小时)，故 y=v(bv2+ a)，即 y= sa+ bv，v (0，c.(2)由于a+ bv2 . ab，当且仅当 v=；善时取等号，故1若b 三 c，则当v =: b 时，y 取最小值.2若 bc，则先证 y= sa+ bv ,v (0,C为单调减函数，事实上，当 V1、V2 (0,V1、V2 (0, c , V1V2, V1 V20,V1,V2=Sb(V1V2)aV1V2bV1V2c，且 V1VV2,=S(V1V2)b