天津市九校2019届高三联考数学(理)试题-10963c40cb654b37af4bcece105a1dad

1、绝密启用前天津市九校2019届高三联考数学（理）试题题号一一三总分得分试卷副标题考试范围：xxx;考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1 .答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 .请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分1.已知集合、均为全集的子集，且()A.B.C.、单选题，则D.2.（2018年天津卷文）设变量x, y满足约束条件则目标函数的最大值为A . 6B. 19C. 21D. 453.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）B.C.D.试卷第8页，总5页4.设平面 与平面相交于直线 ，直线在平面内，直线 在平面 内，且”的（）A.

2、充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设函数f （x）= sin 2x + l+cos 2x + I, 4则函数y= f （x）是（）A.奇函数，其图象关于点（冗,0 ）对称B.奇函数，其图象关于直线X =对称2C.偶函数，其图象关于点（五,0 ）对称D.偶函数，其图象关于直线X =对称23 X6.已知函数f (x) =cosx的定义域是-2,i =1,2,3 时，若x +X2>0,X2+X3>0 ,Xi+X3>0 ,则有 f(X1)+ f(X2广 f”3)的值()B.恒小于零C.恒大于零D.可能小于零，也可能大于零7.已知双曲线一的左顶点与

3、抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为,则双曲线的焦距为（）B.C.D.8.设 f (X)；2_X 1(x -0)一, g(x )= kx1(x= R),右函数 y = f (xg(x ) 4xcos 二 x -1(x : 0)在xW -2,3内有4个零点，则实数k的取值范围是（）A. (2石4)B. (2百4C.D.题答内线订装在要不请派 rkr 八 夕 一第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分、填空题9.设复数z满足 色 =i其中i为虚数单位，则复数 z的虚部是.1 - za 810 .若x+胃I的展开式中x4的系数为56,则实数a=.3

4、x11 .在极坐标系中，直线 9 =- PWR）被圆P = 2asin日（a >0）所截弦长为2J3,则3a =.12 .已知三棱锥 A BCD 中，AB，面 BCD ,/BDC = 90。，AB = BD = 2 , CD = 1,则三棱锥的外接球的体积为 .2a+b 一)13 .已知 a >0,b >0,c >1 ,且 a + b=1,则3 c +I ab J的最小值为17714 .在直角三角形 ABC 中，/ABC = 90"，NBAC=60> AC =4,若 AO =AC ,4动点D满足CD =1 ,则OA十OB十OD的最小值是 .评卷人 得分三

5、、解答题15 .已知4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=7, 2A=60：且-13、. 3sin B sin C =14（I）求bc的值;(II )若 b <c ,求 cos(2B + A)的值.16 .某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共 8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料， 公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为 2800元；否则月工资定为 2100元.令X 表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料

6、没有鉴别能力.（1）求X的分布列;题答内线订装在要不请派(2)求此员工月工资的期望 17.在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形，平面 ADE_L平面ABCD ,EF / AB ,DE =EF =1,DC =2,NEAD =30° .(1)求证：CD _L平面ADE ;(2)在线段BD上是否存在点 G,使得平面EAD与平面FAG所成的锐二面角的大小为30。，若存在，求出 DG的值；若不存在，说明理由.DB118.已知数列an是公比为一的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，其前 n 2项和为Sn ；数列bn 是等差数列，b =8 ,其前n项和Tn满足Tn =门九

7、R由(九为常数，且 -1).(1)求数列Qn的通项公式及 九的值；一 1 一一 ，.*1(2)仅Cn =乙.求证：当n匚N时，Cn E Sn. k W Tk419.已知椭圆 5+4=1 (a Ab >0)的离心率为 ,椭圆的左焦点为 F ,椭圆上 a b32任意点到F的最远距离是 J6 + 2,过直线x = _a-与x轴的交点M任作一条斜率不 c为零的直线l与椭圆交于不同的两点A、B ,点A关于x轴的对称点为C.(1)求椭圆的方程；(2)求证：C、F、B三点共线；求 MBC面积S的最大值.220.已知函数 f (x )= (x-1 )lnx (x-a ) (a R ).(1)若f (x庭

8、(0,收)上单调递减，求a的取值范围;(2)若f (x应x=1处取得极值，判断当xw(0,2】时，存在几条切线与直线 y = -2x平行，请说明理由;5右f(x出两个极值点 X,X2,求证：x1+x2 A.4线O:号线O订 O装考:级 班:名 姓核订 O装O 学O 外O内O本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考参考答案1 . A【解析】，因为，所以中必有元素，【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力对于这两个条件，可以判断集合中的元素有三种情形， 而指出 中必有元素，简化了运算，使结果判断更容易.2 . C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的

9、几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.答案第24页，总17页详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，A处取得最大值，联立直线方程：标函数的最大值为：I V Z 1 /点睛：求线性目标函数 z= ax+by（abw。）勺最值, 最大时，z值最大,在y轴截距最小时，z值最/J 距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z （ 3. C【解析】试题分析：模拟算法：开始成结合目标函数的几何意义可知目标函数在点,可得点A的坐标为：，据此可知目.本题选择C选项.当b>0时，直线过可行域且在 y轴上截距 、；当b<0时，直线过可行域且在 y轴上截 直取人.乂；是奇数，是偶数，是奇数

10、，是偶数，C.考点：程序框图4. B【解析】成立；成立；成立；不成立；输出，结束算法，故选试题分析：因为直线 在平面 内，直线在平面 内，且 ，若,根据面面垂直的性质定理，一定有 ；反之，当 ，若 时，不一定成立，所以是“"的必要不充分条件，故选 B.考点：1、充分条件与必要条件； 2、面面垂直的判定与性质.5. D【解析】【分析】化简三角函数式可得 f (x ) = J2cos2x ,据此考查函数的奇偶性和函数的对称性即可由题意可得:/, I 冗f x = sin 12x 冗'cos I2x 4JJJTJ=sin 2xcoscos2xsin cos2xcos- sin2xs

11、in 44442 . c 2 c / c 2 . c=sin 2x cos2x cos2x - sin 2x2222=2 cos2x.故函数为偶函数，且当x = n时，f (n尸J2cos2n = J2 ,其图像不关于点(启0 )对称，且当x时，f '-KV2cos'2x-K-72 ,其图像关于直线 y =对称.22.22故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的周期性， 三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .6. C【解析】【分析】由题意可得函数 f(x)为奇函数，利用导函数的解析式可得：在 xe 00,- i时，函数为增函,2i时，

12、函数为增函数，结合函数的奇偶性和函数的单调性确定 _ _ ( n n 数，进而可得 x - 一 ,一2 2f(Xi )+ f(X2/f (x )的符号即可.【详解】一一X3I 五 氏：、， -4 I ' 一一一函数f(x)=的定义域.,-关于原点对称，且满足f(-x)=-f(x),故函数cosx. 2 2f (x )为奇函数,3x2 cosx x3 sin x又由 f '(x) =2>0 ,在 xu ! 0, |时恒成乂,cos x. 2故x 'o,- i时，函数为增函数，进而可得 ,2(n JI )x I , |时，函数为增函数, 2 2若为 +x2 >0

13、,x2 +x3 A 0,x1 + x3 A0 ,则 X A -x2, x2 > -x3, x3 > -x1,则 f (xi )> f ( x2 )= f (x2 ), f (x2 )> f (x3 )= f ( & ), f (& )> f (xi )= f (xi ),从而：f (x1)+f &)>0, f (x2 )+f (x3 )>0, f (x )+f (x3 )>0, 据此可得：2 f 区)+ f (x2 )+ f (x3 )>0 ,即f (xi )+ f (x2 )+ f (x )的值恒大于零.故选：C.

14、【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .7. B【解析】双曲线的左顶点为（一 a, 0）,抛物线的焦点为（0）,于是-+a= 4而抛物线的准线为l:x = -,由l与渐近线的交点为（2, 1）,可知- =2,于是a= 2,又双曲线的渐近线为 y=上x,点（2, 1）在渐近线上，得-故b=1于是c=+k三小 ,故焦距为2c=2 一考点：双曲线与抛物线的标准方程及其性质8. D2x - .x 0令y= f (x)g(x )=0,据此可得：k = x，据此可得函数 y = k与4cos二 x, x 二 02-x -,x 0

15、八 c iy = < x 在x w -2,3 内有4个交点，结合函数图像可得实数k的取值范围.4cos二 x, x : : 0很明显x=0不是函数的零点, 令函数 y = f(x)g(x) = 0,则 x#0,2x - ,x 0则k =4 x ,4cos二 x,x ：02x ,x 0x ,4cos- x, x ： 0则函数h（x）的图象与y=k在xw 2,3内有4个交点,函数h(x )的图象如下图所示:0 1 2 3 4 5由图可得: 故选：D.【点睛】本题主要考查由函数零点个数确定参数的方法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .9. 1【解析】【分析】T

16、i由题意可得：z=,据此结合复数的运算法则计算确定z的虚部即可.【详解】由题意可得：1 +z =i iz ,即(1十i)z =i -1,-1 i -1 i 1 -i .z = i ,1 i 1 i 1 -i则复数z的虚部是1.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轲复数，解题中要注意把 i的哥写成最简形式.10. 1【解析】【分析】84k 44由题意结合二项式通项公式可得：T _Rk Ck Y飞，令8- k = 4可得k =3 ,据此结Tk 1 a a C8 x3合

17、题意求解a的值即可.【详解】由题意结合二项式通项公式可得：人一 4.令 8-k =4可得 k =3, 3则展开式中x4的系数为：a3C；=a3M56,故a3M56 = 56,a = i.故答案为：1 .【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中 n和r的隐含条件, 即n, r均为非负整数，且 n才，如常数项指数为零、有理项指数为整数等 ）；第二步是根据 所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.11. 2【解析】【分析】由

18、题意结合所给方程可得直线与圆的交点为：（0,0），p3a，： I，结合题中所给的弦长确定a的值即可.【详解】很明显，直线与圆均经过极点，将8 =代入圆的方程可得：P = 2a sin'=J3a ,33据此可得直线与圆的交点为：（0,0 ）（扁;j,结合题中所给的弦长可得：,3a -0 =2,3,. a =2.【点睛】本题主要考查极坐标的几何意义及其应用，属于中等题 _ 912. n2【解析】【分析】三棱锥可补形为一个长宽高分别为2,1,2的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，据此求得外接球的半径，然后确定其体积即可 【详解】如图所示，三棱锥可补形为一个长宽高分别为2,1,2的

19、长方体,则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同, 设外接球半径为 R ,则：（2R）2 =22 +22 +12 ,则R2 =9,R=9 ,4243 427外接球的体积： V =:R3 =-： 一【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心， 正方体的棱长等于球的直径； 球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.13. 4+2J2【解析】【分析】由题意可得2a±b -3之2J2，结合c a 1和均值不等式可得'

20、2a + b-3 Lc + 的最小 ababc-1值，注意等号成立的条件.【详解】由 a0,bA0,且 a+b=1,可得：-2,2 ,2a b 2a b a b 2ab-3 = 3 = 1ababb a结合c >1可得:2a b.ab-3 c , 22c 三-22C - 1 £ 2>2i |22(c-i+2V4+2V2,2a _bb a当且仅当« a +b =1后2(c-1) =c -1【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是一正一一各项均为正；二定一一积或和为定值；三相等一一等号能否取得"，若忽略了某个条件，就会出现错误.1

21、4. 77-1【解析】【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算可得oA + oB +od = I： cos6,sin 8+3，据I 22 )此结合三角函数的性质确定OA+OB +OD1的最小值即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系,D （cos，2/3 +sin日）,一 一 -（3 百）由题意可得：A 2,0 ） B 0,0 ,C 0,2® ,0 ，、2 2据此可得：双=口, JT,晶/-2-更'i, oD.fcose-,3122 JI 22 JI 22则：0A OB OD = cos 二-,sin1 22二,8 一 3sin 1 - 5cos1."5=18 +2

22、>/7sin（e +中）,其中 tan* =飞,当 sin（e + 平）=T 时，0A + 0B+0D 取到最小值 78 -2V7 =41-1-【点睛】本题主要考查向量的模的计算，向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力.7115. (1)40； (2)-98【解析】【分析】(1)由正弦定理结合合分比的性质可得b+c=13,然后结合余弦定理求解bc的值即可.(2)由题意可得b = 5,c=8,利用余弦定理和两角和差正余弦公式可得cos(2B+A)的值.(1)由正弦定理结合合分比的性质有:一 ?sin A sin B sin Ca sin B sin C则 b , c

23、二sin Ar 13.37 14 -13叵 ，2由余弦定理有:2222a =b +c -2bccos A,即 a2= (b + c) -2bc-2bccosA,则：72 -132， C 1,一 r , 一 bc2bcM ，据此可得：bc = 40. 2(2) b +c =13,bc =40,b <c,二 b =5,c = 8 ,口 a2 c2 -b2 115.3，cos B = ,sin B =，2ac141446110 .3cos2B =,sin 2B =,196196cos(2B A) =cos2Bcos sin 2B sin 337198在处理三角形中的边角关系时,般全部化为角的关

24、系， 或全部化为边的关系. 题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.16. (1)012311636167070707070(2) 2280【解析】(1)选对A饮料的杯数分别为 X=0, X=1, X = 2, X=3, X=4,其概率分布分别为:P0 =c：c：C84A P1 喈=16一，P(2)=70C4C436C8 - 70 '3104,P(3)="Cr=70, P4尸""70°(2) E仁)=工区3500 + 地父 2800 +3

25、6 + ”+工k 2100 = 2280。 707070 70 7017. (1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】【分析】由面面垂直的性质定理证明线面垂直即可；(2)在平面DAE内，过D作AD的垂线DH ,以点D为坐标原点，DA, DC , DH所在直线分 别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用平面 FAG的法向量和平面 EAD的法向量求 二面角的余弦值即可确定线段 BD上是否存在点G.【详解】(1)平面 ADE，平面 ABCD,平面 ADEA平面 ABCD=AD, 正方形中CDXAD,CD,平面 ADE.(2)由(1)知平面 ABCD,平面AED.在平面 DAE内，过 D作AD的

26、垂线 DH ,则DH，平面 ABCD ,/以点D为坐标原点，DA, DC, DH所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,- t ,1/173) , t则 D(0,0,0 ),B(2,2,0 1C(0,2,0 ), ,F ,1 ，A(2,0,0),122 JDB =（2,2,0AF = f-3,i,3j,设 DG=，DB = 2 ,2 ,0 ,'.：= 0,1,则对=2 -2,2 ,0 .'I设平面fag的一个法向量nl=（x, y,z）,则畀,型,n1 _l髭，33 八x y z =0，即222 -2 x 2 y =0令 x = J3九可得：ni =（J3% J3（

27、九1 ）,2 -5九）,易知平面EAD的一个法向量n2 =(0,1,0),由已如得DGDBC 2 c , C1化简可得:9人2 -6X+1 =0; K=_ ,即3【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理，空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力11(I)an| ,九=2； (n)证明见解析.【解析】【分析】(I)由题意可得a1=1，据此可得4 的通项公式，进一步列方程组可得九的值和bn的通2项公式；1111n(n)结合(I)的结果可知 一=一一 I裂项求和，将原问题转化为证明 n+1, 2，然Tn 4 n n 1后分类讨论口=1和口1证明题中的结论即可.【详解】,

28、、口，、2,一 、 口.1、27，1)(I)由题息可得(1 a2 ) =a1 (1 +a3 )，即. 1 一 a1 J = a1. 1 + a1 ；22JI 4J1 斛得现=_,故数列的通项公式为an2T1 = b2T2 =2b3_ I 8 =8 d16 d = 2，8 2d 1|九=2 = bn = 8n.d =8(n)结合(I)的结果可知：Tn =n/u bn书n 8n 82= 4n ( n +1 11 11贝U =.-I,Tn4 n n 1C .11nT1T2二 1-C 1sDn, n411一4 n当n=1时,2n = n +1 ;当n>1时, HI - Cnn = 1 '

29、 n - HI , 1 n - 1.故题中的结论成立.本题主要考查数列通项公式的求解,裂项求和的方法，不等式的证明方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力22x y19. (I ) + 62= 1；(n)证明见解析；(出)，32(I)由题意得到关于a,b,c的方程组，求得a,b的值即可确定椭圆方程;(n)设直线l的方程为x=ty-3,联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理证明kBF kCF =0即可证得题中的结论.（出）由题意可得4MBC的面积S31tt2 3,结合均值不等式的结论确定面积的最大值即可解得:2.a =62,2/c =4a 3(I)由题意可得：a +c = V6+2 ,2,

30、2,2a =b +c22故椭圆的离心率为：上62（n）结合（I）中的椭圆方程可得:6 = 3,故 M(-3,0), 2设直线l的方程为x=ty-3,联立直线方程与椭圆方程:x = ty -32二1可得:2_2_t 3 y -6ty3 = 0.直线与椭圆相交，则: =36t2 -12(t2 +3)>0 ,设 A(x1，yi )田区，y2 ), C (x,一% ),F ( c,0 ),则:36tyi y2-,y1yI,故:kBF - kCF =y2x2 cyix1cty2 3 ctyi _3 c2tyy2 -3 yiy2c yiy22AA2t yiy2 -(3-c)t yiy?(3-c)a

31、36t2t (3c)t2 3 t2 3.23 小、,6t 小、2t 2-(3 -c) t , 2(3-c)t2 3t2 3将c = 2代入上式可得：kBF kCF = 0 ,故C,F,B三点共线；(出)结合(n )中的结论可得：-/_ _1,1 MBC的面积S =S MAC S BAC =(x1 +3) AC -(x1 -x2 AC,， i, 1=列=334=d 3 ) y1 =ty1y2t +3 t +_3，2y3 =2-.当且仅当t =±73时等号成立，故 4MBC的面积的最大值为 叵.2【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直

32、线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.20. (I )(3,1；(n)答案见解析；(出)证明见解析.【解析】【分析】，一，1(I)由题意可得lnx 一2x+1+2a W0恒成立,构造函数，令x1 一 一一.g(x )=lnx-2x +1+2a，由导函数的解析式可知 g(x饰(0,1)递增，在(1,依)递减，x据此计算可得实数 a的取值范围.1八八(n)由f (x庭x=1处取得极值可得a=1.原问题等价于求解lnx-2x + 5 = 0在区间 x0,2 1内解的个数，结合导函数的解析式研究函数的单调性和函

33、数在特殊点处的函数值即可确定切线的条数.而事实情况下检验a=1时函数f(x不存在极值点，所以不存在满足题意的实数a ,也不存在满足题意的切线.(出)若函数有两个极值点 x1,x2,不妨设0x1 <x2,易知a >1,结合函数的解析式和零点的性质即可证得题中的不等式【详解】,. x -1 _,1 _. _ ,(I)由已知，f (x )=lnx +-2(x -a )= lnx 2x+1 + 2a E0 恒成立xx人.1令 g x = lnx - 2x 1 2a ,Y 2x 1 x12x(x . 0),2.1 1-2x x 1贝U g x = 2 =2x xx-(2x + 1 )<0,令 g'(x )>0,解得：0<乂<1,令 g'(x)<0W|：x:>1,