2019-2020年高中数学3.2立体几何中的向量方法教案新人教A版选修2-1

1、019-2020 年高中数学 3.2 立体几何中的向量方法教案新人教 A 版选修教学目标:1.掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）行与垂直、法向量求法2.掌握向量作为工具解决立几问题的方法、平si n v - cosPoP n.（见第一.3所示图）3.向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何 的本质重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法.空间距离的计算1.空间两点间的距离：设A2.两条异面直线间的距离：设B是空间两点，贝UAB两点间的距离d=|a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点Aa,B三b则异面直线a、

2、b间的距离AB nd =n即方向上的射影长为异面直线3点（或线）到平面的距离:1）设n 是平面的法向量,点 P。是平面外一点,.P是平面 a内任一点，贝UFO到平面 aPoP n d =-H /O/2）直线与平面（或平面与平面）的距离转专化为点到平面的距离。 二.空间角度的计算1.两条异面直线所成的角：设I1与I2两条异面直线，/11,角/12,则I1与I2所成的a=或 a=刃-(0a )n mcos=或cosa= -Tn m(0a W)教学过程：相关知识与能力:2.斜线F0P与平面 a 所成的角 03.二面角：设相交平面 a与 B 的法向量分别为，则 a与 B 所成的角的大小为或 (如何 确

3、定？)典例分析：例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为CG的中点，应 用空间向量方法求解下列问题。(1)求证：EF丄BiC;(2)求EF与CG所成的角的余弦;(3)求FH的长。解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,)F()C(0,1,0)Bi(1,1,1)C(0,1,1),G(0, 0)一1 11 - 11- EF =(1,1，),B1C =(-1,0,-1) EF =0 1=02 2 2 22则即cos(.51C) =故EF与所成角的余弦值为(3)vH为CG的中点 H(0,),又F()例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，

4、取如图所示的空间直角坐标系。(1)写出A、B、E、D的坐标；(2)血卜0+(三)212.17由(1)知EF(1)(2)212EF GG = ? 0彳(-丄)0 =322 428FH(8 J2(2-0)2418解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC三(2)求AB与DE所成的角的余弦值。解：(1)A(2,2,0)Bi(2,0,2),E(0,1,0),Di(0,2,2)(2)vAB1=(0,_2,2),ED1二(0,1,2)EDV5,AB1可=0-2+4 =2与所成的角的余弦值为例3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD PD=DC E是PC的中点, 作EF丄

5、PB交PB于点F。(1)证明PA/平面EDB(2)证明PB丄平面EFD(3)求二面角CPB- D的大小。2 I272x71710lbp(1)证明：连结AC, AC交BD于G连结EG依题意得A() ,P(0,0,a),E()/底面ABCD是正方形 G是此正方形的中心故点G的坐标为()且，,这表明PA/EG,而平面EDB且PA平面EDBPA/平面EDB(2)证明：依题意得B(),2 2a a又,故PB DE =002 2PB丄DE由已知EF丄PB,且，所以PB丄平面EFD(3)解：设点F的坐标为(),则(x0, y0, z0-a) = (a, a,-a)从而心加,片加工二(1 吐? 1 所kAFE

6、 =(_心, _必 r _习)WUWM由条件 EF 丄 P 習知，PE 7B= 0卩一爲/ +(丄一砂？一(丸一】)/二 02 2 解得兄二丄/.点 F 的坐标为(-r-r)33 3 3且=)3 66333ABCD所在平面外一点P，PU平面ABCD E、F分别是AB PC的中点。(1)求证：EF/平面PAD(2)求证：EF丄CD；(3)若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。2、在正方体中，如图E、F分别是BB,CD的中点,(1)求证：平面ADE面角函五“台冷+刍=0,故 ZEFD是二面弟c?BD的平cos EFD -FE FD _FE FD辰 廳-Q-口，所以，二面角CPC- D的大小为巩固

7、练习1、如图，已知矩形-莎巫诗弋+环吩(2)作业布置如图，已知正方形ABCD勺边长为4,E、F分别是AB AD的中点，GC!平面ABCD且GC=2求点B到平面EFG的距离。2、如图，在直四棱柱中，已知DC=D1=2AD=2AB AD丄DC AB/DC。(1)设E是DC的中点，求证：DE/平面ABD(2)求二面角的余弦值。教学反思：在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。弓I入向量的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。进一步强化了 “坐标法”、“数形结合”和“

8、转化”等数学思想方法ClAE B33.2立体几何中的向量方法课前预习学案预习目标:1.向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法2.向量作为工具解决立几问题的方法预习内容:.空间距离的计算1）设n 是平面：的法向量,点 Po是平面：外一点,.二.空间角度的计算1.两条异面直线所成的角：设I1与I2两条异面直线，/11,/12，则I1与I2所成的角a=或 a=刃-(0a )cos=或cos2.斜线F0P与平面 a 所成的角 03.二面角： 设相交平面 a与 B 的法向量分别为，则 a与 B 所成的角的大小为或 （如何 确定？）asi n v - c

9、osPoP n.（见第一.3所示图）1.空间两点间的距离：设AB是空间两点，贝UAB两点间的距离2.两条异面直线间的距离：设a,B wb则异面直线a、b间的距离a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点A即方向上的射影长为异面直线3.点（或线）到平面的距离：(0a W)提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：1掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法(不定点的坐标)、平行与垂直、法向量求法1掌握向量作为工具解决立几问题的方法重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法学习过程：例1.在棱长为1的正方体中，

10、E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为CG的中点，应 用空间向量方法求解下列问题。(1)求证：EF丄BQ;(2)求EF与CG所成的角的余弦；(3)求FH的长。例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。(1)写出A、B、E、D的坐标；(2)求AB与DE所成的角的余弦值。si n v - cosPoPnp0p n.(见第一.3所示图)例3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD PD=DC E是PC的中点, 作EF丄PB交PB于点F。(1)证明PA/平面EDB(2)证明PB丄平面EFD(3)求二面角CPB- D的大小。当堂检测：1、如

11、图，已知矩形ABCD所在平面外一点P,PAL平面ABCD E、F分别是AB PC的中点。(1)求证：EF/平面PAD(2)求证：EFLCD(3)若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。(1)求证：平面ADE(2)课后练习与提高1、如图，已知正方形ABCD的边长为4, E、F分别是AB AD的中点，GCL 平面ABCD且GC=2求点B到平面EFG的距离。2、在正方体中，如图E、F分别是BB,CD的中点,Z 42、如图，在直四棱柱中，已知DC=D1=2AD=2AB AD丄DC,AB/DC。(1)设E是DC的中点，求证：DE/平面ABD(2)求二面角的余弦值。2019-2020 年高中数学 3.2

12、立体几何中的向量方法的学案 新人教 A 版选【学习目标】1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念；2.掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决线线、线面平行与垂直等立体几何问题.【探究新知】一、 课前准备(预习教材Pl02P104,找出疑惑之处)复习1： 一条直线与一个平面内的 _ 直线平行，则该直线与此平面平行。一条直线与一个平面内的 _ 直线垂直，则该直线与此平面垂直。一个平面过另一个平面的 _ ，则两个平面垂直。复习2：设a=,b=,ab=_二、 新课导学 探学习探究探究任务一：向量表示空间的点、直线、平面 问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 新知：点：在空间中，我们

13、取一定点作为基点， 那么空间中任意一点的位置就可以用向 量来表示，我们把向量称为点的位置向量 直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量. 平面：空间中平面的位置可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置 平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平 面，记作丄，那 么向量叫做平面的 法向量.试一试：1.如果都是平面的法向量，则的关系 _.2.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是.A思考：1.一个平面的法向量是唯一的吗？2.平面的法向量可以是零向量吗？ 向量表示平行、垂直关系：设直线的方向向量分别为， 平面 的法向量分

14、别为，则 / / / /探典型例题例1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,侧棱PD丄底面ABCD PD=DC点E是PC的中点，作EF丄PB交PB于点F.求证：（1）PA/平面EDB （2）PB丄平面EFD求平面的法向量步骤：设平面的法向量为； 找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐 标；根据法向量的定义建立关于的方程组；解方程组，取其中的一个解，即得法向量平面的法向量与平面内的任意向量都垂直滋动手试试练1.设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系：； .练2.设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：；.练3:在空间直角坐标系中，已知A 3,0,0 ,B 0,4,0 ,C

15、0,0,2 ,试求平面ABC的一个法向量A. B. C. D.探学习小结1.空间点，直线和平面的向量表示方法2.平面的法向量求法和线线、线面垂直的证明【当堂检测】设a二2,-1,-2 ,b=6,-3,-6分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是.2.5.已知AB=1,0,-1 ,AC=0,3,-1，能做平面的法向量的是（B.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量D.若是直线的方向向量，贝U）6如图，在直三棱柱中，.ABC =90 ,CB =1,CA =2, AA，点M是的中点，求证:【课外延伸拓展】 如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，SD平面AB

16、CD SD=2a点E是SD上的点，且 求证：对任意的，都 。有 3.2 立体几何中的向量方法（2）【学习目标】掌握向量运算在几何中求线线角、线面角的计算方法【探究新知】 一、课前准备复习1：已知，且，求.复习2:已知，求平面的一个法向量、新课导学 探学习探究探究任务一：用向量求空间两异面直线所成的角什么叫两异面直线所成的角？范围是_ ;两向量的夹角呢？它们之间有什么关系？新知：用空间向量表示空间直线（线段），然后利用公式_ 求出两异面直线所成的角.探究任务二：用向量求直线与平面所成的角问题：如何用向量方法求空间直线与平面所成的角? 什么叫做直线与平面所成的角？如右图：PA与平面 a 所成的角是

17、_ , B 与 B【应用举例】 求异面直线MN与所成的角.（2）若AC BD相交于点为0,求AD与平面MOD所成的角的 正弦值。COS 卩=,故 =_例1如图，如图，M N分别是棱长为2的正方体的棱、的中点.探学习小结1.空间直线与平面所成的角用公式 _ 求解；2.空间异面直线的夹角，可以转化为利用公式 _ 求解.解空间图形问题时，可以分为三步完成：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把 立体几何问题转化为向量问题（还常建立坐标系来辅助）；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义

18、滋当堂检测（AB 班完成）1.已知，贝U =.2.已知，则的夹角为 _ ，异面直线所成的角为 _ 。3若MN分别是棱长为1的正方体的棱的中点,那么直线所成的角的余弦为（）A. B. C. D.4.正方体中棱长为，是的中点，则为（）A. B. C. D.【课外延伸拓展】已知四棱锥P-ABCD底面为直角梯形，PA丄底面ABCD且，AB=1,M是PB的中点（I）证明：面PADL面PCD（n）求AC与PB所成的角； （川）求AM与面BMC所成角的正弦值:“ 3.2 立体几何中的向量方法（3）【学习目标】1.进一步熟练求平面法向量的方法；2.掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离的计算方法; 【探究新

19、知】一、课前准备 复习1:已知，试求平面的一个法向量.复习2:什么是点到平面的距离?二、新课导学探究：点到平面的距离的求法 问题：如图A空间一点到平面的距离为，已知平面的一个法向量为，且与不共线，能否用与表 示？分析：过作丄于Q连结0A则d=|=丄，/.cos/APQ=|cos|二 =1丨丨cos|=_ =_新知：用向量求点到平面的距离的方法： 设A空间一点到平面的距离为，平面的一个法向量为，则二_试一试：在棱长为1的正方体中， 求点C到平面的距离.PCMC例1如图,是矩形，平面”,分别是的中点，求点到平面的距离小结：求点到平面的距离的步骤:建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标； 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；当堂检测在棱长为 在棱长为 在棱长为标；1.2.3.4.的正方体中，平面的一个法向量为 的正方体中，异面直线和所成角是 的正方体中，点是底面中心，则点如图，正方体的棱长为2,点是棱中点，点是中点，求证:丄DB(2)求点M到平面B1DB的距离【课外延伸拓展】如图，正三棱柱的底面边长为2，侧