(word完整版)数列题型及解题方法归纳总结,推荐文档

1、文德教育数列的概念函数角度理解分期付款 其他知识框架数列的分类数列的通项公式数列的递推关系等差数列的定义anan 1d(n2)等差数列的通项公式ana1 (ni 1)d等差数列等差数列的求和公式Snn / 2(a1an)na1n(n 1)d2等差数列的性质anamapaq(mn pq)两个基本数列等比数列的定义与an 1q(n2)等比数列的通项公式anaqn 1数列等比数列等比数列的求和公式Snaanq1 qa1(11n q )/(qq1)na(q 1)数列公式法分组求和错位相减求和裂项求和等比数列的性质anamapaq (m np q)求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明数列的应用求和公式及

2、性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可 能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+i=a+d及an+i=qan (d, q为常数)例1、已知an满足an+1=an+2,而且a1。求an。例1、解:an+1-an=2为常数，an是首项为1,公差为2的等差数列1. an=1+2 (n-1 ) 即 an=2n-11一.例2、已知an满足an 1 an ,而a1 2 ,求an=?解:皿二:是常数a 2是以2为首项，公比为

3、:的等比数列(2)递推式为 an+1=an+f (n)11例 3、已知an中 a1 ，an 1 an 2，求 an.12 n 1 n 4n2 1一 ，一一1111解：由已知可知an 1 an -()(2n 1)(2n 1)2 2n 1 2n 1掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、令 n=1, 2, , (n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加，即(a2-a 1) + (a3-a2)+ + ( an-a n-1 )说明 只要和fan+i=an+f (n)以 n=1, 2, (3)递推式为 an+i=pa+q (p,1 *1 、 4n 3an a1-(1-一-)2 2n

4、1 4n 2(1) +f (2) +f (n-1 )是可求的，就可以由，(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求an。q为常数)例 4、an中，ai 1 ,对于 n>1 (nC N)有 an3an i 2,求 an .角军法' "： 由已知递推式得 an+1=3an+2, an=3an-1 +2o 两'式才目调an+1-a n=3 (an-an-1)因此数列an+1-a n是公比为3的等比数列，其首项为 a2-a 1= (3X 1+2) -1=4 - an+1-an=4 " 3an+1=3an+23an+2-a n=4 , 3 即 a n=2 , 3

5、-1解法二：上法得a n+1-a n是公比为3的等比数列，于是有：a2-a产4, a3-a 2=4 3a4-a3=4 - 3 ,，an-an-1 =4 - 3n-,把 n-1 个 -(倡3+3明+郎”)二彳?1 _三_Lan=2 3n-1-11 一 ？(4)递推式为an+1=p an+q n (p, q为常数)1例5】己知中利(b叫 求%口0.5z略解 在* = 9口十(2)的前边乘以2口导22"】+1,令 = 2工2则%+1=(% + 1,于是可得-2-. _ 2 nbn 1 bn -(bn bn 1)由上题的解法，得：bn 3 2(-)，33bn2n3(2)n说明对于递推式建+i

6、 = p% + 可两边除以屋已得需=Q艮 W + 工，引辅助数列上人=屋),得%“二£工+工后用 q q qQnq q(5)递推式为 an 2 pan 1 qan思路：设 an 2 pan 1 qan,可以变形为： an 2 an 1(an 1an),j CL + P = p就是4+=(a + b )+工-Q F %,则可从解得Q P，Q p = -q于是a n+1- “ an是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。_11例6己知数列%)中，%=1. % =2, %产万%粗+可%33求an 0ea + B =-p =p37=421多=+三1两边减去得17an+L - an）是公比为

7、首项为町 1 =1的等比数列口二（）"+ c-（尸二/=1 +上-（-夕叩（6）递推式为&与an的关系式数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数 列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果 an等差，bn等比，那么 anbn此类型可利用乙对(口 = 1)力-$2 (n>2)例丫设1前11项的和 =4 - % -° 求与%的关系;(2)试用n表不' anoC1)叫做差比数列）即把每一项都乘以 bn的公比q ,向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负

8、抵消，只余有限几 项，可求和。SnSn(anS"4 -an 1) (27T工2n 1 )an12an12n上式两边同乘以1an an 12 n 12n+1得2n+1an+i=2nan+2则2 nan是公差为2的等差数列。2nan= 2+ ( n-1 ) 2=2n1an an 1可裂项为等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列an的首项ai0 ,公差d 0 ,则前n项和&有最大值。(i )若已知通项an,则Sn最大anan 100q2p的非零自然数时Sn最2、若等差数列an的首项ai0 ,公差d0 ,则前n项和Sn有最小值(i)若已知通项an,则Sn最小an0an 10(ii

9、)若已知Snpn2 qn ,则当n取最靠近大;(ii)若已知Snpn2 qn,则当n取最靠近9 的非零自然数时Sn最2p小；数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn(即aia2Lanf(n)求an,用作差法：aSi,(n 1)anSn Sn 1,(n 2)f(1),(n 1)已知 aga2gL gan f (n)求 an ,用作商法：an f (n) ( n 2)。f(n 1),l )已知条件中既有 Sn还有an ,有时先求Sn,再求Hn ；有时也可直接求Hn。 若 an 1 an f (n) 求an用 累 加 法 ：an (an an 1) (an 1 an 2)

10、 L(a2 a1)a(n 2)。已知亘f(n)求an,用累乘法：an 三亘L 三& (n 2)。 anan 1 an 2a1已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地，(1)形如an kan 1 b、an kan 1 bn (k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an ；形如an kan 1 kn的递推数列都可以除以 kn得到一个等差数列后，再求an。a(2)形如an -n的递推数列都可以用倒数法求通项。kan 1 bk(3)形如an 1 an的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。a(8)当遇到an1 an1

11、d或一口 q时，分奇数项偶数项讨论，结果可an 1能是分段形式。数列求和的常用方法：(1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法）（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n和公式的推导方 法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项

12、差”的形式，且相邻项分裂n 2时，-a1 a2 .22112 得：ja”21-,Fan12n1 52后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:.an2n1111(1 ，n(n 1) n n 1 n(n k) k n n k1 _A_k k 11111122()k2 k2 12 k 1 k 111111-;(k 1)k k2 (k 1)k k 1 kan14 (n 1)n 12 (n 2)n(n 1)(n 2) in(n 1)(n 1)(n 2)n(n 1)!11n! (n 1)!练习15,、数列 an 满足 Sn Sn 1 - an 1, a1 4,求 an3 2(Y ,n)1Jn2

13、( .n . n 1)（注意到an 1Sn 1 Sn代入得：14Sn、解题方法:又514,二 Sn是等比数列，Sn4n求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求ann 2时，an Sn Sn 13 4n 14、叠乘法例如：数列 an中，a1 3,包一,求an an n 1(n 1 时，a1S1，n 2时，anSnSn 1)3、求差(商)法111如：an 满足一a1 -a2 一an 2n 512222n1.解：n 1 时，一a12 1 5, a1142解：运色旦a1 a2an 1 22 n1.an 1 , 一3 n a1 n又213, an n5、等差型递推公式dn 1a1 cc 1a3a

14、2f两边相加，得:.ana1d cn 1c 1由anan 1 f（n）, a1a°,求an,用迭加法n 2时，a2ai f(2)数列 an 满足 a1 9, 3an 1 an 4,求 ann 1/_ 4.、(an 81)37、倒数法例如：a1 1, an 1 二a一,求 an an 2由已知得：包二 -an 12 a n2 a n111 an 1 a n 2an an 1 f(n)an aif(2) f(3)f(n)ana。 f(2) f(3)f(n)练习1数列 an , ai 1, an3n 1 an i n 2 ,求an1 c(an 31 )26、等比型递推公式an can 1

15、d c、d为常数,c 0, c 1, d 0可转化为等比数列，设 an x c an 1 xan can 11)x d, x1an为等差数列,1,公差为an 是首项为a1 c 1,c为公比的等比数列111-1 n 1一一n 1an22n项和公式求和，另外记住以可把和2.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 下公式对求和来说是有益的。1 + 2 + 3+ +口 =221 + 3 + 5+ (2n-1)=n：.5 . 3 . a 口 (口 + 1)2口+1)r + 2+3 +力=【例 8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17

16、+19),前 n 项的和。1解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n=1n(n 1)2个奇数，最后一个奇数为：1+ 1 n(n+1)-1 x 2=n2+n-12因此所求数列的前 n项的和为1 z 、S + i)J(2)、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1(n2-1) + 2 (n2-2 2) +3 - (n2-3 2) + +n(n2-n2) 解S=n 2 (1+2+3+n) - (13+23+33+M)=n2 - ；n(口十 1) 口，(n + 12)n3 (n + 1) Cn - 0(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末

17、两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒 着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn 3C1 6C： L 3nCnn例 10、解 Sn 0?cO 3Cn 6C： L 3nCn又5n=311G 十 3 Cn-1) C -十+ OC：相加，且运用= 可得2sli =(C： + C： + + C：) = 3n 3Sn=3n 2n-1(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的 式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例 11、 求数列 1, 3x, 5x2, ,(2n-1)x n-1 前 n 项的和.解 设 $=1+3+5x2+(2n-1)

18、x n-1 .当了=时，= I* * * n = n(2)X=0 时，Sn=1 .(3)当xw0且xwl时，在式两边同乘以x得xS n=x+3x2+5x3+(2n-1)x n,%-，得(1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+ +2xn-1 -(2n-1)x八一入12式1-筮2).由公郎口工=-1 +- D才1 -X1 -X1 + ,(2 ,+ 1)胪 + (2'-1)1(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：1 1 1 1 - n(n + k) k ri n + k_ J 1n(n + l)(n + 2)2 n nH n+22n + 11

19、12n - 1 2口+ 311 "14l 3 2ii+ 12口+ 3n(4n + 5)3(2口 + D(2n + 3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题 时的应用。二、常用数学思想方法1.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列an的首项a1>0,前n项的和为 氢 若S=8 (l wk)问n为何值时Sn最大？解依题意，设F (n)二1二%" d例12、求和例31111?5 3?7 5?9eo 1 I1- 5 3 71(2n 1)(2n 3)1 1+十-十"9(2n-l)(2n +3)1 1,1 1 、C2n - l)(2n+ 3) FZIi _ 2n十)此函数以n为自变量的二次拧翁 a1>0 S产Sk (l wk) ,.dvO故此二 次函数的图像开口向下' i