概率统计课件52中心极限定理

1、第二节第二节 中心极限定理中心极限定理中心极限定理的背景中心极限定理的背景中心极限定理的定义中心极限定理的定义中心极限定理中心极限定理小结小结2022-1-2 在概率论中，我们已经知道正态分布居在概率论中，我们已经知道正态分布居于头等重要的地位，许多随机变量都遵循于头等重要的地位，许多随机变量都遵循正态分布。自从高斯指出测量误差服从正正态分布。自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见。并且大量实验观察也表明界中极为常见。并且大量实验观察也表明如果一个量是由大量相互独立的随机因素如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成

2、，而每一个别因素在总影响的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大，中所起的作用不大， 则这种量一般都服从则这种量一般都服从或近似服从正态分布。或近似服从正态分布。 问题的引出问题的引出 高斯高斯 一、中心极限定理的客观背景一、中心极限定理的客观背景2022-1-2(1). 具有有限方差的一列独立同分布的随机变量的具有有限方差的一列独立同分布的随机变量的 和经过标准化后是以标准正态分布为极限的，和经过标准化后是以标准正态分布为极限的， 这就是独立同分布的中心极限定理这就是独立同分布的中心极限定理 或或 称为称为 林德贝尔格林德贝尔格-勒维中心极限定理勒维中心极限定理。当同分布。当同分

3、布 为二项分布时就得出该定理的特例，即为：为二项分布时就得出该定理的特例，即为： 棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯定理，拉普拉斯定理，它也是二项分布的它也是二项分布的 正态近似。正态近似。这仅仅是经验之谈呢，还是确有理论依据呢？对于这仅仅是经验之谈呢，还是确有理论依据呢？对于这样一个重要问题，在长达两个世纪内一直成为概这样一个重要问题，在长达两个世纪内一直成为概率论研究的中心问题。数学家们经过卓越工作建立率论研究的中心问题。数学家们经过卓越工作建立了一系列定理，解决了这一问题，并了一系列定理，解决了这一问题，并指出指出:2022-1-2(2). 对对“由大量微小的独立的随机因素由大量微小的独立的随机因素

4、”（不要（不要求同分布）引起并累积成的变量，当随机因素个求同分布）引起并累积成的变量，当随机因素个数趋于无穷时以正态分布为极限。这就是数趋于无穷时以正态分布为极限。这就是李雅普李雅普诺夫中心极限定理诺夫中心极限定理。比如：比如：一台机床已经调试良好，操作正常。但由一台机床已经调试良好，操作正常。但由于机床的微小震动、工具的微小变形、原材料质于机床的微小震动、工具的微小变形、原材料质量上的微小差异、工作操作上的微小偏差等等数量上的微小差异、工作操作上的微小偏差等等数不清的随机因素，它们每一个因素在总的影响中不清的随机因素，它们每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的。而综合起来在产品质量所起的

5、作用都是微小的。而综合起来在产品质量上就形成一定的误差，这误差近似服从正态分布。上就形成一定的误差，这误差近似服从正态分布。2022-1-2在一定条件下，大量的在一定条件下，大量的随机变量之和随机变量之和的概率分布的概率分布以正态分布为极限的定理称为中心极限定理。以正态分布为极限的定理称为中心极限定理。 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做布这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理。故：故：研究独立随机变量研究独立随机变量之和之和所特有的规律性问题。当所特有的规律性问题。当 n 无限增大时，这个和的极限分布是什么？在什无限增大时，这

6、个和的极限分布是什么？在什么条件下极限分布会是正态的呢？么条件下极限分布会是正态的呢？研究的问题：研究的问题：2022-1-2 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的产生的总影响总影响：例如：例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着 许多随机因素的影响：许多随机因素的影响： 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 如如，瞄准时的误差，空气阻力所产生的误，瞄准时的误差，空气阻力所产生的误 差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.而所要研究的是：这些而所要研究的是：这些随机因素的总

7、影响随机因素的总影响。二、中心极限定理定义二、中心极限定理定义 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。中心极限定理。 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们，故我们不研究不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量，即：机变量，即：正正态态分分布布的的极极限限分分布布是是否否为为标标准准讨讨论论nY111()()nnkkkknnkkXEXYDX2022-1-21. 独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理

8、定理定理1. 设随机变量设随机变量 相互独立且服从同相互独立且服从同一分布，其数学期望与方差一分布，其数学期望与方差:12,nXXX )(kXE2(),(1,2)kD Xk 111121()()nnnnkkkkkkkknnkkXEXXnXnYnnDX （林德贝尔格（林德贝尔格-勒维勒维(LevyLindberg)定理）定理）则随机变量则随机变量之和之和1nkkX 的的标准化变量标准化变量：三、中心极限定理三、中心极限定理2121lim( )lim2ntkxknnnXnFxPxedtn 2022-1-2的分布函数的分布函数 对于任意对于任意 满足满足: ( )nFxx证：证： (略略) 它要用到

9、特征函数和傅利叶变换等等。它要用到特征函数和傅利叶变换等等。 定理定理1 表明表明，当，当 n 充分大时，充分大时，n 个具有期望和个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。态分布。 虽然在一般情况下，很难求出虽然在一般情况下，很难求出 X1+ X2 + + Xn 的分布的确切形式，但当的分布的确切形式，但当 n 很大时，可以求很大时，可以求出其近似分布。出其近似分布。注注).1 , 0(;),(,11211NnnXnnNXnXnkknkknkk近近似似地地近近似似地地有有和和与与其其标标准准化化变变量量分分别别充充分分大大时时，随随机

10、机变变量量之之当当布布的的随随机机变变量量之之和和、定定理理表表明明，独独立立同同分分 )1 , 0(),(22NnXnNX近近似似地地近近似似地地或或为为定定理理的的另另一一种种形形式式可可写写、独独立立同同分分布布中中心心极极限限 nkkXnX11其中其中 3、虽然在一般情况下，我们很难求出、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分的分布的确切形式，但当布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布. nkkX1这一结果是数理统计中这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础大样本统计推断的基础2022-1-22. 李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理定理定理2. 设随机变量设随机变

11、量 相互独立，它们相互独立，它们具有数学期望和方差为：具有数学期望和方差为：12,nXXX2(),()0 ,1,2kkkkE XD Xk 22110 ,nkknkEXB ( Liapunov 中心极限定理中心极限定理)221,nnkkB 记记, 若存在正数若存在正数n 使得当使得当2022-1-211111()()nnnnkkkkkkkknnnkkXEXXZBDX 则随机变量则随机变量之和之和1nkkX 的的标准化变量标准化变量：的分布函数的分布函数 对于任意对于任意 满足满足: ( )nFxx21121lim( )lim2nntkkxkknnnnXFxPxedtB 证明：证明：（略）（略）2

12、022-1-2注注: 定理定理2表明表明， 当当 n 充分大时，随机变量：充分大时，随机变量：11nnkkkknnXZB 近似服从标准正态分布。近似服从标准正态分布。 21 (,)nknkNB 即，即，11nnknnkkkXB Z 近似服从正态分布近似服从正态分布 由此，由此，定理定理2再次表达再次表达了正态分布在概率论中的了正态分布在概率论中的特殊特殊地位：地位：kX无论各个随机变量无论各个随机变量 服从什么分服从什么分布，只要满足定理布，只要满足定理2的条件，那么的条件，那么它们的和它们的和当当n 充分大时就近似服从正态分布。充分大时就近似服从正态分布。2022-1-2三三. 棣莫弗棣莫弗

13、-拉普拉斯定理拉普拉斯定理定理定理3.（De Moiverelaplace 中心极限定理）中心极限定理）设随机变量设随机变量 相互独立，且服相互独立，且服从参数为从参数为 的二项分布，则对的二项分布，则对任意任意 恒有恒有:12,n ,(01)n ppx221lim(1)2txnnnpPxedtnpp 证明证明:服从参数为服从参数为 的二项分布的二项分布,(01)n pp若随机变量若随机变量 相互独立，且服从相互独立，且服从同一同一(01)分布，分布，12,nXXX12nXXX则则见教材见教材P103例例6 的结论的结论2022-1-2由此由此 是是 n 个相互独立，服从同一个相互独立，服从同

14、一 (0-1) 分布的分布的 之和。即：之和。即： n nXXX21,1nnkkX (1,2)kXkn 其中其中 的分布律为：的分布律为：1()(1)0,1iikP Xippi (),()(1) (1,2)kkE XpD Xppkn由由定理定理1得：得：1limlim(1)(1)nknknnXnpnpPxPxnppnpp 2212txedt 2022-1-2注注:定理定理3表明表明，正态分布是二项分布的极限分布，正态分布是二项分布的极限分布，当当 n 充分大时可以用正态分布来计算二项分充分大时可以用正态分布来计算二项分布的概率。布的概率。在第二章中已介绍当在第二章中已介绍当 时，二项分布以时，

15、二项分布以泊松分布为极限分布；而在本章中二项分布又泊松分布为极限分布；而在本章中二项分布又以正态分布为极限分布。这以正态分布为极限分布。这两者的区别两者的区别是：是： n在在泊松定理泊松定理中要求中要求)( 为常数为常数 np在在中心极限定理中心极限定理中要求中要求 np所以在实际计算中，如果所以在实际计算中，如果 n 很大但很大但 np或或 nq 不不大大 ( 即即 p 很小或很小或 q =1-p 很小很小 )，那么应该用泊，那么应该用泊松定理去近似；如果松定理去近似；如果 n，np 或或 nq 都较大，那都较大，那么应该用中心极限定理去近似。么应该用中心极限定理去近似。2022-1-2中心

16、极限定理的直观中心极限定理的直观图示图示例例: 20个服从（个服从（01）分）分布布 的随机变量的和的分布的随机变量的和的分布X1 f ( x)X1 +X2 g ( x )X1 +X2+X3 h ( x )例例: 几个在几个在( 0, 1 )上服从均匀分上服从均匀分布的随机变量的和的分布。布的随机变量的和的分布。0123xfgh例题例题例例1 .105.)10, 0(), 2 , 1(201的的近近似似值值，求求记记上上服服从从均均匀匀分分布布机机变变量量，且且都都在在区区间间设设它它们们是是相相互互独独立立的的随随个个噪噪声声电电压压一一加加法法器器同同时时收收到到 VPVVnkVnkkk2

17、012011210020DV 520EV).20, 2 , 1(12100)(, 5)(kkkkkkDVEVkVDVE，易知于是于是 20121005201052012100520105VpVP 387. 02012100520Vp解解 387. 020121005201Vp348. 0)387. 0(1 348. 0105VP 即有即有例例2. (供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床,在生产期间由在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车需停车. 设开工率为设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独并设每台车床的

18、工作是独立的，且在开工时需电力立的，且在开工时需电力1千瓦千瓦.问应供应多少瓦电力就能以问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产间不会因供电不足而影响生产?用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数， 解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率工作的概率0.6 ,共进行共进行200次独立重复试验次独立重复试验.依题意，依题意，XB(200,0.6),现在的问题是：现在的问题是：P(XN)0.999的最小的的最小的

19、N.求满足求满足设需设需N台车床工作，台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，千瓦，N台工作所需电力即台工作所需电力即N千瓦千瓦.）由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理)1 (pnpnpX近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)= P(0XN)这里这里 np=120, np(1-p)=48)48120()48120(N)48120N(999.0)48120( N由由查正态分布函数表得查正态分布函数表得999. 0) 1 . 3(从中解得从中解得N141.5,即所求即所求N=142. 也就是说也就是说, 应供应应供应142 千瓦电力就能以千瓦电

20、力就能以99.9%的的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.48120N 3.1,故故例例3.400.15. 08 . 005. 021独独立立，且且服服从从同同一一分分布布会会议议的的家家长长数数相相互互名名学学生生，设设各各学学生生参参加加共共有有若若学学校校、分分别别为为家家长长来来参参加加会会议议的的概概率率名名名名家家长长、个个学学生生无无家家长长、是是一一个个随随机机变变量量，设设一一参参加加家家长长会会的的家家长长人人数数对对于于一一个个学学生生而而言言，来来.340124501的概率的概率生数不多生数不多名家长来参加会议的学名家长来参加会

21、议的学）求有）求有（的概率；的概率；超过超过）求参加会议的家长数）求参加会议的家长数（X解解15. 08 . 005. 0210)400,2 , 1()1(kkkkpXXkkX的的分分布布律律为为的的家家长长数数，则则个个学学生生来来参参加加会会议议记记第第以以 .400, 2 , 119. 0)(, 1 . 1)( kXDXEkk易知易知)19. 0400, 1 . 1400(4,.4001 NXXXkk近似地近似地可知随机变量可知随机变量由定理由定理而而），（即有即有近似地近似地10N19. 04008 . 040019. 04001 . 14004001 XXkk于是于是19. 0400

22、8 . 040045019. 04008 . 0400450XPXP 147. 119. 04008 . 04001XP1257. 0)147. 1(1 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400340YPYP 5 . 22 . 08 . 04008 . 0400YP9938. 0)5 . 2( ），（随机变量随机变量近似地近似地2 . 08 . 04008 . 0400NY (2)(400,0.8)6YYB以 记有一名家长来参加会议的学生数，则，由定理 得2022-1-2例例4. 抽样检查产品质量时，如果发现次品多于抽样检查产品质量时，如果发现

23、次品多于10个则个则认为这批产品不能接受。认为这批产品不能接受。解解: 设应检查产品个数为设应检查产品个数为 n ，其中次品数为，其中次品数为 X，则，则( , 0.1),XB n0.1 ,0.3npnnpqn现要现要求求 n ，使得：，使得：(10)0.9PXn(10)PXn100.10.10.1()0.30.30.3nXnnnPnnn求：求：应该检查多少个产品，可使次品率为应该检查多少个产品，可使次品率为 10% 的一的一 批次品不能接受的概率达到批次品不能接受的概率达到 0. 9?由由定定理理3近似服从近似服从N( 0, 1 )2022-1-2100.10.1(3)0.30.3nXnPn

24、nn100.1(3)()0.3nnn 100.11()0.3nn 由由3准则，准则， 为为 1(3)n (10)0.9PXn要要只要只要：100.11()0.90.3nn 100.1()0.10.3nn 即要即要：此时由于此时由于：100.1()0.50.3nn 2022-1-2必定有必定有：100.100.3nn 0.1101()0.10.3nn 只要只要：3820( )0.5附表2中Pzz 所以要所以要：100.1()0.10.3nn 因为因为()1( )xx 即即0.110()0.90.3nn 查表得查表得:(1.28)0.9故故0.1101.280.3nn 146n结论：结论：应检查应

25、检查 146 个产品时，可使这批产品不被接受的概个产品时，可使这批产品不被接受的概 率为率为0. 92022-1-2例例 5.计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算。设所有的取数误差是相互近它的整数来计算。设所有的取数误差是相互独立的随机变量，并且都在区间独立的随机变量，并且都在区间 -0.5, 0.5 上服从均匀分布。上服从均匀分布。求求:(1) 现有现有1200个数相加，误差总和的绝对值小于个数相加，误差总和的绝对值小于 10的概率。的概率。(2) 应有多少个数相加时可使误差总和的绝对值小应有多少个数相加时可使误差总和的绝对值小 于

26、于10 的概率大于的概率大于0. 9解解:nXXX,21设设 为各个加数的取数误差为各个加数的取数误差则这是一列独立同分布的随机变量，其所有加则这是一列独立同分布的随机变量，其所有加数的误差总和为：数的误差总和为：1nkkX 2022-1-20.50.5()0,2kE X20.5( 0.5)1()1212kD X 从而从而：11()0,()12nnkkkknE XD X(1).12001(1010 )kkPX (1,2,)kXkn 0.5 0.5 ，在在服从均匀分布服从均匀分布11200()1012nkkD X 这里这里:)10(12001 kkXP2022-1-210100100()1010

27、10nkkXP 1(11)10nkkXP (1)( 1) 2(1)12 0.845310.6826(2).1(10 )nkkPX 10100100()121212nkkXPnnn 由由定定理理1近似服从近似服从N ( 0, 1 )2022-1-2133(2020)2nkkXPnnn 32( 20)1n1(10 )0.9,nkkPX 只要只要:32( 20)10.9n3( 20)0.95n查表得查表得:(1.65)0.950530.9565. 1320 n解得解得:441 n结论结论: 441 个数个数相加时可使误相加时可使误差总和的绝对差总和的绝对值小于值小于10 的概的概率大于率大于0. 9所以要所以要2022-1-2例例6. 在人寿保险公司里，有在人寿保险公司里，有16000名同一年龄的人名同一年龄的人参加人寿保险。一年里这些人的死亡率为参加人寿保险。一年里这些人的死亡率为0.1%；参加保险的人在一年的第一天交付保；参加保险的人在一年的第一天交付保险费险费3元，死亡时家属可以从保险公司领取元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。元。求求: (1). 保险公司因开展这项业务获利不少于保险公司因开展这项业务获利不少于10000 元的概率元的概率(2). 保险公司因开展这项业务亏本的概率保险公司因开展这项