人教版高中数学全册教案

1、学习必备 欢迎下载 人教版数学必修二 第一章空间几何体重难点解析 第一章课文目录 1. 1空间几何体的结构 1. 2 空间几何体的三视图和直观图 1. 3空间几何体的表面积与体积 重难点： 1、 让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 2、 画出简单组合体的三视图。 3、 用斜二测画法画空间几何值的直观图。 4、 柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。 5、 了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1.柱、锥、台、球的结构特征 (1) 柱 棱柱：一般的，有两个面互相平行， 其余各面都是四边形，并且每相邻两

2、个四边形的公 共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱； 棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的 底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面； 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； 侧面与底 面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴， 其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； 无论旋转到什 么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体； (2) 锥 棱锥：一般的有一个面是多边形， 其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由

3、这些面所 围成的几何体叫做棱锥； 这个多边形面叫做棱锥的底面或底； 有公共顶点的各个三角形面叫 学习必备 欢迎下载 做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴， 其余两边旋转形成的曲面所围 成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面； 斜 边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 (3) 台 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥， 底面和截面之间的部分叫做棱台； 原棱锥的 底面和截面分别叫做棱台

4、的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥， 底面和截面之间的部分叫做圆台； 原圆锥的 底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 (4) 球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴， 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体， 简称为球； 半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 (5) 组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质: 名称 棱柱 直棱柱 正棱柱 图形 1 1 1 1 1 i ； D.n/ ：,

5、或 n :- (I) 证明：平面 PBE_平面PAB； (II) 求二面角 A BE P和的大小。 解析：解法一(I)如图所示，连结BD,由ABCD是菱形且.BCD =60知, 学习必备 欢迎下载 从而BE 丄平面PAB.又因为BE 平面PBE，所以平面PBE_平面PAB. （II）易知 PB=（I,O, 一方）,BE =（o，乜,o）,设 nl =（人, 2 PB _ o 为 +0疋 yi _ 乙=0, BE：得0 Xi乎0分0 门2 二(0,0i). 点评： 解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形， 较强的考察了空间想象能力。 例 8如图，在三棱锥 P-ABC 中，AC=BC=2 ,

6、 . ACB =90： , AP=BP=AB , PC _ AC . (I)求证：PC _ AB ; (n)求二面角 B - AP -C的大小. 解析： 解法一： (I)取AB中点D，连结PD, CD . :AP 二 BP , PD _ AB. :AC =BC , CD _ AB. TPDJCD =D , AB _ 平面 PCD . :PC 平面 PCD , PC _ AB . (n) ” AC = BC , AP = BP , APCBPC . 又 PC _ AC, PC _ BC . 又 ACB = 90；,即卩 AC _ BC，且 AC“ PC 二 C , BC _ 平面 PAC . 取

7、AP中点E 连结BE, CE . yi, zi）是平面PBE的一个法向量 所以 yi=0, % = J3z. 故可取 厲=（、3,0,1）.而平面ABE的一个法向量是 故二面角A - BE - P的大小为60. 学习必备 欢迎下载 :AB = BP , BE _ AP . EC是BE在平面PAC内的射影， CE AP .学习必备 欢迎下载 3 .BEC是二面角B-AP-C的平面角. 在厶 BCE 中，BCE =90 , BC=2 , 解法二： (I) ： AC 二 BC，AP 二 BP , APCBPC . 又 PC _ AC, PC _ BC . TACflBC 二 C , PC _ 平面

8、ABC . V AB 平面 ABC , PC _ AB . 则 C(0,0,0), A(0,2,0), B(2,0,0). 设 P(0,0, t). 1/ PB = AB =2 2 , .t =2 , P(0,0,2). 取AP中点E ,连结BE, CE . :AC = PC , AB = BP CE _ AP , BE _ AP . - BEC是二面角B-AP-C的平面角. T T ?E(011) , EC =(0, -1,-1) , EB =(2,-1,-1), 面角B-AP-C的大小为arccos 点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、 空间想象能力。而对空间图形的处

9、理能力是空间想象力深化的标志,sin BEC = BC .6 BE 一 3 面角B-AP-C的大小为arcsin .6 3 BE (n)如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C - xyz. 想图、画图的角度考查了 是高考从深层上考查空 z X 学习必备 欢迎下载 间想象能力的主要方向。 例 9画正五棱柱的直观图，使底面边长为 3cm侧棱长为5cm。 解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于 Z轴方向平移即可得。 作法： (1) 画轴：画 X Y Z 轴，使/ X O Y =45 (或 135), / X O Z =90 。 (2) 画底面：按 X轴，Y 轴画正五边形的直观图 ABCDE。 (

10、3) 画侧棱：过 A、B、C、D、E各点分别作Z轴的平行线，并在这些平行线上分 别截取 AA , BB , CC , DD , EE。 (4) 成图：顺次连结 A , B , C , D , F,加以整理，去掉辅助线，改被遮 挡的部分为虚线。 点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。 例 10 ABC 是正 ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 ABC的面积 为J3 ,那么 ABC的面积为 _ 解析：2.6。 点评： 该题属于斜二测画法的应用, 的对应关系。特别底和高的对应关系。 1 的正方体 ABCDABCD 冲，AP=BQ=b ( 0bc, bd,两底面间的距离

11、为 h。 （I）求侧面 ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小； （H）证明：EF /面 ABCD ; （川）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 V估=S中截面 h来计算已知它的体 积公式是V= （ S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明。 6 （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面） （I）解： 过B1C1作底面ABCD的垂直平面， 交底面于 PQ, 过B1作B1G丄PQ,垂足为G。 如图所示：T平面 ABCD /平面 A1B1C1D1，/ A1B1C1=90 , AB丄 PQ , AB丄 B1 P. / B1PG为所求

12、二面角的平面角.过C1作C1H丄PQ,垂足为 H 由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等， 故四边形B1PQC1 为等腰梯形。 （n）证明： AB, CD是矩形ABCD的一组对边，有 AB / CD, 又CD是面ABCD与面CDEF的交线， AB/面 CDEF。 / EF是面 ABFE与面CDEF的交线， AB/ EF。 / AB是平面 ABCD内的一条直线， EF在平面 ABCD夕卜， EF /面 ABCD。 （川）V估V V。 证明：T ac, bd, PG=! ( b-d),又 B1G=h, 2 tan B1PG= (b d), B1PG=arctan 2h b - d 即所求二面角的大

13、小为 arcta 2h b - d V- V 估=h(cd ab 4 6 2 )- 图 学习必备 欢迎下载 12 h 12 (a c) (b d) 0o h = 2cd+2ab+2 ( a+c) (b+d) 3 (a+c) (b+d) 学习必备 欢迎下载 点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种 解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。 题型6:圆柱的体积、表面积及其综合问题 例11 （2000全国理，9） 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧 面积的比是（ ） 1 2- A . 2兀 解析：设圆柱的底面半径

14、为 r，高为h,则由题设知h=2 n r. S全=2 n r2+ （2 n r） 2=2 n r2 （1+2 n ） .S 侧=*=4 n 2r2, 归注。答案为A。 S侧 2 - 点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。 例12 （2003京春理13,文14）如图9 9, 一个底面半径为 R的圆柱形量杯中装有适量的 水若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高点评： 该题背景较新颖， 把求二面角的大小与证明线、 几何体 （拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力， 公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题， 考生继续学习的潜能。 面平行这一常规运算置于非规则 而

15、第三步研究拟柱体的近似计算 是极具实际意义的问题。 考查了 例10（ 1）（ 1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是 （ ） S、S,中截面的面积是 So,那么 A . 2.s0= js .S B . S - ：SS C. 2So= S+ S， D . So2= 2S S （2） （1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为 积为（ ） 2和4，高为2,则其体 C. 24 .一 3 D . 20 . 3 解析： （1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为 A ； ：3 3 （2）正六棱台上下底面面积分别为： S上=6 - 22= 63 , S下=6一-42= 24卅3 , 4

16、4 V台= gh(S 上 -.S上 SR r，则仝= _ r (1) 学习必备 欢迎下载 r，则圆柱体积增加 n R2 r。恰好是半径为r的实心铁球的体积, 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 例 13 （1） （2002 京皖春，7）在厶 ABC 中，AB=2 , BC=1.5,/ ABC=120 （如图所示）， 若将 ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ 全面积是（ C. 6 n 解析：水面高度升高 4 Q O 因此有 n r = n R r。故 3 R = 。答案为 。 r 3 3 （2）（2001全国文, 3）若一个圆锥的轴截面是等边

17、三角形，其面积为 3，则这个圆锥的 解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥 ADE体积之差，又求得 AB=1。 1 门5 1 二一. 3 3 2 3 - V =Vc -ADE _VB -JADE (2)v S= -absinB , 2 討6 = 3， 2 a = 4, a= 2, a=2r, r = 1 , S 全=2 n r + n r2= 2 n + n = 3 n，答案 A。 点评：通过识图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是 空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。 例14 （2000全国文，12）如图所示，OA是圆锥底面中心 O到母线的

18、垂线, 一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ OA绕轴旋转 ） 1 A. 32 1 D .4.2 解析：如图所示，由题意知, 1 n r2h=- 3 1 n R2h, 6 又厶 ABO CAO , r OA OA R , OA2 = R= R； R PA， OA 二 cosB = - R 41 ，答案为D。 4 2 CADE与圆锥 B D。 ，答案 学习必备 欢迎下载 点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。学习必备 欢迎下载 R =4 点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。 解析：如图，设过 A、B、C三点的球的截面圆半径为

19、 r，圆心为0 ，球心到该圆面 的距离为do 在三棱锥 PABC中，T PA, PB, PC两两互相垂直，且 PA=PB=PC= a, AB=BC=CA= . 2 a且P在厶ABC内的射影即是 ABC的中心 0 、-2a 6 由正弦定理，得 - =2r, r= a。 si n60 3 又根据球的截面的性质，有 00丄平面ABC，而P0丄平面ABC , 例15已知过球面上A, B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB二BC二CA二2，求球的表面积。 解析：设截面圆心为O，连结O A，设球半径为 R， 则 0A=2 3 2 3 2 2、3 3 在 Rt. OOA 中，0A2 =0 A2

20、 0 02， 例16如图所示，球面上有四个点 PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。 P、A、B、C,如果 PA, PB, PC两两互相垂直，且 学习必备 欢迎下载 - P、0、0共线，球的半径 R= - Jr 2 d$。又 P0 = - PA r2 = . a a2 = a, V 3 3 00 =R 3a=d= . R2 - r2 ,(R 3a)2=R2 -( a)2,解得 R= 3 a, 3 3 3 2 S 球=4 n R2=3 n a2。 点评：本题也可用补形法求解。将 PABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体 内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径 R=a,下略。 2

21、学习必备 欢迎下载 例17 ( 2006四川文，10)如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点 A, B,C, D在球O的 A C CC =、6 , AC = , 2 ,6 =2,3 , 设球半径为R , 则 R2 =OC2 CC 2 =(、.6)2 (、.3)2 =9 R =3, -S球 = 4：;R = 36以；,V球 R = 36-：。 3 点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式， 解题的关键是将多面体的几何要素 转化成球的几何要素。 例18 (1)表面积为324二的球，其内接正四棱柱的高是 14，求这个正四棱柱的表面积。 (2)正四面体 ABCD的棱长为a，球O是内切球，球 O1

22、是与正四面体的三个面和球 O都 相切的一个小球，求球 01的体积。 同一个大圆上，点 A. 4 二 P在球面上，如果 VP _ABCD C. 12 ： 16 则球O的表面积是( D. ： (2)半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ,6 , 求球的表面积和体积。 解析：(1)如图，正四棱锥 P - ABCD底面的四个顶点 A, B,C, D在球O的同一个大圆上，点 P在球面上，PO丄底面 2 16 ABCD , PO=R , SABCD =2R , VpBCD -，所以 3 1 1 6 -2R2 R = 6 R=2，球O的表面积是16二，选D。 3 学习必备

23、欢迎下载 解析：(1)设球半径为 R，正四棱柱底面边长为 a ,学习必备 欢迎下载 3 V球。i 4：r3 =4二 1 3 3 24 企3 、6 a + 1728 则作轴截面如图， AA = 14, AC =.忍a , 又 4 二 R2 =324 二， R = 9 , - AC 二，AC2 -CC2 =8.2 , a =8, S表=64 2 32 14 =576一 (2)如图，设球O半径为R,球O1的半径为r, E为CD中点，球0与平面ACD、 切于点F、G,球与平面ACD切于点H . 由题设 AG 二AE2 -GE2 BCD AOFs AEG R 3 a 6 - 6 a - R 3 3 a

24、2 R = 12 AOM AOF 6 a -2R - r 3 6 D a - R 3 学习必备 欢迎下载 点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。 例19（ 1）我国首都靠近北纬 40纬线，求北纬40；纬线的长度等于多少 km ?（地球半径 大约为6370km） （2）在半径为13cm的球面上有 A, B,C三点，AB = BC =AC =12cm，求球心到经过 这三点的截面的距离。 _ 解析：（1）如图，A是北纬40上一点，AK是它的半 一匸、径， f I OK 丄 AK , R - 设C是北纬40；的纬线长， . AOB OAK =40：, C =2二 AK =

25、2 OA cos .匕 OAK =2二 OA cos 40 2 3.14 6370 0.7660 : 3.066 104(km) 答：北纬40；纬线长约等于3.066 104km . （2）解：设经过 A, B,C三点的截面为O O , 00 = .OA2 -OA2 =11, 所以，球心到截面距离为 11cm . 例20在北纬45圈上有 代B两点，设该纬度圈上 代B两 设球心为O，连结00 ，则00丄平面ABC , 学习必备 欢迎下载 （R为地球半径），求A, B两点间的 球面距离。 学习必备 欢迎下载 解析：设北纬45圈的半径为r , 设O为北纬45圈的圆心， AOB ot 二r , AB

26、= . 2r = R, 2 ABC 中，.AOB 二一, 3 所以，代B两点的球面距离等于 R . 3 点评：要求两点的球面距离， 必须先求出两点的直线距离, 而求出这两点的球面距离。 再求出这两点的球心角，进 第一章检测题 1 长方体 ABCD-ABQ D 的 AB=3, 短长度是（ ） AD=2 CG=1, 条绳子从A沿着表面拉到点 Ci,绳子的最 A .13 +1 B 、 一 26 .18 D 2 若球的半径为 A. 8R2 3.边长为 距离是（ R, B 5cm的正方形 ） 则这个球的内接正方体的全面积等于（ 9R2 C EFGH是圆柱的轴截面 ) 12R2 2 10R D ,则从E点

27、沿圆柱的侧面到相对顶点 G的最短 A 10cm 5 . 2 cm 5二 2 1 cm D 5 二彳 4 cm 2 4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（ C 8 倍 D 16 倍 4 .球的大圆面积扩大为原大圆面积的 4倍 1:2:3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 1-倍 D 1-倍 5 4 这个球的表面积是（ ） 弓 A 2 倍 B 5 三个球的半径之比为 6 正方体的全面积是 2 a A 3 7 两个球的表面积之差为 （ ） A 4 B &已知正方体的棱长为 部分的体积是（ ） 它的顶点都在球面上, 2 a a, 2 48 二, 它们的大圆周长之和为 12二，这两个球

28、的半径之差为 3 过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去 8个角，则剩余 11 3 a 12 学习必备 欢迎下载 .4: 9 13 .棱长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的 （ ） 9.正方形 使 B, C, ABCD的边长为1，E、F分别为BC D三点重合，那么这个三棱锥的体积为 CD的中点, 沿AE, ） EF, AF折成一个三棱锥, A . 1 8 10.棱锥V-ABC的中截面是 A 11. 12. .1： 2 B 两个球的表面积之比是 .1: 32 B 两个球的体积之比为 1 .24 .：A1B1G,则三棱锥 .1 : 4 .土 24 V-A1B1C与三棱锥 C . 1: 6 .

29、兰 48 A-A1BC的体积之比是（ ） D 1 : 16,这两个球的体积之比为（ .1 : 24 27,那么， C . 1: 64 这两个球的表面积之比为 .1 : 256 ) B. -a3 4 C. 2 3 -：a 3 14 .半径为R的球的外切圆柱的表面积是 _ . 15 . E是边长为2的正方形ABCD边AD的中点，将图形沿 EB EC折成三棱锥 A-BCE （A, D 重合），则此三棱锥的体积为 _ . 16.直三棱柱 ABC-ABC 的体积是V,D、E分别在AA、BB 上，线段DE经过矩形 ABBA 的中心，则四棱锥 C-ABED的体积是 _. 17 . 一个直角三角形的两条直角边的长分别为 3cm和4cm,将这个直角三角形以斜边为轴旋 转一周，所得旋转体的体积是 _ . 18 .圆锥的底面半径为 5cm,高为12cm,当它的内接圆柱的底面半径为何值时 ，圆锥的内接 圆柱的全面积有最大值 ？最大值是多少？ 19 . A B、C是球面上三点，已知弦 离恰好为球半径的一半，求球的面积. AB=18cm BC=24cm AC=30cm 平面 ABC与球心 O