点到直线的距离公式

1、点与直线直线方程.教学内容：点到直线的距离；点关于点、关于直线的对称点；直线关于点、关于直线的对称直线;直线方程复习；.知识点：1.点到直线距离公式及证明Ax。By。C|A2B2关于证明：根据点斜式，直线 PQ的方程为（不妨设 AW0）By y。A（x x。），即 Bx Ay Bx0 Ay。,解方程组Ax By C 。Bx Ay Bx0 Ay。,2/曰 B x。 ABy 0 AC信 x 22,A B这就是点Q的横坐标，又可得222B x0 ABy0 AC A x0 B x0x x。 22A BA（Ax。 By。 C）“2-2'A By y。所以，A（x）B（Ax。 By。 C）x。a2

2、 B2'd ,（x x。）2 （y y。）2（Ax。By。C）2Ax。 By。C|22Ja b o这就推导得到点 P (xo, yo)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式。如果A=0或B=0 ,上式的距离公式仍然成立。下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。设点Q的坐标为(xi, yi),则Ax1 By1 C 0,y1 y0By-(A0),x1 x0A把方程组作变形，A(x1x0)B(yiyo) (Ax。 By。C),B(xix。)A(yiy。)0把，两边分别平方后相加，得(A2 B2)(xi x。)2 (B2 A2)(yi y。)22(Ax。By。C),所以，-_ 一、22

3、2 (Ax。 By。 C)(xi xo )(yi y。)2 Z-2'A B所以，d,(x xo)2 (yi y。)2|Axo By°C|一A二B此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下：设P(x1, y1)、P2(x2, y2)是直线l上的任意两点，则Axi By C 。Ax2 By2 C 。把、两式左右两边分别相减，得A(xi x2) B(yi y2)。，由向量的数量积的知识，知n - P2P10,这里n= (A, B)。所以n= (A, B)是与直线l垂直的向量。当n与PP0的夹角为锐角时，d |RP01cos , （如图所示）|PiP21cos|RP011cos |当

4、n与P1Po的夹角 为钝角时,d |RP01cos（180 °（如图所示）所以，都有d IBP011cos |,因为n - P1P0 |n| IP1P0I cos , 所以In。F1P0|n|(A,B) (xo xi , yo yi)|,A2 B2|A(Xo_Xi)_B(yo_yi)|?A2B2|Axo By°C|A2B2一(因为Axi By C 0,所以 Axi By C)2 .平行线间的距离公式3 .点关于点的对称点(中点坐标公式)4 .已知 Po (xo, yo)直线 l: Ax+By+C=0 (B0)点Po (x°, y°)关于直线1的对称点：设

5、为Pi(x1，yi)V Vo特别地关于特殊直线的对称点。（x轴、y轴、直线y=x ,直线y= x）5 .直线l关于点Po （xo, yo）对称直线（三种方法）6直线l关于直线11Al x BiV Ci o的对称直线（三种方法） J .特别地直线l关于特殊直线y=±x+b的对称直线。【典型例题】例1.求与直线l:5x 12y 6 o平行且到l的距离为2的直线的方程。解法一：设所求直线的方程为5x 12y c o,i在直线5x 12y 6 o上取一点Po（o,-）,2点Po到直线5x 12y c o的距离为1| 12X - c| . Pld2 1c 6|52(12)213由题意，得!c6

6、1 2。13c=32 或 c= 20,所求直线方程为5x 12y 32 0和5x 12y 20 0。解法二：设所求直线的方程为5x 12y c 0,由两平行直线间的距离公式，得2 J。6| 解二;52( 12)2得 c 32 或 c20。故所求直线的方程为5x 12y 32 0和 5x 12y 20 0。小结：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线 的距离，即把两条平行线之间的距离，转化为点到直线的距离。也可以直接套两平行线间的距离公式d|C2 C(A2 B2例2.已知正方形的中心为 G ( 1, 0), 一边所在直线的方程为x+3y5=0,求其他三边所在的直

7、线方程。解：正方形中心G ( 1, 0)到四边距离均为| 14二12 3210设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x+3y+c 1=0。I 1 GlJ0?，即 1cl 1| 6。.10解得c15或c17。故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0设正方形另一组对边所在直线的方程为3x-y+c2=0。冏 3X( 1) C2I6一标一而即3| 6,解得c2 9或c23。所以正方形另两边所在直线的方程为：3x y90 和 3xy30。综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为：x 3y70、3xy90、3x y 3 0。小结：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求

8、得了正方形其他三 边所在直线的方程。例3.求直线x 2y 1 0关于直线x y 1 0对称的直线的方程。x 2y 1 0, /曰 x 1, 由得解法一：x y 1。， y 0.点(1,0)为两已知直线的交点。设所求直线的斜率为 k,由一条直线到一条直线的角的公式,11kl2 k 1W六，k 2。1 11 k12故所求直线方程为y 2(x 1),即2x y 2 0。解法二：由解法一知两已知直线的交点为A (1, 0)。1在直线x 2y 1 0上取一点B(0,1),设点B关于直线x y 1 0的对称点为C(x0, y0),则0 x°212 y021 0,2)x001)解得x0y03一,2

9、1。二. C点的坐标为直线AC的方程为(32r y1)x 1_,2 x y 2 0,W 12yo)则P0在直线x 2y 1 0上。2y。 1 0,k PP0y vx x0线段PP0的中点是M( 2二点P与点P0关于直线xx0y y0、T。0对称,y v。X0xX( 1)1,1°。XoV。即直线x 2y 1 0关于直线x y 1 0对称的直线的方程为2x y 2 0。代入x02y0 1 0,得解法三：设P (x, y)是所求直线上的任一点，P关于直线x+y1 = 0对称的点为P0 (x0,1 y 2(1 x) 1 0,即2x y 2 0为所求。解法四：直线x+y1=0 k= 1x 1

10、y由 x+y 1=0 y 1 x 代入 x 2y 1=0 得1 y 2(1 -x) -1=02xy 2=0即为所求。小结：求直线l关于直线11对称的直线的方程，只要在 l上取两点A、B,求A、B关于11 的对称点A'、B',然后写出直线 A'B'的方程即为所求。 解法二和解法三中， 都用到了求一个点 P 关于某直线1的对称点P0的问题。这个问题的解法就是根据：直线P0P与直线1垂直；线段P0P的中点在直线1上，列出方程组解出 x。、y。，代入x。、y。所满足的方程，整理即得所求直线 的方程。例4求经过直线3x 2y 6 。和2x 5y 7 0的交点，且在两坐标轴

11、上的 截距相等的直线方程。由方程组3x 2y 6。，解法2x 5y 7 0,/日x 得4,3 。，两已知直线的交点为(一 4, 3)。当所求直线在两坐标轴上的截距都是。时，直线的横截距、纵截距相等。所求直线的方程为 y 3x,4即3x 4y 0。当所求直线不过原点时，设所求直线方程为x y a,因为点(一4, 3)在直线x+y=a上，4 3 a, a 1,故所求直线方程为x y 1 0。综上所述，所求直线方程为3x 4y 0或x y 1 0。所以可设所求直线的方程为3x 2y 6(2x 5y 7) 0(*)。在(*)式中，令x 0得y -2a/曰 76令y 0得x 。3 2由题意，得76762

12、 53 2所以6或76和71一O3-分别彳t入(*)式整理,3即得 3x 4y 0和 x y 1 0。小结：解法一设直线的截距式时注意了截距为x y 1的形式，解法二中用到了过两直线 a a0的情形。故而没有直接设成AixBiy Ci0 与 A2xB2 y C2=0的交点的直线系方程：A1x B1y C1(AxB2y C2) 0o解法所求直线经过直线3x 2y 6 0和直线2x 5y 7 0的交点,例5已知两条直线11: ax by 4 0, l2: (a 1)x y b 0,求分别满足下 列条件的a、b的值。(1)直线l1过点(3, 1),并且直线11与直线12垂直；(2)直线11与直线12

13、平行，并且坐标原点到 11、12的距离相等。分析：考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法。解：(1)ljl2, ；a(a 1) ( b) - 1 02a a b 0又点(3, 1)在l1上， . 3a b 4 0由、解得 a=2, b=2o(2) .一l/ l2 且 l2 的斜率为 1 a。，l1的斜率也存在，aa1 1 a, b b1 a故l1和l2的方程可分别表示为4(a 1) li： (a 1)x y) 0,a， aa Cl2： (a 1)x y 0。1 a2 .原点到li和l2的距离相等,a 1 一 a ,一 4|1 |1, a 2或aa 1 aa 22因止匕2'或a 3&#

14、39;b 2,小结：在(2)中由于|1/|2, 12有斜率，从而得出|1有斜率，即bW0。例6已知函数f(x) <x2 2x 2 辰4x 8,求f(x)的最小值，并求取得最小值时x的值。解. f(x) 辰2x2 尿4x 822-2-2.(x 1)(0 1) (x 2)(0 2)它表示点P (x, 0)与点A (1 , 1)的距离加上点 P (x, 0)与点B (2, 2)的距离之和， 即在x轴上求一点P (x, 0)与点A (1,1)、B (2, 2)的距离之和的最小值。由下图可知，转化为求两点A' (1, 1)和B (2, 2)间的距离，其距离为函数f(x)的最小值。8(2.2

15、)A1(l.-l). f (x)的最小值为 J(1 2)2 (1 2)2 ，而再由直线方程的两点式得A'B方程为3x y 4 0。令y 0得x 4。当x 4时，f(x)的最小值为710。33小结：数形结合是解析几何最根本的思想，因此本题联系图形求解，使解法直观、简捷而 且准确，易于入手。例7.用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 证明：建立如图所示的坐标系，A (a, 0), B (0, b), C (a, 0), (a>0, b>0),则直线AB的方程为bx ay ab 0,直线BC的方程为bx ay ab 0设底边AC上任意一点为则P至

16、ijAB的距离|PE|P至IBC的距离为|PF|P (x, 0) ( aw xw a),|bxab|b(ax).a2b2a2b2|bxab|b(ax).a2b2.a2b2A至1 BC的距离hba,a2ab|b2b2, |PE| |PF|b(a x)2.2. a bb(a x)-ab22ab , ha2 b2，原命题得证。例8.等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x-y = 0, 一条直角边所在直线l经过点(4, 2),且此三角形的面积为10,求此直角三角形的直角顶点的坐标。解：设直角顶点为C, C到直线y=3x的距离为d,1则一 d 2d 10, 2dVio,设l的斜率为k,贝1 - tan4

17、5 1 k 1 3k21 - 1：l的万程为y 2 (x 4),即x 2y 8 02设l'是与直线y 3x平行且距离为 J10的直线，则I'与l的交点就是C点，设I'的方程是3x y m 0,则 _|mL，而，m ±10, ,10.l'的方程是3x y± 10 0由方程组x 2y 8 0及x 2y 8 0得c点坐标是(”， 3x y 10 0 3x y 10052834、)55例 9 已知直线 l: (2 m)x (1 2m)y 4 3m 0, .(1)求证：不论 m为何实数，直线l恒过一定点 M ;(2)过定点M作一条直线11,使11夹在两

18、坐标轴之间的线段被 M点平分，求(3)若直线12过点M ,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小，”)或 51i的方程；求l 2的方程。解：化原直线方程为2x y 4 m(x 2y 3) 0,2xy40.由y40定点M的坐标为(1,x2y30(2)设过点M的直线方程为x J 1, a b它与x轴、y轴分别交于 A (a, 0), B (0, b)。M为AB中点，由中点坐标公式得a= - 2, b=- 4,;所求直线方程为2x y 4 0(3)设所求直线%的方程为y 2 k(x 1)(k 0),11 21S 2冏.向五11小21 2(12k)(2k)12( k)fk)当且仅当k = 2时

19、，围成的三角形面积最小,所求的直线方程为y 22(x 1),即2x y 4 0【模拟试题】1.已知直线l经过点P (5, 10),且原点到它的距离为5,则直线l的方程为它在x轴，y轴上的截距分别为a, b,则易得:2.0，2 ),则点 P ( 1 ,1)到直线 X . cos y sin 2的最大距离是，-Z 一 1 Ixsin ycos1的距离等于一，且 0,3 .已知点P (1, COS )到直线42 ,则4 .如图，已知正方形ABCD的中心为E(1, 0),一边AB所在的直线方程为 x 3y 5 0求其他三边所在直线的方程。5 .求平行线2x 7y 8 0和2x 7y 6 0的距离。.2

20、6 .求过点A (1, 2)且与原点的距离为2的直线方程。7 .求过点P (1, 2)且被两平行直线l1： 4x 3y 1 0与l2： 4x 3y 6 0截得的线段长为2的直线方程。8 .求过点P (0, 2)且与点A (1, 1), B (3, 1)等距离的直线l方程。9 .原点关于直线8x 6y 25的对称点坐标是()3) (2525)A. ' 2B. 8 ' 6C.(3，4) D. (4, 3)(1991年全国高考题)【试题答案】1 3x 4y 25 0或 x 5提示：(1)当直线l的斜率存在时，可设l的方程为y kx bo根据题意，得10 5k|b|b,5,解得3一,4

21、254.所求的直线l的方程为3x 4y 25 0(2)当直线l的斜率不存在时，直线的倾斜角为2 ,即直线l与x轴垂直。根据题意，得所求直线l的方程为x2. 2我提示：点P (1, 1)到直线x , cos |cos sin 2| ,.d 22一 |sincos.cos sin0, 2 ),:当 sin(-)1,即3.提不':21|sincos1| 一，4.i1sin2。4.解：可设CD所在直线方程为：则 |m 52. 110 勺. 12 3212 325。y , sin 20的距离为21 1 2 阿 7) 21一时，d | 我 2| 2 拒4最大。2.0, 曰 sin sin-0x 3y m 0, m 7或 17。 点E在CD上方，m=17。经检验不合题意，舍去。 m=7 , CD所在直线方程为x 3y 7 0。 . AB ±BC, 可设BC所在直线方程为3x y n 0,| 3 0 n| |1 0 5|则 Jl2 323 2 32 ,n=9 或一3。经检验，BC所在直线方程为3x y 90，AD所在直线方程为3x y 3 0。综上所述，其他三边所在直线方程为x3y70, 3xy9 0, 3xy305 .分析：在直线上任取