空间点线面位置关系与平行判定与性质

1、空间点线面位置关系及平行判定及性质【知识点梳理】1 .平面的基本性质公理 1如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内A, B IlA, B2 .平面的基本性质公理 2 (确定平面的依据) 经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3 .平面的基本性质公理2的推论(1 )经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(2) 经过两条相交直线，有且只有一个平面(3) 经过两条平行直线，有且只有一个平面4 .平面的基本性质公理3那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条如果两个不重合的平面有一个公共点, 直线D 1.AIAA I5. 异面直线的定义与判定(1)

2、定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行(2) 判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线6. 直线与直线平行(1)平行四边形 ABCD (矩形，菱形，正方形)对边平行且相等，AB / / CD , BC / / AD(2 )三角形的中位线E, F分别是AB, AC的中点中位线平行且等于底边的一半，EF / /BC(3) 线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条 直线和交线平行I / /, I ,m I / / m(4) 面面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行/

3、/,a ,ba / /bCrn aI c/ i M(5) 线面垂直的性质定理-fc如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行a , ba / / b7 .直线与平面平行(1) 线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a ， b ， a / /b a / /(2) 面面平行的性质定理如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面/ /， aa / /8.平面与平面平行(1)面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行a/ /(2 )垂直于同一直线的两个平面互相平行【典型例题】给

4、定下列四个命题题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线 例I m, I nm / /n耳axI , a, a I其中，为真命题的是A.和B.和C.和D.和变式i.给出下列关于互不相同的直线l , m, n和平面的三个命题:若I , m为异面直线，若/ / , I，则 I / / m ；若I ,其中真命题的个数为A. 3m,n, I/ / ，则m / /nD. 0题型一：以中位线为突破口的平行证明问题例2 .如图，在四面体PABC中，PC AB, PA BCD, E,占八、F G分别是棱AP,AC , BC, PB的中点，求证：DE 平面BCPD,E,F,GPC 丄 AB, PA 亠BC变式

5、1.如图，在四面体PABC中，AP, AC , BC, PB的中点，求证：四边形 EEFG为平行四边形变式2.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，BAC 90? AB AC AA11，延长ACiiP至点 ，使C1P AC 11，连接 AP交棱CC1于D .求证： PB1 / /平面BDA1 ；题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题例3 .如图，正方形ABCD和四边形 ACEF所在的平面互相垂直，EF / /AC , AB 2 ,CE EF 1 ，求证： AF / / 平面 BDE变式1 在三棱柱 ABC A1 BlCl中，直线 AA1与底面ABC所成的角是直角，直线AB与B1C1 所

6、成的角为 45 , BAC 90，且 AB AAi , D,E,F 分别为 BiA, CCi, BC 的中点.求证：DE/平面 ABC ；题型四：三种平行之间的相互关系与转化例4 .如图所示，圆柱的高为2, PA是圆柱的母线，ABCD为矩形， AB 2, BC 4 ,E, F ,G分别是线段 PA, PD, CD的中点，求证： PB / /面EFG ；变式1.如图，在长方体ABCD A1BC11 D1中，E, P分别是BC, A1D1的中点，M , N分别是 AE, D1C 的中点，AB 2a , AD AA1 a，求证:MN / / 面 ADD1A1题型五：探究性问题ABCD是直角梯形，BA

7、D 90 ,P （异于A, B两点），使得CP / /平面例5 .如图所示，直棱柱ABCD A B1C1D 1中，底面AB 2, AD CD 1，在线段AB上是否存在点A1 B1C1 D1 ?证明你的结论如图，直三棱柱ABB1 DCC1 中，ABB190, AB 4, BC动点 P , CC1上有一动点 Q，讨论：无论 P,Q在何处，都有PQ/平面ABB1，并证明你的结论【方法与技巧总结】 1熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理 2熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解， 在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆

8、 3熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形 性质定理的应用4应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面 面平行，重视线线平行证明的重要性5掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化【巩固练习】1下面命题中正确的是 () 若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； 若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行.A . B . C. D.2 .平面a /平面3

9、 ， a? a ， b? 3 ，则直线a， b的位置关系是().A 平行 B 相交 C 异面 D 平行或异面3. 在空间中，下列命题正确的是().A .若 a / a，b / a，贝U b / a B.若 a / a， b / a，a? 3，b? 3，贝U3 / a C .若 a / 3， b / a ，贝U b / 3 D .若 a / 3， a? a ，贝U a / 34. 已知 m、 n 为两条不同的直线，a、3 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是().A. m /n， m 丄 a ? n 丄 a B . a "3， m? a，n?3 ? m /nC. m 丄 a， m 丄

10、 n? n /aD. m?a， n?a， m / 3， n /3 ? a / 35. 在正方体 ABCDAiBiCiDi中，E是DDi的中点，贝U BDi与平面ACE的位置关 系为 .ar / < 解答题：1、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M 为PD的中点求证：PB /平面ACM.j|B2、如图，若PA丄平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中 点，求证：AF /平面PCE.f vjiffy r> c3、如图，在正方体 ABCDAiBiCiDi中，M、N、P分别为所在边的中点.求证：平面MNP /平面A1C1B;/llTH箱4、如图，在三棱柱 ABCAiBiCi 中，E , F, G , H 分别是 AB , AC , A1B1, A1C1的中点，求证：(1)B , C, H , G四点共面；(2)平面EFAi /平面BCHG.E5、如图所示，在三棱柱 ABCAiBiCi中，AiA丄平面ABC，若D是棱CCi的中点， 问在棱AB上是否存在一点