微分方程基本概念

1、第一节 微分方程的基本概念v 引例引例在以前我们学习的方程基础上，本节给出了在以前我们学习的方程基础上，本节给出了v 微分方程的基本概念微分方程的基本概念v 小结小结常微分方程的基本概念，它是以一元函数的导数常微分方程的基本概念，它是以一元函数的导数为基础的为基础的. .一、引例一、引例例例1 1 自由落体：设一个质量为自由落体：设一个质量为m m的物体，从高的物体，从高h h 处只处只 受重力作用从静止状态自由下落，求其运动方程受重力作用从静止状态自由下落，求其运动方程解：解： 取垂直地面向上的方向为正方向，设物体取垂直地面向上的方向为正方向，设物体在在 时刻时刻t t的位置在的位置在s s

2、 由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：22d smmgdt 22d sgdt 1dsgdtgtCdt 21121()2sgtC dtgtC tC 即即对（对（2 2）式两边积分得）式两边积分得对（对（3 3）式再积分得）式再积分得（1）（2）（3 3）（4 4）其中其中 均为任意常数均为任意常数21CC 、根据题意根据题意s s还应满足以下条件还应满足以下条件 ， 0tsh00tdsdt212sgth 将上述条件代入（将上述条件代入（3 3）、（）、（4 4）两式，得）两式，得（5 5）于是所求的运动方程为于是所求的运动方程为120,CCh（6 6）例例2 2 镭的衰变：镭这种放射性元素在衰变

3、的过程中，镭的衰变：镭这种放射性元素在衰变的过程中，因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量，根据大因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量，根据大量的实验知道衰变速度与剩余物质的质量成正比，量的实验知道衰变速度与剩余物质的质量成正比，问这种元素的质量问这种元素的质量m m与时间与时间t t之间的函数关系是怎样之间的函数关系是怎样的？的？解：由题意可知，解：由题意可知， dmkmdt （7 7） 这里这里 表示衰变速度，即表示衰变速度，即 关于关于 的变化率的变化率 是比例系数，与该物质是何种放射性是比例系数，与该物质是何种放射性 即当时间增加时放射物的质量是减少的即当时间增加时放射物的质量是减少的将

4、方程（将方程（7 7）变为）变为1dmkdtm （8 8） dmdtmt0k 0m 0dmdt元素有关负号表示当元素有关负号表示当时，时，上式两边求不定积分上式两边求不定积分1dmkdtm （9 9） 求出不定积分后得求出不定积分后得ln mktC （1010）显然，方程（显然，方程（1010）并不能完全确定质量）并不能完全确定质量m m与时与时间间t t 之间的关系现在再加一个条件：之间的关系现在再加一个条件： 其中其中C是任意常数是任意常数0t mM当当时，时，即，即0tmM（1111）代入方程（代入方程（1010）得）得lnCM（1212） 从而从而lnlnmktM （1313） 即即k

5、tmMe（1414） 二、微分方程的基本概念二、微分方程的基本概念微分方程的定义微分方程的定义 例例1 1的方程（的方程（2 2） 含有未知的一元函数的导数（或微分）的含有未知的一元函数的导数（或微分）的方程式称为方程式称为常微分方程常微分方程，简称微分方程，简称微分方程例例2 2的方程（的方程（7 7）如：如：微分方程的阶微分方程的阶例例1 1的方程（的方程（2 2）是二阶微分方程；）是二阶微分方程； 微分方程中未知函数的导数（或微分）的最微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高高阶数，称为微分方程的阶阶数，称为微分方程的阶 如：如：例例2 2的方程（的方程（7 7）是一阶微分方程）是一阶微

6、分方程微分方程的解、通解与特解微分方程的解、通解与特解 若某个函数代入微分方程后，能够使得若某个函数代入微分方程后，能够使得该方程成为恒等式，则称该函数满足微分方程，该方程成为恒等式，则称该函数满足微分方程，凡是满足微分方程的函数都称为微分方程的解凡是满足微分方程的函数都称为微分方程的解 例例1 1中函数（中函数（4 4）和（）和（7 7）都是方程（）都是方程（2 2）的解，）的解，例例2 2中函数（中函数（1010）和（）和（1414）都是方程（）都是方程（7 7）的解）的解如：如：例例1 1中的函数（中的函数（4 4）、例）、例2 2中的函数（中的函数（1010）都是通解，）都是通解，例例

7、1 1中的函数（中的函数（6 6）、例）、例2 2中的函数（中的函数（1414）都是特解）都是特解 如果微分方程的解中含有相互独立的任意常如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解如果微分方程的解中这样的解叫做微分方程的通解如果微分方程的解中不含有任意常数，则称它为微分方程的特解不含有任意常数，则称它为微分方程的特解 如：如：微分方程的几何意义微分方程的几何意义 微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线. . 通解的图形是一族积分曲线，称为微分方程的

8、通解的图形是一族积分曲线，称为微分方程的积分曲线族积分曲线族. . 微分方程的某个特解的图形就是积分曲线族中微分方程的某个特解的图形就是积分曲线族中满足给定初值条件的某一特定的积分曲线满足给定初值条件的某一特定的积分曲线. .微分方程的初值问题微分方程的初值问题解解 ：122cos22sin2yCxCx124sin24cos2yCxCx 将将,y y代入微分方程得代入微分方程得 求微分方程满足初始条件的特解的问题，求微分方程满足初始条件的特解的问题，称为微分方程的初值问题称为微分方程的初值问题()0,()288yy12sin2cos2yCxCx12,C C 40yy例例3 3 验证函数验证函数

9、（是任意常数）是任意常数）的通解，并求满足初始条件的通解，并求满足初始条件的特解的特解是方程是方程1212 4( 4sin24cos2 )4(sin2cos2 )0yyCxCxCxCx 所以，函数所以，函数12sin2cos2yCxCx是所给是所给微分方程的解微分方程的解 又因为又因为cos2sin2xx常数，常数， 而微分方程是二阶的，即任意常数的个数而微分方程是二阶的，即任意常数的个数与方程的阶数相同，因此它是该与方程的阶数相同，因此它是该方程的通解方程的通解所以解中含有两个独立的任意常数所以解中含有两个独立的任意常数12,C C， 11sin2cos222yxx于是所求于是所求特解特解为为1211,22CC 解得解得1212220