七年级数学寒假讲义

1、第一讲 有理数的相关知识1 知识归纳：1.正数：大于0的数。负数：小于0的数（正数前面加“-”号的数）。 0：既不是正数也不是负数。 注意：不一定是负数，也不一定是正数。2.有理数的概念：正数、负数和0统称有理数。 有理数的分类：3.数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。4.相反数的概念：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称 这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。 注意：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)的相反数是；的相反数是；的相反数是； (3)相反数的和为0。即若0则a、b互为相反数。5

2、.绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点及原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“”。6.绝对值的有关性质： （1）对任意有理数a，都有0； （2）若0，则0； （3）若，则或b； （4）若（b>0），则±b； （5）若0，则0且0； （6）对任意有理数a，都有。7. 有理数大小的比较法则：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大， 负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 0，小数-大数 0。8.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 注意：0没有倒数

3、；若a0，那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；若1则a、 b互为倒数；若1则 a、b互为负倒数。2、 典型例题：例1、填空：两个互为相反数的数的和是 ；两个互为相反数的数的商是 ；(0除外) 的绝对值及它本身互为相反数； 的平方及它的立方互为相反数； 及它绝对值的差为0； 的倒数及它的平方相等； 的倒数等于它本身； 的平方是4， 的绝对值是4；如果a，则a是 ；如果3，则a是 ；如果，那么a是 ；如 果，那么a是 ； x是-8的相反数，5,则的值为： 。例2、当a0，b0，c0，d0时，用“”、“”或“=”填空。0； 0； 0；0； 0； 0； 0； 0； 时，a b.例3、计算：

4、(1) (2) （3）|0.32(-0.3)|例4、在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“ ”把这些数连结起来。35 ，3.5 ，0 ， 2 ，2 ， ， 0.5例5、有理数、在数轴上对应点如图所示： 0 (1) 在数轴上表示、；(2)试把、0、这五个数从大到小用“”号连接起来例6、若 a 、b互为相反数，c 、d互为倒数，求（ab）20 （c d ）20 的值。例7、解方程3. 巩固训练：（一）填空题 1-(-)的倒数是，相反数是，绝对值是。2若0，则，。3若，则a及。4因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系，那么到点100和到点999距离相等的数是；到点距离相等的点表

5、示的数是；到点m和点n距离相等的点表示的数是。5.如果2，那么.6到点3距离4个单位的点表示的有理数是 。7绝对值小于3的整数有 _.8观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，； ； ；第2003个数是 。9把下列各数填在相应的集合内。 整数集合： 负数集合： 分数集合： 非负数集合： 正有理数集合： 负分数集合： 10.用“”、“”、“”号填空：（1） （2）（3） （4）（二）选择题。11下列说法正确的是（   ）    A.绝对值较大的数较大；    B.绝对值较大的数较小；   

6、; C.绝对值相等的两数相等；    D.相等两数的绝对值相等。12两个有理数相加，如果和比其中任何加数都小，那么这两个加数（ ）A.都是正数 B.都是负数 C.互为相反数 D.异号 13两个非零有理数的和为正数，那么这两个有理数为（ ）A.都是正数 B.至少有一个为正数 C.正数大于负数 D.正数大于负数的绝对值，或都为正数14若a是有理数， 则4a及3a的大小关系是（ ） A4a3a B.4a3a C.4a3a D.不能确定15若 0 ，且ab0 ，那么（ ） 0，b0; 0，b 0; 0 0; 00 16.下列说法中不正确的是（ ） A. 只有符号

7、不同的两个数互为相反数； B. 在数轴上，互为相反数的两数到原点的距离相等； C. 互为相反数的两数的和为零； D. 零没有相反数。（三）解答题。17（1）将下列各数填入相应的圈内： 2 ，5 ， 0 ，1.5 ，2 ，3 。 正数集合 整数集合 （2 ）说出这两个圈的重叠部分表示的是什么数的集合： 。18如图是一个正方体纸盒的两个表面展开图，请把 8 ，5 ，8 ，2 ，5 ，2 分别填入六个正方形中，使得折成正方体后，相对面上的两数互为相反数。19出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：+15，2，+5

8、，1，+10，3，2，+12，+4，5，+6（1） 小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出车时的出 发地有多远？ （2）若汽车耗油量为0.41升/千米，这天下午小李共耗油多少升？四.自我检测：1. 在数轴上表示的两个数中， 的数总比 的数大。2. 在数轴上，表示+2的点在原点的 侧，距原点 个单位；表示7的点在原点的 侧，距原点 个单位；两点之间的距离为 个单位长度。到原点距离 为5的数有 个，它们是 。3. 在数轴上，把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位，则及此位置相对应的数是 。4. 最小的正整数是；绝对值最小的有理数是。绝对值等于3的数是。 绝对值等于本身的

9、数是 5. 到原点的距离不大于3的整数有 个，它们是： 。6. 下列说法错误的是（ ） A.没有最大的正数，却有最大的负数 B.数轴上离原点越远，表示数越大C.0大于一切非负数 D.在原点左边离原点越远，数就越小7. 下列结论正确的有（ ）个： 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴 最小的整数是0 正数，负数和零统称有理数 数轴上的点都表示有理数 A.0 B.1 C.2 D.38. 在数轴上，A点和B点所表示的数分别为2和1，若使A点表示的数是B点表示的数 3倍，应把A点 （ ）A.向左移动5个单位 B.向右移动5个单位C.向右移动4个单位 D.向左移动1个单位或向右移动5个单位9. 一个

10、数的相反数大于它本身，这个数是 （） 正数 负数 非负数10. 以下关系一定成立的是 （） 若,则 .若, 则0 . 若0,则 .若 >, 则b.11. 的相反数是 ( ) A B C D212. 在数轴上画出下列各点，它们分别表示：+3， 0， ， 1，1.25 并把它们用“>”连接起来。13.某电讯养护小组乘车沿南北向公路巡视维护。某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地。约定向北为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，。问：（1）B地在A地的何方，相距多少千米？（2）若汽车行驶每千米耗油a升，求该天耗油多少升？第二讲 有理数的运算一、知识点归纳1、 有理数加法法则 同号两数

11、相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减 去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加，仍得这个数。2、 有理数加法符号确定 正数+正数=正数 负数+负数=负数 正数的绝对值大于负数的绝对值那么：正数+负数=正数 正数的绝对值小于负数的绝对值那么：正数+负数=负数3、有理数的加法运算定律： 加法交换律：两个数相加，交换两个加数的位置和不变。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变4、有理数减法法则：即减去一个数，等于加这个数的相反数。 有理数的减法可以转化为加法来进行。5、 有理

12、数的乘法法则： 两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同零相乘都得零。 注：（1）两个负数相乘积为正数。 （2）多个不是零的数相乘时，负因数的个数是奇数时，积为负数；负因数的个数 是偶数时，积为正数。6、 有理数的乘法法运算定律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先两个数相乘，积相等。乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别和这两个数相乘，再把积相 加 。注：(1)可以写成或。当用字母表示乘数时，“”可以写成点“”或者省略。 (2)乘法分配律反过来也要求会灵活运用。（3）当括号外的因数是负数，去括号后式子

13、各项的符号及原括号内的相应各项的符号相反。7、有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 除法可以转化为乘法计算。分数可以理解为分子除以分母。8、乘方的概念：n个相同因数的积的运算。 理解：（1）n个相同因数a相乘记作，读作的n次方。叫做底数，n叫做指数， 乘方的结果叫做幂。 （2）一个数可以看做是本身的1次方。 （3）利用有理数的乘法运算来进行乘方运算。负数的奇次幂是负数，负数的偶 次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。0的任何正整数次幂是0。 （4）注意9、有理数混合运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减（2） 同级运算，从左往右进行（

14、3） 如右括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行10、近似数：接近实际数字，但是及实际数字还是有差别，这个数是一个近似数11、科学计数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中a是整数数位只有1位的数，n是正整数）12、有效数字：从一个数的左边第一位非零数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 注意：0.30是两个有效数字。1500是四个有效数字。2、 典型例题例1：计算例2：例3：例4：例5：计算：例6、下列说法正确的是（ ）. A.零除以任何数都等于零 B.两数相除等于把它们颠倒相乘 C.一个不等于零的有理数除以它的相反数等于1 D.商一定小于被除数例7：例8

15、：如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，求的值。三、巩固训练1、 填空题：1已知3a是一个负数，则a是 数.2； .3当n是奇数时，= ;当n是偶数时，.4绝对值不大于2005的所有整数的和是 ,积是 .5若=35，且异号，则 ；若互为倒数，互为相反数，则223 6-2的倒数是 ，-0.2的负倒数是 ；被除数是-5，除数是-的倒数，则商是 ; -1的绝对值及的和是 7（1）若<0<0,则a 0. （2）若<0>0,则b 0 8（1）若a>0,则= ；若a<0,则= .（2）如果>0,>0,那么 0.9. 在-,中,最大的数是 .10. 已知0，则

16、= .二、选择题：11. 下列运算结果为负数的是（ ）。 11(-2) B.0(-1) C.(-6)÷4 D.(-7)+1812. 下列说法不正确的是（ ）。A.互为相反数的两数绝对值相等 B.互为相反数的两数和是0C.互为相反数的两数如果有商，那么商一定是-1 D.互为相反数的两数积是113. 的意义（n为正整数）是（ ）。 A.10个n相乘所得的积 B.表示一个1后面有n个0的数 C.表示一个1后面有（1）个0的数 D.表示一个1后面有（1）个0的数14若>0,则（） 都为正.都为负同号异号15下列运算错误的是（ ）。 A.(-3)=3(-3) 5(-)5（-2） C.8-

17、（-2）=8+2 D.2-7=（+2）+（-7）16下列说法正确的是（ ）。 A.有理数m的倒数是 B.任何正数都大于它的倒数 C.小于1的数的倒数一定大于1 D.若两数的商位正，则这两数同号17如果四个有理数之和的是4，其中三个数是-12，-6,9，则第四个数是（ ）。 9 B.15 18 D.2118已知<,则有（ ）。 <0 <b<0 >0<0 <0<b19下列各数中及相等的是（ ）。 A. B. C. D.20下列运算结果不一定为负数的是（ ）。A.异号两数相乘 B.异号两数相除 C.异号两数相加 D.奇数个负因数的乘积21. 关于0，下

18、列说法不正确的是（ ）。A.0有相反数 B.0有绝对值 C.0有倒数 D.0是绝对值和相反数相等的数22. 某数的平方是，则这个数的立方是（ ）。 A. B. C.或 8或-823计算的结果是（ ）。 A.1 2 D. 24n为正整数时，的值是（ ）。A.2 2 C.0 D.不能确定25. 如果两个有理数的积小于零，和大于零，则这两个有理数（ ）。 A.符号相反 B.符号相反且负数的绝对值大 C.符号相反且绝对值相等 D.符号相反且正数的绝对值大3、 计算题：26（1）0(-1000)； （2）（-3）（5）；（3）； (4)（-56）（-32）+（-44）32；（5）)(-; （6）12；（

19、7）； (8) (9) （10) (-8) (+3)(-)(-1);(11) (12) 4、 解答题：27已知=5，=2<0.求：（1）32b的值；（2）的值。 （1）解：=5， .=2, .<0, 当 时， ,当 时， .32 或32 .(2)解： .32b的值为 ，的值为 。28小亮的爸爸在一家合资企业工作，月工资2500元。按规定：其中800元是免税的，其余部分要缴纳个人所得税，应纳税部分又要分为两部分，并按不同税率纳税，即不超过500元的部分按5%的税率纳税，超过500元不超过2000元的部分则按10%的税率纳税。你能算出小亮的爸爸每月要缴纳个人所得税多少元吗？4、 自我检

20、测一、选择题 1若，那么下面正确的是（ ） A、B、C、D、 2若，则是（ ） A、正数B、负数C、整数D、任意有理数 3如果一个数的平方等于它的绝对值，那么这个数是（ ）A、1B、0C、1D、1，0，14下面四个命题中，正确的是（ ） A、若，则B、若，则 C、若，则D、若，则5下列运算中，正确的是（ ） A、155=10 B、 C、 D、二、计算题 134+191223. 4.第三讲 整式的加减一知识归纳 1单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2单项式的系数及次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式

21、的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 注：（1）单项式的系数包含符号。（2）1可以省略不写。（3）单项式a的次数是1而不是0.（4）单项式的次数是3而不是2.3多项式：几个单项式的和叫多项式.（所有多项式的项包括它前面的符号）4多项式的项数及次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意：（若a、b、c、p、q是常数）和是常见的两个二次三项式.5整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.整式分类为： .6、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同

22、类项.（同类项及系数 无关，及字母的排列顺序无关）7.合并同类项法则：系数相加，字母及字母的指数不变.8去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.9整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到 小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）. 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.2、 典型例题例1： 已知当2时，代数式的值等于5，求当1时这个代数式的值. 补例练习 1、如果时，求

23、代数式的值. 2、已知3,求代数式3的值。例2 ： 1 和 统称整式；2单项式 的系数是 ，次数是 ；-是 次单项，数是 ；的次数是 ，系数是 。 3当时，整式x2a1是单项式4多项式x3y2229是次项式，其中最高次项的系数是 ，二次项是 ，常数项是 5组成多项式1x2y23的单项式分别是 6的一次项系数是 ，常数项是 ；7整式，3xy2,23x2y,a,1中 单项式有 ，多项式有 .8设某数为x，10减去某数的2倍的差是 ；9把代数式2a2b2c和a3b2的相同点填在横线上：（1）都是 式；（2）都是 次10如果整式(m2n)x25是关于x和y的五次单项式，则 .例3：1、 试判断下列各组单项式是否是同类项： 及 ；及； 及 2、下列各题合并同类项的结果是否正确？例4：求多项式及的和。例5：如果是同类项且m及n互为倒数，求的值。例6：化简求值 1），其中 2），其中1为正整数。例7：当x>0<0时，化简 1） 2）例8：已知，求得值。例9：证明的值及m无关。三、巩固训练1、用代数式表示a及-5的差的2倍是( ) A、(-5)×2 B、(-5)×2 C、2(5） D、2(5）2、用字母表示有理数的减法法则是（ ） A、 B、() C、 D、()3、某班共有学生x人，其中女生人数占35，那么男生人数是（ ） A、35x B、