中山大学信息光学习题课后答案__习题234章作业

1、习题 22.1 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。0COf (x) - 7 rect(x_2n)(2)g(x) - 、 tri(x_2n)n：n wj2.2 证明下列傅里叶变换关系式：(1)Frect( x)rect( y) = sinc( )sinc( ); (2)F_；(x)上(y)二sinc2( )sinc2(); y1(3)F1=W4)；(4)Fsgn(x)sgn(y)Fsgn(x)sgn(y) = = = =|.二;云人i i n ny y(5)Fn、(sinnx); (6)F :eJ(x y)/a1。2.3求x和xf (2 x)的傅里叶变换。2.4求下列函数的傅里叶逆变换

2、，画出函数及其逆变换式的图形。H( )= tri( 1) t r i( G( )= r e ct ( / 3) rec2.5 证明下列傅里叶变换定理：(1) 在所在f(x, y)连续的点上FF f (x,y)二Ff (x,y)二f (-x,-y);(2)Ff(x,y)h(x,y) =Ff(x,y)* F(g(x, y)。2.6 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：(1) 若fr(r)二、(r -r。)，则Bfr(r) =2nJ(2n。)；(2) 若ir 1时f,r) =1，而在其他地方为零，贝UB fr(r)二J2n)_aj1(2启：)；(3) 若B fr(r) =F( )，则Bfr(r)g 二

3、;ala丿 BeBe - -n2n2 二e e川2.7 设g(r,C在极坐标中可分离变量。证明若f(rj)二fr(r)ei，则：Ff(r,R =(-i)meimHm fr(r)其中Hm为m阶汉克尔变换：Hm fr(r) =2 rfr(r)Jm(2n)dr。而()空间频率中的极坐 标。(提示：e eiasinx八kk(a)e(a)eikx)word 可编辑.word 可编辑.(1)sinc(x)*sinc( x)(2)Fsinc( x)sinc(2x)用宽度为a的狭缝，对平面上强度分布f (x) = 2 cos(2n0 x)扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。计算下面函数的相关。应用

4、傅里叶定理求下面积分。求函数f (x)二rect(x)和f (x)二tri( x)的一阶和二阶导数。试求下图所示函数的一维自相关。试计算函数f (x) = rect( x -3)的一阶矩。证明实函数f (x, y)的自相关是实的偶函数，即：Rff(x, y)二Rff(-x,-y)。求下列广义函数的傅里叶变换。(1)step(x)(2)sgn(x)(3)sin(2n0 x)求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。(1)H (x)二tri( x 1)-tri( x T)(2)G(x)二rect(x/3)-rect(x)表达式计算下列各式的一维卷积。(1)rect宁5(2x -3)i

5、x 十3 (2)rect -1 2丿xrect*comb( x)(4)sin1I 2丿12丿试用卷积定理计算下列各式。*、(x-4)*、(x-1)rect( x)2.82.92.102.112.122.132.142.152.162.172.182.192.20利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为a,光栅常数为d d，缝数为N N。(1)rect口 rect口I 2丿 tritri 2x-2x-1 1tritri 2x-2x-1 1O02(1)e cos(2nax)dx旳2(2)sinc (x)sin(nx)dx1112355word 可编辑.3.5U Uo(x,(x, y

6、)y)定义:-xyZ Z Z Z |Jj|JjU U0()sinc(n-2Bsinc(n-2BX X)si)si门。(口一2 2呼)4 4冷口冠n nm mx_x_- ,y-,y-2BX2BY1 1f f(0,0)(0,0). .： ：QOf f f f f f (x,(x, y)dxdyy)dxdy, 也=Q0定义了一个周期函数，它在x方向上的周期为X X，它在y y方向上的周期为Y Y。证明p p的傅里叶变换可以写为:其中G G是g g的傅里叶变换。习题33.1 设在一线性系统上加一个正弦输入：g(x,y)二cos2nx y)，在什么充分条件下，输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数

7、？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。3.2 证明零阶贝塞尔函数2J(2nr)是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本征值是什么？3.3 傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试问：(a) 这个系统是线性的吗？(b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？3.4 某一成像系统的输入是复数值的物场分布U(x,y),其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场分布Ui(x,y)。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间DBx,|乞By之外恒等于零。证明

8、，存在一个由点源的方形阵列所构成的它与真实物体U。产生完全一样的像Ui，并且等产供效物体的场分布可写成:p(x,p(x, y)y)二g(x,g(x,y)*y)*comcom讦J n叮丿I I X X丫丿八，G G 3 3n -_： ：m -_： ：X丫(b)(x g(x, y) = rect 12 rectJX丿2时，画出函数I丫丿p(x,y)的图形，并求出对应的傅里叶变换“等效”物体Uo(x,y),分别为原函数f(x,y)及其频谱函数F( 1 )的“等效面积”和“等效带宽”，试证明:word 可编辑.匚xyL *1上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面

9、积计算定理。3.6 已知线性不变系统的输入为：f (x) =comb(x)。系统的传递函数为rect( /b)。当b b=1和b =3 3时,求系统的输出g(x)，并画出函数及其频谱。3.7 对一个线性不变系统，脉冲响应为：h(x) =7s in c(7 x)用频率域方法对下列的每一个输入fi(x)，求其输出gi(x)(必要时，可取合理近似)：(1)f1(x) =cos4n(2)f2(x)二cos(4 n)rect( x/75)f3(x)二1 cos(8 n)rect( x/75)g(x)comb(x/3)rect(x/100) *rect( x)_3若系统脉冲响应：h( x)二rect( x

10、-1)。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的图形。f4(x)二comb(x)*rect(2 x)3.8给定正实常数0和实常数a和b b，求证:(1)若|b|，则sinc(x/b)*cos(22-0|b |n0 x)二cos(2n0 x)3.9若|b|，则 sinc(x/b)*cos(22-0|b |n0 x)二0若|b|：|a|，则sinc(x/b)*sinc( x/a) =|b|sinc(x/a)(4)若|b|：回，则sinc(x/b)*sinc2若限带函数f (x)的傅里叶变换在带宽2(x/a) T b |sinc2(x/a)w之外恒为零,(1)如果|a卜:丄，证明:w丄

11、si n(x( a/ ) *x(f)x () |a|如果|a |丄，上面的等式还成立吗?w3.10 给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波:分别为原函数f(x,y)及其频谱函数F( 1 )的“等效面积”和“等效带宽”，试证明:word 可编辑.3.11 给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波word 可编辑.g(x)二1 comb( x / 2)rect( x / 50) * tri( x)对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：(1)H()二rect( /2)(2)H ()二rect( /4) - rect( / 2)3.12 若对函数：2h(x)二asinc (ax)抽样，求允

12、许的最大抽样间隔。3.13 证明在频率平面上一个半径为B B的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定理：g(x,y)=g(x,y)=丄匸n2 2Ji2般(/曲凡云/曲)2 n nssss J2BJ2B 2B2B丿4 42 2 nBnB讥x_n/2B)x_n/2B)2 2+(y_m/2B)+(y_m/2B)2j j习题44.14.1 尺寸为 a a b b 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上 透射光场的角谱。4.24.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在 孔径轴上的强度分布：(1)(1) t(xt(xg,y,yo

13、) ) = =circ(circ(T Tx xFFy yi) )tgy。1,兰110,其匕4.34.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：t(x0) = a bcos(2二x0/d)式中，d d 为光栅的周期，a a b b 0 0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下述值时，确定 单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。4.44.4 参看下图，用向 P P 点会聚的单色球面波照明孔径1oP P 点位于孔径后面距离为z的观察平面上，坐标为(0, b)。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以 P P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。(1)(1)2d2(3)

14、(3)z二zrd242word 可编辑.4.54.5 方向余弦为cos,cos,振幅为 A A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a的圆孔。观察平面 位于夫琅禾费区，也孔径相距为z。求衍射图样的强度分布。4.64.6 环形孔径的外径为 2a2a，内径为 2 2；a a(0： ； ：1)。其透射率可以表示为：1,1, wawa 兰 r r0兰 a a血)=o,o,其他用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强度分布。4.74.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a，中心距离为 d d (d(d a)。采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径

15、为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿 y y 方向截面图。4.84.8 参看下图，边长为 2a2a 的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在(,)点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z的观察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。画出x、y0时，孔径频谱在x方向上的截面图。4.94.9 下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a，长度为 b b，中心相距 d d。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。假定 b b = =4a4a 及 d d -1.5a-1.5a，画出沿x和 y y 方向上强度分布的截面图

16、。4.104.10 下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即：t(Xo) =step(x)采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布。画出沿X方向的振幅分布曲线。4.114.11 下图所示为宽度为a的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差n。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。画出沿X方向的截面图。4.124.12 线光栅的缝宽为a，光栅常数为 d d，光栅整体孔径是边长 L L 的正方形。试对下述条件， 分别确定a和 d d 之间的关系：(1)(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。(2)(2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。4.134.13 衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为：word 可编辑.word 可编辑.t()o,y)= co m bo( a/ )coynb4b / ) comba a 0. 10“)bcomb( / )采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强 度分布。画出沿x方向的截面图。4.144.14 如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为n，齿宽为a，齿形角为：，光栅的整体孔径为边长为 L L 的正方形。采用单位振幅