第二章导数与微分教案

1、第二章导数与微分知识点:导数的定义导数的概念J导数的几何意义函数可导与连续的关系 导数的基本公式 导数的四则运算法则导数的运算复合函数的导数 隐函数的导数 取对数法求导 高阶导数e*箕及其:何?:，微分的基本公式与运算法则教学目的要求：(1)理解导数的概念；熟记导数符号；理解导数的几何意义；了解函数可导与连续的关系。(2)熟记导数的基本公式；掌握导数的四则运算求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌握隐函数与对数法的求导方法；了解高阶导数的概念；掌握高阶导数的求导方法。(3)理解微分的概念及其几何意义；熟记微分的基本公式与运算法则。教学重点：1 .导数的概念2 .导数的几何意义3 .导数的基本公式

2、4 .四则运算求导法则5 .复合函数求导法则6 .隐函数的求导法则7 . 一阶微分的形式不变性教学难点：1 .导数的概念2 .复合函数的求导法则3 .隐函数的求导法则4 .微分的形式不变性第一节导数的概念【教学内容】 两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。【教学目的】 使学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程与法线方程，了解函数可导与连续的关系。【教学重点】1 .导数的定义；2.用导数的定义求函数在某点的导数；3 .导数的几何意【教学难点】1 .导数的定义；2 .函数可导与连续的关系。【教学时数】2学时【教学进程】一、两个引例引例1自由落体运动的瞬时速

3、度。提问：1.自由落体运动的位移公式；2.自由落体运动的瞬时速度公式；3.自由落体运动的瞬时速度公式的推导过程(适当讨论)。12由学生回答可知自由落体运动的位移公式为s =s(t) =gt2 ,由于物体的位移s是2随时间t连续变化的，因此在很短的时间间隔网内(从t0到t0+At)内，速度变化不大，可以用平均速度耳="'=1'0 *)-s(t0)作为t0时的瞬时速度v(t0)的近似值，即 ：t：t121.2V(to).-：s s(to . ：t) -s(to) :v =.:t.: t2g(t0 g- 2gt012又=gt0 3gt显然，&越小，v与v(to)越接

4、近，当 也无限变小时，平均速度就无限接近 to时的瞬时速度.由此，令 &T 0,如果平均速度 ，的极限存在，就把它定义为物体在时刻t0的 :t瞬时速度v(t0),即1.2、.v(t0)=htm0(gt0 2g t ) =gt0总结规律：对于一般的变速直线运动的瞬时速度可由以下式子求得:sv(t0) 二二啊s(t0t) s(tO)tx引例2平面曲线的切线斜率提问：1.什么叫做圆的切线？ 2. 一般的平面曲线的切线怎么定义？(适当讨论)定义 设点P是曲线C上的一个定点，在曲线 C上另取一点Q ,作割线PQ ,当动点Q沿曲线C向点P移动时，割线PQ绕点P旋转，设其极限位置为 PT ,则直线P

5、T称为曲线C在点P的切线.如右图所示.设曲线C的方程是y =f (x),记点P的横坐标为Xo,点Q的横坐标为x0+Ax (Ax可正可负)，PR平彳Tx轴，设PQ的倾角为则PQ.RQ 口"RQ f (xo . x) - f (xo)PRPR的斜率为tan * =显然tane= =当点Q沿曲线C无限趋近于点P时(这时Ax t o),巾也趋近于PT的倾角a ,这时切线PT的斜率tan &lim y = lim.x0 . ：xIf (xo . ：x) -f (xo)综上两个引例的结论可知，虽然这两个问题所涉及到的背景知识不同，但是它们可以用 相同的方法求得所需结果，由此引出导数的定义

6、。二、导数的定义1 .导数的定义。定义 设函数y = f (x)在点xo的某邻域内有定义，当自变量x在点xo处有增量Ax (点xo + Ax仍在该邻域内)时，相应地函数有增量7 =f(xo ：x) -f (xo)如果极限 翦;y存在，则称函数y =f(x)在点xo处可导，并称此极限值为函数y = f(x)在点xo处的导数.记彳f'(xo),也可记作y'x小，dydxx%或 df(x)dxf(xo)= .lxm喘=%f(xo - x) -f (xo)这时就称函数y=f(x)在点xo的导数存在，或称函数 y = f(x)在点xo可导；如果极限不存在，则称函数 y=f(x)在点xo不

7、可导。2 .由导数的定义求函数的导数。设函数y =f(x),求该函数在xo处的导数的步骤:在xo处给定Ax( &x丰o)求增量y =f (xo x) -f (xo)算比值y _ f(xo x) -f (xo)取极限y =lim,x .x o x例1已知函数y = x2,求f '(1)。解在x0 = 1处给定Ax(Ax 0 0)(1)求增量222.y =f(1.：x)-f(1) =(1 x)2 -12 = 2 x ( ：x)22(2)算比值2Ax ("x) =2十1x(3)取极限 y'=jim* = 2m(2 + Ax)=2因此，f(1)=23 .几点说明。1)

8、函数y=f(x)在点x0处的导数也称为函数 y=f(x)在点x0处对自变量的变化率。2)当极限 1而 f(x0+&x)-f(x0)与 一 f(x - (x0)存在时，分别称它们为 .x0 -xJ。,xx0的左导数与右导数，记为f 1(x0)与f沁°)。且f «°)存在当且仅当f 1(x0)与f "(xo)者B 存在且相等。(利用极限存在的充要条件理解)3)函数y =f(x)在点x0处的导数f (x0),就是导函数f'(x)在点x = x0处的函数值，即f «0) =f '(x) xc。(通过例1中改变x°值的改

9、变进行说明)4)如果函数f (x)在(a , b)内每一点x处可导，则称函数f (x)在区间(a , b)内可导.显然导数值f (x)也是x的函数，我们称它为函数 y = f (x)的导函数，今后在不会发生混淆的情况下，也简称导数.记作f'(x),，业或皿，即dx dxf (x)=Lim.0f(x x) T(x):x2一 2一讨论：函数y=x的导数是什么？(结论：(x ) =2x)思考：函数y =xn(n w N4)的导数是什么？(结论：(xn)'=nxn')拓展：函数y = x口(u w R)的导数是什么？(结论：(x口)= "乂口，)如(lx).=(x)=

10、x2 =t ， 1 =(*二)'=-1 x "2 =一 口等。22.x xx5)如果函数f(x)在(a, b)内可导，且在a点右导数存在，在 b点右导数存在，则称函数f(x)在闭区间a, b上可导。三、导数的几何意义由引例2的分析可知导数的几何意义为：函数y=f(x)在点x = x0的导数f'(X0)表示曲线y =f(x)在点(x0, 1仅0)的切线的斜率。因此有当函数y=f(x)在点x=x0处可导时，曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0)的切线方程为 y -y0 =f (x°)(x x0)曲线y =f(x)在点(x0, f(x0)的法线方程为y y 0

11、 = _ (x x 0 ), 当f '(x O )丰 0时f (xo)x = x 0,当 f '(x0) = 0时如果y = f (x)在点x0连续且导数为无穷大，则曲线在点(x0 , f (x。)的切线方程为x=x0；法线方程为y=y0例2求曲线y = jx在点(1,1)处的切线和法线方程。1 .1解 因为y，= (4x)，=,所以y X4.于是曲线y = Ux在点(1 , 1)处的切线2 .xx 2、1，、万程为 y -1 = (x -1)即 x 2y +1 =02曲线y = 4 在点(1 , 1)处的法线方程为y 1 = 2(x 1)即2x+y 3 = 0四、可导与连续的

12、关系定理 如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必连续.注：如果函数y=f(x)在点x0处连续，f (x)在点x0处未必可导。证明 在x=0处，Ay=|0十Ax|-| 0 | =| Ax | ,因此蚂Ay*例3证明函数y=|x|在x=0点连续，但不可导。=则01%|=0所以函数 y =| x|在x =0点连续。而 lim y = lim- = lim x =1. x-0 0 xlim y =J0-0 x因此lim y. J0 x不存在，所以函数 y 二 | x |在x =0点不可导。注：出现尖点不可导。本堂课小结：主要内容：两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续

13、的关系。重点：1.导数的定义；2.用导数的定义求函数在某点的导数；3.导数的几何意义。难点：1.导数的定义；2.函数可导与连续的关系。=lim y = limLJ0 =x lj0lOga(X X) - lOga X.1 X . X= LXmoNlOga 丁X -lXm0lOga(17) * X由此得到= lOg a-XXJogae xXln aZ| 、1(lOgaX) =Xlna特另1J (ln x)X1.罗列导数基本公式。C' = 0 (C为任意常数)；(xa)r = «xaJ (a 为实数)；第二节导数的基本公式与运算法则【教学内容】 导数的基本公式；四则运算求导法则；求

14、导法则应用举例。【教学目的】 使学生熟记与理解导数的基本公式与四则运算求导法则并能熟练应用。【教学重点】1.导数的基本公式；2.四则运算求导法则。【教学难点】公式的应用。【教学时数】2学时【教学进程】一、导数的基本公式提问：1.导数可以由哪一个极限式子表示？2.根据导数的定义求函数的导数有哪几步？(ax)' = axlna (a aQ a #1),特别：(ex)' = ex；1(lOga x) = (a A0,a (secx) = secxtan x1),将力U：xln a(sin x)' = cosx ；1 2(tan x) =2=sec xcos x(cOSx)&#

15、39; = -sin x ；12(cOt x) - -2- - csc xsin x* (cscx) - -cscxcOt x(arcsinx)=-1 - x2(arccosx)=1 - x2,.、11(arctanx) =r ;(arccotx)J-21 x1 x注：要求学生默记约 5分钟。2.分析部分基本公式特征。课堂练习：在下列空格处填上适当的函数使等式成立：1)-：=2) (&)，= ；3) (J2)'=;4) (ln x)= ；5) (ln2)'=；1 、.6) () = ； x7)(1)x)=。2二、导数的四则运算法则(答案:0)(答案：2 < x(答

16、案：0)(答案:1) x(答案:0)(答案：2-) x(答案：-(：)xln2)定理 设函数u =u(x)与v = v(x)在点x处可导，则它们的和(差)函数u(x)±v(x)在x处也可导，且u(x)±v(x) =u'(x)±v'(x) .也就是说：两个可导函数代数和的导数等 于各个函数导数的代数和。推广 有限个可导函数代数和的导数等于和个函数导数的代数和，即U1(x) -U2(x) -Un(x) =u；(x) -U2(x) - Un(x)例 2 已知 f (x) = x2 + sin x,求 f '(x)。解 f (x) = (x2 si

17、n x) = (x2) (sin x) = 2x cosx例 3 已知 f (x) =ex -arctanx ,求 f '(x)及 f '(0)。x 1斛 f (x) = (e -arctanx) = (e ) -(arctanx) =e 21 x,01f (0) =e 一 2 =1-1=0 1 02定理 设函数u = u(x)与v = v(x)在点x处可导，则它们的积函数u(x)，v(x)在x处也可导，且u(x)v(x)=u (x)v(x)+u(x)v<x)。此结论也可以推广到有限个函数的积的情形.如推广到三个函数乘积的情况为u(x)v(x)w(x) =u (x)v(x

18、)w(x) u(x)v(x)w(x) u(x)v(x)w(x)推论(Cu(x)'=Cu'(x) (C 为常数).已知 y =x2 In x ,求 y。y' = (x2 ln x) '= (x2) In x + x2 (ln x)' = 2x ln x + x21 = 2xln x + x。 x已知 y=Vxarctanx,求 y1y = ( x arctanx) = ( x) arctanx . x(arctanx)=arctanx 一 x 2 , x 1 x2定理已知 y = 3ex - xtan x + V2 ,求 y'。y=3(ex) -

19、(x) tanx - x(tan x) (, 2)=3ex - tan2x - xsec x设函数u =u(x)与v=v(x)在点x处可导，且v(x)¥0,则它们的商函数 哒 v(x)在x处也可导，且u(x)v(x)u (x)v(x) -u(x)v (x)v2(x)推论v(x)-v(x)已知y =v2(x)ln x,求y xv(x) ¥ 0。x(ln x)' -(x) ln1 .x - - lnx2x1 -ln x2xy = tan x ,求 y'。sin x _ (sin x) cosx - sin x(cosx)<cosx2cos xcosxcos

20、x sinxsinx 12=2=2= sec x ocos xcos x12即 (tan x) =2 = sec xcos x例 9 设 y = secx，求 y'。f 1 - (cosx)' - (-sin x),解 y' = (secx)'= i =2=2=tanxsecx90sx cos x cos x即 (secx) = secx tan x1 sin x例10 求y =的导数。1 sin x初 1'1+sinx' cosx(1 sin x) (1+sin x)( cosx) 2cosx斛 y = i =2=2<1 -sin x J

21、(1 - sin x)(1 - sin x)41例11 求y =5xarcsinx的导致。1 x(1-x)12 -5arcsinx -5x (1-x)21-x21(1-x)2-5arcsinx5x.1-x2一, ,x3 - 2 ,、x，5例12 求y =的导数。x 13解因为 y = x2 -2x 2 +5x，所以 y'=2x+x 2 5x”例132_2sin x - cos的导数。sin xcosx一一 22所以 y ' -(2e)x ln2e-sec2 x -csc2 xx x sin x - cos x因为y = 2 e sin xcosx说明：四则运算的求导法则除了直接

22、应用公式外，有时需要将表达适当变形后再应用公式。课堂练习：1 21 .推导公式 (cot x) =-2=csc x与(cscx) =cscxcotx。sin x2 .求下列函数的导数：y=x3lnx(答案： y' = 3x2 lnx + x2)y=2xcotx(答案：y' = 2x ln2 cotx-2x csc2 x)y = x3 cosxln x（答案:232sin x y x（答案:xcos x - sin x1 一 x2 y=W（答案:4x2 2(1 x )y =3x cosxln xx sinxlnx + x cosx)本堂课小结：主要内容：导数的基本公式；四则运算的

23、求导法则。重点：1.导数的基本公式；2.四则运算的求导法则及其应用难点：1.四则运算求法则的应用作业：第三节复合函数与隐函数的求导法则【教学内容】复合函数的求导法则；隐函数的求导法则；对数法求导。【教学目的】使学生掌握复合函数与隐函数的求导法则，会熟练地求复合函数与隐函数的导数，会用对数法求导。【教学重点】1.复合函数的求导法则；2.隐函数求导法则。【教学难点】1.复合函数的求导法则；2.隐函数求导法则。【教学时数】3学时【教学进程】一、复合函数的求导法则引入：引例1 设y =sin 2x ,求y'。解法一 y =(sin 2x) = (2sin xcosx) = 2(si n xco

24、sx sin xcos x)=2(cos2 x -sin2 x) = 2cos2x解法二 y = sin2x可看作是由y = sin u与u = 2x构成的复合函数。(通过提问写出复合函数的分解)因此 yx = yu ux = (sin u) (2x) = cosu 2 = 2cos2x引例 2 设 y = (3x1)2,求 y解法一 y =(3x-1)2 =(9x2 -6x 1) =18x-6解法二 y =(3x-1)2可看作是由y = u2与u =3x-1构成的复合函数。(通过提问写出复合函数的分解)因此 yx =yu ux = (u2) (3x-1) =6u -6(3x -1) -18x

25、 -6分析：上面两个引例虽然所求导数的函数不同， 但他们具有共同点。 解法一是应用我们 已学的四则运算求导法则，而解法二是通过复合函数分解以后进行求导，并且两个解法的结果是相同的，由此我们联想是否复合函数都可以用解法二的方法进行求导。我们的回答是肯定的，下面给出复合函数求导法则。定理 设函数y = fN(x)由y = f(u)与u =(x)复合而成，如果函数u=邛(x)在点x处可导，函数y = f (u)在对应点u处可导，则复合函数 y = f *(x)点x处可导，且dy dy dudx du dx或 yx = yu ux即：复合函数关于自变量的导数,等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变

26、量的导数，该法则可以推广到有多个中间变量的情形.例如：y= f(u), u =(v), v = d(x)均是可导函数，则复合函数y = f 5闻x)可导，且 业=2.du .dvdx du dv dx例 1 设 y = ln cosx，求 dy。dx解 y =ln cosx可看作是由y = In u与u = cosx构成的复合函数。因此包=电 du = (ln u) (cosx) = 1 (-sin x) - - sin x - - tanx dx du dxucosx例 2 设 y = V1 x2 ,求y。dx解 y =J1 x2可看作是由y = JH与u =1 -x2构成的复合函数。因此d

27、y dy du=T dx du dx= (、u)(Jx2)1E-2x);注：如果计算熟练，可以不设中间变量，直接求复合函数的导数，如例2的另一种解 法，以后复合函数求导我们常用下面的方法。口初 dy 12、-2xx另解(1-x)=-dx 211-x22.1 -x21 -x2课堂练习：1. y=cos2x(答案：y' = 2sin2x)cot x2. y =ex3. y = ln tan 一24. y=sin3(2x1)2 cotx、(答案：y = -csc xe )(答案： y' = cscx)(答案：y' = 6sin2(2x -1)cos(2x -1)_：2c例3

28、求函数y=esinx +e2的导数。2解 y =esinxe2 =es.222sinx2sin x22sin x2=e (sin x ) =e cosx (x ) = 2xecosx 。例 4 设 y = tan2 x + arc cot J1 - x ,求 y'。解 y = (tan2 x arc cot . 1 一 x) = (tan2 x)(arc cot . 1 - x)(1 _x)= 2tanx(匕nx) 21 ( ,1 - x)2=2 tan xsec x2 -x 2、1 -x(1 - x)2二 2tanxsec x2(2 -x) .1 -x课堂练习:.y = sin3 x

29、-cos4x(答案:2y =3sin xcosx+4sin4x ). y =e&xtan2x(答案:y' = -3eJ3x tan 2x + 2e & sec 2x).y = ln(x x2 -1)(答案:二、隐函数的导数1 .隐函数的概念。通过图象分析表达式y = v9 -x2 与 x2y2 =9(y之0)中x与y的对应关系，可以看出y都是关于x的相同函数，但表现的形式不同。把因变量y写成自变量x的显式表达式y=f(x),这样的函数称作显函数。把一个由二元方程 F(x,y)=0所确定白函数y= f(x)称为隐函数。2 .介绍隐函数的求导法则的原因不是任何隐函数都可以转

30、化为显函数有些隐函数转化为显函数后求导反而更复杂有些显函数转化为隐函数后求导更简捷3 .隐函数的求导法则把由F(x,y) =0所确定的隐函数 y=f(x)代入原方程，得到恒等式F(x,y(x)三0在等式两端对x求导，把其中的y看作中间变量，运用复合函数求导法，得到一个含y'的方程，解出y'，即为所求隐函数 y的导数。例5求由方程x2+y2=9 (y20)所确定的隐函数y=y(x)的导数y'。解 对方程x2+y2 =9两端同时关于x求导，得2x + 2yy'= 0于是得例6求由方程ey _ xy + ex = 0所确定的隐函数 y的导数y。解 对方程ey - xy

31、 + ex = 0两端同时关于x求导，得ey，y，-y-xy，+ ex=0 于是得 y'= yy e e - x例7求曲线x3 +4y3 =3xy在点(1, -1)处的切线方程。解 对方程x3 +4y3 =3xy两端同时x关于求导，得3x2 12y2y =3y 3xy 于是得丫 =2x -yx -4y1 2因而切线的斜率为 防=y'= J?(, )1-4(-1)x y T*三、取对数求导法由于有些显函数直接求导比较复杂甚至无法用显函数的求导方法，我们可以对其两边 取对数转化为隐函数后再求导。为了求导方便一般采用自然对数。例8设y = xx ,求y。解 先对y = xx两端同时取

32、自然对数，得 ln y =xln x 11两胡同时对x求导，得一 ,y =1 ,ln x+xyx 2,、所以切线万程为 y+1 = (x-1) 即2x+3y+1=0 3课堂练习：求下列隐函数的导数：1 . siny+cosx=1（答案：y '= sinx）cosy2 . ey+xye = 0（答案：yr = -y-）x ey于是得 y = y(1 Inx) = xx(1 In x)例 9 设 y = 31 (，求 y'。.(x-1)(x 2)解对y = 3(x+1)两端取自然对数，得(x-1)(x - 2)211ln y = ln(x +1) ln(x 1) ln(x + 2)

33、.3 33两端同时对x求导，得1211y =y 3(x 1)3(x -1)3(x 2)211y = y | 3(x+1) 3(x-1)3(x + 2)(x 1)22(x-1)(x 2) | 3(x 1)1 1 I3(x-1)3(x + 2)思考：具有什么特征的显函数用取对数法求导较方便?本堂课小结：主要内容：复合函数的求导法则；隐函数的求导法则；对数法求导。重点：1.复合函数的求导法则； 2.隐函数求导法则。难点：1.复合函数的求导法则； 2.隐函数求导法则。作业：第四节高阶导数【教学内容】高阶导数的概念、表示符号及其求法。【教学目的】 使学生理解高阶导数的概念，掌握高阶导数的表示符号及其求法

34、。【教学重点】高阶导数的求法。【教学难点】1. n阶导数的求法；2 .隐函数的高阶导数。【教学时数】0.5学时【教学进程】-、高阶导数的概念讨论：在变速直线运动中已知物体的位移函数s(t),怎样求物体的加速度?经讨论后得出结论求加速度可以对s(t)求两次导数得到。象这样的问题在实际中会经常遇到，需要多次对一个函数求导数，我们把连续两次或两次以上对某一个函数求导数，所得的结果，称为这个函数的 高阶导数。如果函数y = f (x)的导数y'= f'(x)仍是x的可导函数，则称f'(x)的导数为f(x)的二阶导数，记作:f "(x),吗或叮dx dx类似地，可以定义

35、函数 y =f(x)的三阶，四阶，n阶导数，它们分别记作:(4)(n) y , y , y 或色3 1dxd4y dx4n d4等等。二阶及二阶以上的导数统称为高dx二、高阶导数的求法对函数y= f(x)求高阶导数，只需用前面学过的求导方法，对函数多次接连地求导,即得所求高阶导数。例1设函数y = 4x2 + 6x - 2 ,求y解 y' = (4x2 +6x2)' = 8x+6； y"=(8x +6)' = 8.例2设函数y =ex x3,求y'(0)。解 y，=ex -3x2 ；x C_ x cy=e6x； y=e-6；所以，yi(0)=1_6=。

36、*例3设丫=乂二求y(n为正整数).解y，=(x) = nxn；y * = (nxn)，=n(n -1)x2；y卬=(n(n-1)xn/)'= n(n -1)(n -2)xnJ3；由此推得，y(n)=n!。*例 4 设 y =sin x,dn y dxn-dy二(sinx) = cosx = sin(x+ 一)；dx2.2-d y二二2二、-=sin(x+) =cos(x+)=sin(x + );dx2222嗅=sin(x dx32 二2 二3 二、+ )=cos(x + )=sin(x+ )；222由此推得,dny dxn. , n二、= sin(x +).2*例5求由方程22x2

37、+，=1所确定的隐函数y的二阶导数ya2 b2x求导,得 a 2yy = 0a2b224 = 1两边同时 b x 解对方程a于是得y ,二b2x对上式的两端同时关于x求导，得2 22 2-a b y - a b xy42a yjb2x将y“ 二 -l代入，a yb2-2a、, b b2x、y - x( 2 )a y2y,2 / 2 2,2 2、b (a y b x )2因为x2 a2 y b2+ b2x2 =a2b2 代入，得b423 a yy后，继续说明:求隐函数的二阶导数，只需要在用隐函数求导方法求出隐函数的一阶导数 用隐函数求导方法对 x求导即可，此时需注意 y与y'都是x的函数

38、.本堂课小结：主要内容：高阶导数的概念、表示符号及其求法。重点：高阶导数的求法。难点：1. n阶导数的求法；2.隐函数的高阶导数。 作业：第五节函数的微分【教学内容】微分的概念；微分的几何意义；可导与可微的关系；微分的基本公式与运算法则；一阶函数微分的形式不变性。【教学目的】使学生理解函数微分的概念及其几何意义，了解函数可导与可微之间的关系，掌握微分的基本公式与运算法则，理解一阶函数微分的形式不变性。【教学重点】1 .微分的概念；2 .微分的基本公式与运算法则；3.一阶函数微分的形式不变性。【教学难点】1 .微分的概念；2 .可导与可微的关系；3.一阶函数微分的形式不变性。【教学时数】2学时【

39、教学进程】一、微分的概念及其几何意义1 .微分的概念引例 一个正方形金属薄片受热膨胀，其边长由x0变到x0 + Ax (如图所示),面积S22_ 2相应地有一个改变重.6 = (x0x) -x0 = 2x0 x ( x)分析：AS含有两项，第一项 2x0Ax是Ax的线性函数(图中斜线部分)，第二项(Ax)2是当Axt 0时比Ax 高阶的无穷小量.因此，当 Ax很小时，面积S的改变量 S可以近似地用2x0Ax来代替。一般地，又于函数y=f(x),当自变量x在x0有一 个改变量xx时，函数相应的改变量为:y =f(x0 x) -f(x0)(A与Ax无关)，第二部分如果Ay可以表示成两部分： 第一部

40、分A dx是Ax的线性函数 o(取)是Ax的高阶无穷小；当 Ax t 0时，我们将函数增量 Ay的线性主部定义为函数的 微分。定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0 + &x均在这区间内，如果函数f (x)在点x0处的增量Ay = f (x0+Ax) f (x0)可以表示为Ay = A £x+o(Ax)其中A与Ax无关，o(Ax)是Ax的高阶无穷小，则称函数y=f(x)在点x0处是可微的，称A4x为函数y =f (x)在x0处的微分，记作dy x=0 ,即dy x=0 =A *x说明:1)如果y =f (x)在点x0处可微，则有 Ay = A dx +o(Ax)

41、,曰.：y 八 o(. ：x)是 =A + '',所以lxlxyf (x0)=叫手"m0 Ao(x) =Ax即函数 y =f(x)在点 x0处可导，且 A =f <x0), dy x=x0 =f '(xo)Ax。2)在y =x中，电三1 ;因此对于任何 x ,这个函数x的微分是&x ,所以函数x的 dx增量与微分相等，即 &x = dx ,因此dy X40 =f '(x0)dx ,因而有 曳xm。=f '(x0),因此， _dx 导数我们也称之为微商。3)如果若函数y=f(x)在点x0处可导，则有蚂詈 =f'(x0

42、)根据极限与无穷小量的关系可知qy = f (x0) +ot (其中豆是当Axt 0的无穷小量)，于是x一:xAy =f (x0)Ax +(Mx ,因为 1mo7 =0 ,则有= A & +o(Ax),因此函数y =f(x)在点x0处可微，且dy x=x0 =f '(x0)Ax =f '(x0)dx。由1)与3)可得以下定理。定理如果函数 y=f(x)在点x0处可微，则函数 y=f(x)在点x0处可导，且A =f (xo)；反之，如果若函数 y =f (x)在点x0处可导，则y =f (x)在点x0处可微.例1求函数y =x2在x =3处的微分.解 由 y' =

43、 2x, y'xs =2 3 = 6,得 dy x三=6dx。4)由微分的概念可知 Aydy(此关系是微分用于近似计算的根据)x005)如果函数y=f(x)在某区间内每一点都可微，则称f(x)是该区间内的可微函数。函数f(x)在任意点x的微分记为dy或df (x).即dy =f '(x)dx 。设函数y =sin x ,求dy、dyx京与dy澧.1。解 dy = y dx = cosxdx ；dy x=cos Hdx = -dx ；2dy 酒.1 = 一0.1。3 求函数y =xex的微分dy。dy = y dx = (xex)dx = (ex 十xex)dx = (1 十 x

44、)exdx .2.微分的几何意义在函数y=f(x)的图象上取两点P(x0 ,y0)与P«0 + Ax,yo + N)(如右图所示)，并分别过点P与点P'作平彳T与x轴与y轴的直线，它们相交于 Q；从图中 可以得到，PQ=Ax, QP' = Ay；再过点P作曲线的切线PT与PQ交于R ,设PT的倾角为 0 ,则QR = PQtanot = f '(x0)Ax = dy x=x0所以函数y=f(x)在点x0的微分dy =f'(x0)dx的几何意义是曲线y=f(x)在点处切线P(x 0, y0)纵坐标的改变量。(讲授方法：边提问，边作图，边分析)二、微分的基

45、本公式与运算法则根据函数的导数与微分之间的关系，我们可以得到微分的基本公式与运算法则.1.基本初等函数的微分公式dC =0 (C为常数)；d(xa) = axaJ1dx ( a为实数)；，、1d(lOga x);x ln ad(ax) =ax lnadx ,特另d(ex) =exdx ；1 .dx (a a 0, a # 1),特别 d(ln x) = dx ； xd(sin x) =cosxdx ； d(cosx) = 一sin xdx ；2d(cotx) = -csc xdx ；* d (secx) = secx tan xdx ;d(cscx) = -cscx cot xdx ;d(ar

46、csinx) = dx ；1 -xd(tanx) =sec xdx ；d(arccosx) = 一一J dx ；1 -x2，、1，d(arctanx) =2-dx ；1 x2.函数的微分的四则运算法则一 ，、1，d(arccotx) = -2 dx 。1 x(1) d(u ±v) =du ±dv ；(2) d(uv) = vdu + udv ,特别 d(Cu) = Cdu ( C 为常数)；(3) d''u=VdUrdV(v#0).<vv3.复合函数的微分法则设函数y =f (u)与u =%x)复合而成的函数为 y=f%x),则复合函数的微分为dy =

47、 y dx = f (u) ： (x)dx其实，du=，(x)dx ,因而有 dy=f'(u)du说明：上式表示，不论u是自变量还是中间变量，函数 y =f(u)的微分形式总是dy =f (u)du ,这个性质叫做一阶微分形式的不变性。21例4设y=3x -一十2,求dy。 xdy =d 3x2+2 = d(3x2)d.T +d2< x JVx)6x 口 dxx1 .1 ，=6xdx 2 dx =x例 5 设 y = Jx ln x ,求 dy。Inx .dx2. x解 dy =d(-xlnx) =lnxd( x) xd(lnx).In x 2 .dxdx2 xtanx 例6 设

48、y =，求dy。x2解 dy _ xd (tan x) Tan xdx _ (xsec x Tanx)dx 2x2例 7 设 y = arcsinJX，求 dy。111斛 dy =d(arcsin、.x) d . x : dx dx1 _ x2，x x.1 - x 2 x - x2例 8 设 y = x2 + 2jln x，求 dy。dy=d(x2 2 . Inx)=dx2 2dnx1=2xdx 2d (In x)2 , In x=2xdx dxxn x例 9 设 y =ex2in(2x)求 dy o解 dy =d(ex2in(2x 1) = ex2 in(2x 1)d(x2 -sin(2x

49、1)=ex 'in(2x 1)(dx2 -dsin(2x 1)= ex2 qin(2x*)(2xdx -2cos(2x +1)dx)2，一，、= 2ex "n( x )(x - cos(2x 1)dx例 10 设 y = e，x cos3x，求 dy。解 dy=cos3xd(e'x) e'xd(cos3x)=cos3x e2xdTx)e'xsin3xd(3x)=-2e'x cos3xdx-3e,x sin3xdx-ex(2cos3x 3sin3x)dx222dv例11 求万程x +2xy-y = a确定的隐函数y = f (x)的微分dy及导数

50、 。dx解 对方程两端求微分，得 d(x2 +2xy -y2) = d(a2)应用微分的运算法则，得 d(x2) d(2xy) -d(y2) = 02xdx 2(ydx xdy) - 2ydy =0化简，得(x y)dx =(y -x)dy一 一 一，y x .y -x所求导数为dy = y-2dx y -x于是，所求微分为 dy = ydx本堂课小结：主要内容：微分的概念；微分的几何意义；可导与可微的关系；微分的基本公式与运算法则；一阶函数微分的形式不变性。重点：1 .微分的概念；2 .微分的基本公式与运算法则；3.一阶函数微分的形式不变性。难点：1 .微分的概念；2.可导与可微的关系； 3.一阶函数微分的形式不变性。作业：第2章导数与微分复习【教学内容】回顾第二章导数与微分的基本内容与基本的计算方法。掌握函【教学目的】