第五章_矩阵的对角化B

1、第五章第五章 矩阵的对角化矩阵的对角化5.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵5.2 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量5.3 矩阵的对角化矩阵的对角化5.4 应用举例应用举例这一章的学习重点是什么？这一章的学习重点是什么？l矩阵的对角化。矩阵的对角化。l对角矩阵是最简单的一类矩阵，它有许多其他矩阵所没对角矩阵是最简单的一类矩阵，它有许多其他矩阵所没有的好性质：有的好性质：，nnnncbaAcbaA.01111cbaAabcl还有比如，对角矩阵还有比如，对角矩阵的秩就是对角线上非的秩就是对角线上非零元的个数等等。零元的个数等等。l在实际应用中，我们希望矩阵具有一些好的性质，因

2、为在实际应用中，我们希望矩阵具有一些好的性质，因为只有具有这些性质，一些问题才能比较简便地解决，甚只有具有这些性质，一些问题才能比较简便地解决，甚至是才可能得到解决。举最简单的一个例子：至是才可能得到解决。举最简单的一个例子：201241173951A现在需要求现在需要求A100。l为了使对角矩阵的这些好性质在一般矩阵中也能多少体为了使对角矩阵的这些好性质在一般矩阵中也能多少体现一点，我们需要知道一般矩阵与对角矩阵之间的关系，现一点，我们需要知道一般矩阵与对角矩阵之间的关系，甚至可能的话，把一般矩阵转化为对角矩阵。甚至可能的话，把一般矩阵转化为对角矩阵。l如何把一般矩阵转化为对角矩阵？如何把一

3、般矩阵转化为对角矩阵？l我们需要一些好用的工具来处理矩阵，这工具怎么找？我们需要一些好用的工具来处理矩阵，这工具怎么找？l矩阵可以看成向量组，而向量具有很好的性质，我们可矩阵可以看成向量组，而向量具有很好的性质，我们可以利用向量的性质找到解决问题的途径。以利用向量的性质找到解决问题的途径。5.1 5.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵一、向量的内积与正交向量组一、向量的内积与正交向量组1 1内积的概念内积的概念定义：设有定义：设有 n 维向量维向量令令 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ，则称则称 x, y 为向量为向量 x 和和 y 的内积的内积l内积是

4、两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数l内积可用矩阵乘法表示：当内积可用矩阵乘法表示：当x 和和 y 都是列向量时，都是列向量时，x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 1122, ,nnxyxyxyxy11221122 , , nnnnx yx yx yx yy xy xy xy x 内积具有下列性质（其中内积具有下列性质（其中 x, y, z 为为 n 维向量，维向量，l l 为实数）：为实数）：l对称性：对称性： x, y = y, x内积具有下列性质（其中内积具有下列性质（其中 x, y, z 为为 n

5、 维向量，维向量，l l 为实数）：为实数）：l对称性：对称性： x, y = y, xl线性性质：线性性质： l l x, y = l lx, y； x + y, z = x, z + y, z, ()() , TTTx yxyxyx yx yllllllllll, ()()()() , , TTTTTxy zxyzxyzx zy zx zy z内积具有下列性质（其中内积具有下列性质（其中 x, y, z 为为 n 维向量，维向量，l l 为实数）：为实数）：l对称性：对称性： x, y = y, xl线性性质：线性性质： l l x, y = l lx, y； x + y, z = x,

6、z + y, zl当当 x = 0（零向量）（零向量） 时，时， x, x = 0；当当 x 0（零向量）（零向量） 时，时， x, x 0 x, x = x12 + x22 + + xn2 0内积具有下列性质（其中内积具有下列性质（其中 x, y, z 为为 n 维向量，维向量，l l 为实数）：为实数）：l对称性：对称性： x, y = y, xl线性性质：线性性质： l l x, y = l lx, y； x + y, z = x, z + y, z l当当 x = 0（零向量）（零向量） 时，时， x, x = 0； 当当 x 0（零向量）（零向量） 时，时， x, x 0l柯西不等式

7、：柯西不等式： x, y2 x, x y, y2, , , xxxxx xx xlllll lllllll ll向量的长度向量的长度定义：令定义：令把把 | x |称为称为 n 维向量维向量 x 的的长度长度（或（或范数范数）当当 | x | = 1 时，称时，称 x 为为单位向量单位向量向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：l非负性：当非负性：当 x = 0（零向量）（零向量） 时，时， | x | = 0； 当当 x 0（零向量）（零向量） 时，时， | x | 0l齐次性：齐次性： | l l x | = | l l | | x |22212| , 0nx xxxxx2|, ,

8、 | , |xxxx xx xxlllllllll ll l向量的长度向量的长度22212| , 0nx xxxxx定义：令定义：令把把 | x |称为称为 n 维向量维向量 x 的的长度长度（或（或范数范数）当当 | x | = 1 时，称时，称 x 为为单位向量单位向量向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：l非负性：当非负性：当 x = 0（零向量）（零向量） 时，时， | x | = 0； 当当 x 0（零向量）（零向量） 时，时， | x | 0l齐次性：齐次性： | l l x | = | l l | | x |l若若a a 是任一非零向量，则向量是任一非零向量，则向量a

9、a / |a a|是是单位向量单位向量，求非零向量，求非零向量a a 对应的单位向量的过程称为向量对应的单位向量的过程称为向量a a 的的单位化单位化的过程。的过程。2 2正交向量组正交向量组 当当 x, y = 0，称向量，称向量 x 和和 y 正交正交若一向量组中任意两个向量都是正交的，则称该向量组若一向量组中任意两个向量都是正交的，则称该向量组为两两正交的向量组为两两正交的向量组两两正交的两两正交的非零非零向量组成的向量组，称为正交向量组向量组成的向量组，称为正交向量组性质性质1. 正交向量组单位化后仍是正交向量组。正交向量组单位化后仍是正交向量组。 性质性质2. 正交向量组必线性无关。

10、正交向量组必线性无关。l证明：设证明：设a a1, a a2, , a ar 是一组两两正交的非零向量，是一组两两正交的非零向量， 设设 k1a a1 + k2a a2 + + kr a ar = 0（零向量），那么（零向量），那么 0 = a a1, 0 = a a1, k1a a1 + k2a a2 + + kr a ar = k1 a a1, a a1 + k2 a a1, a a2 + + kr a a1, a ar = k1 a a1, a a1 + 0 + + 0 = k1 |a a1|2 因为因为 |a a1| 0，所以，所以 k1 = 0 同理可证同理可证,k2 = k3 =

11、= kr =0 综上所述综上所述, a a1, a a2, , a ar 线性无关线性无关定义：设定义：设 n 维向量维向量e e1, e e2, , e en 是向量空间是向量空间 Rn 的正交向量组，的正交向量组，则称该向量组是则称该向量组是Rn的正交基；如果该正交向量组还是的正交基；如果该正交向量组还是单位单位向量向量组，则称其为组，则称其为Rn的一组的一组标准正交基标准正交基。l即即Rn的标准正交基满足下面两条：的标准正交基满足下面两条：e e1, e e2, , e en 两两正交；两两正交；e e1, e e2, , e en都是单位向量，都是单位向量，例例4.2. 是是 R4 的

12、一个标准正交基的一个标准正交基123410000100,00100001eeee 也是也是 R4 的一个标准正交基的一个标准正交基l我们可以说这两组标准正交基是等价的。我们可以说这两组标准正交基是等价的。l什么叫两个向量组等价？什么叫两个向量组等价？l可以相互线性表出的两个向量组叫做等价向量组。可以相互线性表出的两个向量组叫做等价向量组。2121210212121021210212121021),(4321问题：从向量空间的任何一个基出发，如何求出该向量问题：从向量空间的任何一个基出发，如何求出该向量空间的一组标准正交基？空间的一组标准正交基？l进行施密特正交化然后单位化。进行施密特正交化然后

13、单位化。例例5.1. 设设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化过程把这组向量标准正交化1231142, 3, 1110aaa l解：第一步正交化，取解：第一步正交化，取11ab l lb1a2b2b1（即（即 a1）122babl？ll要求要求(b1,b2)=0),(),(12121babbbl0),(),(1121bbabl),(),(1121bbabl3/53/53/5121641312ba1b1a2a3b2c3b3333cab)(22113bba?,21l要求要求(b3,b1)=(b3,b2)=00),(122113bbba0),(222113bbba),(),

14、(11311bbab),(),(22322bbab1231142, 3, 1110aaa 1333333132312231122,bab abcacabcbbbbab20211135121310143b212222111,a bbacabb b11ba 3/53/53/51211112223331112|611111|311110|21ebbebbebb l解：第二步单位化，令解：第二步单位化，令求标准正交基的方法求标准正交基的方法基基正交基正交基 标准正交基标准正交基 第一步：正交化第一步：正交化施密特（施密特（Schimidt）正交化过程）正交化过程设设 a1, a2, , ar 是向量空

15、间是向量空间 V 的一个基，那么令的一个基，那么令于是于是 b1, b2, , br 两两正交，并且与两两正交，并且与a1, a2, , ar 等价，即等价，即 b1, b2, , br 是向量空间是向量空间Rr 中的一个正交基中的一个正交基121112212111,rrrrrrrrrbaba ba ba bb bb bbbbb 11ba 212222111,a bbacabb b第二步：单位化第二步：单位化设设 b1, b2, , br 是向量空间是向量空间 Rr 中的一个正交基，那么令中的一个正交基，那么令从而从而 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 Rr 中的一个标准正交基中

16、的一个标准正交基112212111, , |rrrebebebbbb)0, 0, 1, 1(1 a a)0, 1, 0, 1(2 a a)1, 0, 0, 1(3 a a)0, 0, 1 , 1(11a)0, 1 ,21,21(21),(),(-121111222aaa)1 ,31,31,31(2131),(),(-),(),(-123111132222333aaaa321, 例例. .已知向量空间已知向量空间V3 3的基为的基为求求V3 3的一组标准正交基的一组标准正交基为为V3 3的一组正交基。的一组正交基。)0 , 0 ,22,22()0, 0, 1 , 1(22111)0 ,36,66

17、,66()0, 1 ,21,21(36222)23,63,63,63()1 ,31,31,31(23333为为V3 3的一组标准正交基的一组标准正交基. .作业：作业：P P1111111(1).1(1).l 当当 x, y = 0，称向量，称向量 x 和和 y 正交正交l 性质性质2. 正交向量组必线性无关。正交向量组必线性无关。l即即Rn的标准正交基满足下面两条：的标准正交基满足下面两条：e e1, e e2, , e en 两两正交；两两正交；e e1, e e2, , e en都是单位向量都是单位向量.l求标准正交基的方法求标准正交基的方法基基正交基正交基 标准正交基标准正交基 第一步

18、：正交化第一步：正交化施密特施密特（Schimidt）正交化过程）正交化过程设设 a1, a2, , ar 是向量空间是向量空间 V 的一个基，那么令的一个基，那么令121112212111,rrrrrrrrrbaba ba ba bb bb bbbbb 11ba 212222111,a bbacabb b第二步：单位化第二步：单位化112212111, , |rrrebebebbbb定义：如果定义：如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT， 则称矩阵则称矩阵 A 为正交矩阵，简称为正交矩阵，简称正交阵正交阵 于是于是从而可得从而可得n方阵方阵 A 为正交阵的

19、充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向的列向量都是单位向量，且两两正交量，且两两正交1, ( ,1,2, )0,Tijijija aa ai jnij 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnaa aa aa aaa aa aa aA Aa aaaa aa aa a定义：如果定义：如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA = E，即，即 A1 = AT， 则称矩阵则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵为正交矩阵，简称正交阵 n方阵方阵 A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向的列

20、向量都是单位向量，且两两正交量，且两两正交n方阵方阵 A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向的行向量都是单位向量，且两两正交量，且两两正交正交矩阵具有下列性质：正交矩阵具有下列性质： 若若 A 是正交阵，则是正交阵，则 A1 = AT 若若 A 是正交阵，则是正交阵，则 A1 也是正交阵，且也是正交阵，且|A| = 1 或或 1 若若 A 和和 B 是正交阵，则是正交阵，则 AB 也是正交阵也是正交阵5.2 5.2 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量a33观察数量矩阵与向量的乘积：设观察数量矩阵与向量的乘积：设 是一个二维向量，是一个二维向量，2

21、1xxa再观察二维向量再观察二维向量 ,同一矩阵与他们相乘：同一矩阵与他们相乘：0,012zy-001-21-222yy20201-21-211zz2133xxa33321xx定义：设定义：设 A 是是 n 阶方阵，如果数阶方阵，如果数 l l 和和 n 维维非零向量非零向量 a a满足满足A a a = l l a a ， 那么这样的数那么这样的数 l l 称为矩阵称为矩阵 A 的的特征值特征值，非零向量非零向量a a称为称为 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的的特征向量特征向量l注意：特征值和特征向量只针对注意：特征值和特征向量只针对方阵方阵而言而言l特征值与特征向量是配对的，不能配

22、错，配错了就不满足特征值与特征向量是配对的，不能配错，配错了就不满足 A a a = l l a a 。-21-22-1-2我们观察到，存在一些向量，方阵乘以这些向量可以表示为一个我们观察到，存在一些向量，方阵乘以这些向量可以表示为一个数数乘以这些向量。实际上，除了对角矩阵有这种现象，一般的方阵乘以这些向量。实际上，除了对角矩阵有这种现象，一般的方阵也有类似的现象。我们将给具有这些性质的向量以及相应的数命名。也有类似的现象。我们将给具有这些性质的向量以及相应的数命名。0,012zy例如：例如：则则 l l = 1 为为 的特征值，的特征值， 为对应于为对应于l l = 1 的特征向量的特征向量

23、.342212311 3423 21 事实上，事实上， ，k为任意非零实数，均为对应于为任意非零实数，均为对应于l l = 1 的特征向量，的特征向量，1111132433423 11又因为：又因为：则则 l l = -1 也为也为 的特征值，的特征值， 为对应于为对应于l l = -1 的特征向量的特征向量.12k事实上事实上, ,k为任意非零实数，均为对应于为任意非零实数，均为对应于l l =-1 的特征向量。的特征向量。11ku特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质设设x x是是A的的属于特征值属于特征值l l的特征向量，的特征向量，k是非零常数，则是非零常数，则性质性质1. .k

24、x x也是也是A的对应于的对应于l l 的特征向量的特征向量. 设设x x1 1, ,x x2 2是是A的属于的属于特征值特征值l l的特征向量的特征向量, ,且且x x1 1+ +x x2 20,0,性质性质2. .则则x x1 1+ +x x2 2也是也是A的对应于的对应于特征值特征值l l 的特征向量的特征向量。设设x x1 1, ,x x2 2是是A的属于特征值的属于特征值l l的特征向量的特征向量, ,且且k1x x1 1+ +k2x x2 20,0,性质性质2. .则则k1 1x x1 1+ +k2 2x x2 2也是也是A的对应于特征值的对应于特征值l l 的特征向量的特征向量。

25、设设x x 是是A的属于特征值的属于特征值l l的特征向量的特征向量, ,k是任意常数是任意常数, ,m为正整数，为正整数，问问: :kA,A-1,Am,A-m的特征值，特征向量分别是什么？的特征值，特征向量分别是什么？ Axx lxlx(kA)xx ( (kl l )x xlkA的特征值为的特征值为kl l，特征向量仍然为，特征向量仍然为 x x ；lAm的特征值为的特征值为l lm，特征向量仍然是，特征向量仍然是x x ；xx A-1-1lxlxl l-1-1xxA11x xl A-m的特征值为的特征值为l l m，特征向量仍然是，特征向量仍然是x x。lA11的特征值为的特征值为l l1

26、1, ,特征向量仍然为特征向量仍然为x x ；即：即：A-1-1xlxl11x x设设 l l 是是 A 的一个特征值，的一个特征值， 是对应的特征向量，即是对应的特征向量，即 A = ll性质性质3. 若若 l l 是是 A 的一个特征值的一个特征值,设设j j (l l) = a0 + a1 l l + + am l l m 则矩阵多项式则矩阵多项式 j j (A) = a0 E + a1 A + + am A m 的特征值是的特征值是 j jll，其中，其中 E 是与是与 A 同阶的单位阵同阶的单位阵设设 j j(A) = A-1 +3A2E，问问j j(A)的特征值为多少？的特征值为多

27、少？lj j (A) = (A1 +3A2E ) = (A1) +(3A) 2 (E ) = l l 1 +3l l 2 = (l l 1 +3l l 2) = j j (l l) 故故j j (l l) 是是 j j (A) 的特征值，的特征值， 是对应的特征向量是对应的特征向量 例例5.3. 设设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1, 1, 2，求，求A2+3A2E 的特征值的特征值l解：解： A2 +3A2E = j j (A) ，令，令j j (l l) = l l 2 +3l l 2， 由性质由性质3知，知， j j l l 是是 j j (A) 的特征值，的特征值， 故故

28、j j (A) 的特征值为的特征值为j j (1) = 2， j j (1) = -4， j j (2) = 8对角矩阵的特征值、特征向量很容易看出来，但是对于一般矩阵，对角矩阵的特征值、特征向量很容易看出来，但是对于一般矩阵，其特征值、特征向量如何求得呢？其特征值、特征向量如何求得呢？设设 A 是是 n 阶矩阵，数阶矩阵，数 l l 和和 n 维维非零向量非零向量 x 满足满足 Ax = l l x = l lE x 即：即： 非零向量非零向量 x 满足满足 (Al lE) x = 0（零向量）；（零向量）；如果我们找到特征值如果我们找到特征值l l0 0, ,只需解齐次线性方程组只需解齐次

29、线性方程组(Al l0 0E) x = 0，便，便可以求得对应于可以求得对应于l l0的特征向量的特征向量x了。了。l l0如何求？如何求？l当且仅当系数行列式当且仅当系数行列式 | Al lE | = 0，齐次线性方程组有，齐次线性方程组有非零解非零解。于是我们令于是我们令 | Al lE | = 0，求出，求出l l,然后代入齐次线性方程组，得到然后代入齐次线性方程组，得到的的非零解非零解就是对应于特征值就是对应于特征值l l的特征向量。的特征向量。l解：解：令令 | Al lE | = 0所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1 = 2，l l2 = 4 当当 l l1 = 2 时，

30、时， 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量）就是对应的特征向量3113A 2231|(3)186(4)(2)13AEl llllllllllllll l1122310()1302xAE xxl l 12110110 xx 111p k p1（k 为任意实数）就是通解为任意实数）就是通解 例例5.4. 求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量例例5.4. 求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量l解：令解：令 | Al lE | = 0所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1 = 2，l l2 =

31、 4 当当 l l2 = 4 时，时， 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 3113A 2124310()1304xAE xxl l 12110110 xx 211p k p2（k 0）就是对应的特征向量）就是对应的特征向量2231|(3)186(4)(2)13AEl llllllllllllll l300020001A)3)(-2)(1 (300020001)(lllllllj0)(lj令. 32, 1321lll，11l2000100001EA0011p)0(111 kpkx例例5.6 求矩阵求矩阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量l解：特征多项

32、式为：解：特征多项式为：的特征向量：的特征向量： 就是对应特征值就是对应特征值 的特征向量。的特征向量。得：得：11l0102p1003p类似得到：相应于类似得到：相应于2,32,3的特征向量：的特征向量： l可以看出属于不同特征值的特征向量是线性无关可以看出属于不同特征值的特征向量是线性无关0011p而：而： 属于不同特征值的特征向量线性无关属于不同特征值的特征向量线性无关在求在求n阶方阵阶方阵A的特征值与特征向量的时，行列式的特征值与特征向量的时，行列式 扮演着重要的作用，我们给它命名。扮演着重要的作用，我们给它命名。|)(EAfll特征方程特征方程特征多项式特征多项式特征多项式特征多项式

33、 | Al lE | (以以 l l 为未知数的一元为未知数的一元 n 次多项式次多项式)特征方程特征方程 | Al lE | = 0111212122212| 0nnnnnnaaaaaaAEaaal ll ll ll l 特征值就是特征方程的根特征值就是特征方程的根与特征值与特征值 l l 对应的特征向量就是对应的特征向量就是 (Al lE) x = 0 的的非零非零解解求求n阶方阵阶方阵A的特征值与特征向量的步骤如下的特征值与特征向量的步骤如下第一步：计算行列式第一步：计算行列式 ；第二步：求出特征方程第二步：求出特征方程 的全部根，它们就是的全部根，它们就是A的全部特征根；的全部特征根；

34、第三步：求出相应的齐次线性方程组第三步：求出相应的齐次线性方程组 的全体非零解，即可得对应于特征值的的全体非零解，即可得对应于特征值的 全部特征向量。全部特征向量。0|)(EAfll0)(XEAil|)(EAfll当当 AT 与与A的特征多项式相同，故它们的特征多项式相同，故它们有相同的特征值。有相同的特征值。5.3 5.3 矩阵的对角化矩阵的对角化，nnnncbaAcbaA问题：除了对角矩阵，还有什么样的矩阵可以很快求出其高次幂？问题：除了对角矩阵，还有什么样的矩阵可以很快求出其高次幂？l如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P,使得使得P-1AP=B是一个是一个对角阵对角阵，则称，则称A可以可以

35、对角对角化化，能够对角化的矩阵，其高次幂是容易求的。能够对角化的矩阵，其高次幂是容易求的。l如果如果P-1AP=B是一个是一个对角阵对角阵， 则由则由An=PBnP-1，就把一般矩阵的就把一般矩阵的高次幂问题转化为高次幂问题转化为对角矩阵对角矩阵的高次幂问题。的高次幂问题。).()()(1111APPAPPAPPAPPnAPPPAPAPPPAPPAP)(.)()(11111PAPn111)(PAPPPAnnPAPAPPnn11)(u矩阵的对角化矩阵的对角化问题：问题：n什么是矩阵的对角化？什么是矩阵的对角化？n如果矩阵可对角化，如何对角化如果矩阵可对角化，如何对角化 ？l把矩阵把矩阵A对角化，

36、是指找一个对角化，是指找一个可逆矩阵可逆矩阵P，使得，使得P-1AP=B，B是一个是一个对角矩阵对角矩阵。 n什么样的矩阵可以对角化？什么样的矩阵可以对角化？n什么样的矩阵可以对角化？什么样的矩阵可以对角化？l首先我们假设矩阵可以对角化，我们寻找可以对角首先我们假设矩阵可以对角化，我们寻找可以对角化的矩阵具有的特点，化的矩阵具有的特点，l接下来看一看是不是只要具有这个特点就可以对角接下来看一看是不是只要具有这个特点就可以对角化了，如果答案是肯定的，我们就找到了矩阵可以对化了，如果答案是肯定的，我们就找到了矩阵可以对角化的充要条件了。角化的充要条件了。l设设),(),(,)(2121nnnnij

37、PdiagBaAlllP是可逆矩阵，是可逆矩阵，B是对角矩阵，是对角矩阵，BAPP1PBAP nnnAlll212121),(),(),(),(221121nnnAAAlll), 2 , 1(niAiiil特征值特征向量假设假设l注意注意P是可逆矩阵，故是可逆矩阵，故 1, 2, n线性无关。线性无关。l若若n阶方阵阶方阵A可对角化，则可对角化，则A有有n个个线性无关线性无关的特征向量。的特征向量。BAPP1PBAP nnnAlll212121),(),(),(),(221121nnnAAAlll), 2 , 1(niAiiil 1 , 2, n线性无关。线性无关。， 1, 2, n线性无关，

38、线性无关，故故P是可逆矩阵。是可逆矩阵。l若若n阶方阵阶方阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 1, 2, n ,相应的特征值相应的特征值为为l l1,l l2,l ln ,(它们可以相同它们可以相同)，则由这，则由这n个特征向量个特征向量 1, 2, n 组组成的矩阵即为可逆矩阵成的矩阵即为可逆矩阵P，使得，使得APP1nlll21定理：定理：n 阶方阵阶方阵 A 可对角化可对角化A 有有 n 个线性无关个线性无关的的特征向量特征向量。 l若若n阶方阵阶方阵A有有n个线性无关的特征向量，则个线性无关的特征向量，则A可对角化。可对角化。l若若n阶方阵阶方阵A有有n个不同的特征值，

39、则个不同的特征值，则A可对角化；可对角化； 但若但若n阶方阵阶方阵A可对角化，则可对角化，则A不一定有不一定有n个不同的特征值。个不同的特征值。211020413A lA 的特征值为的特征值为 l l1 = 1，l l2 = l l3 = 2 ， A只有两个不同的特征值，只有两个不同的特征值，但它有但它有3个线性无关的特征向量，故个线性无关的特征向量，故A可以对角化。可以对角化。1101p 23100 , 141pp lP=(p1 ,p2 ,p3) , 221-BAPP1例例.5.8 l把把A 的的 n 个线性无关的特征向量作为列向量所个线性无关的特征向量作为列向量所构成的矩阵构成的矩阵P就是

40、可逆矩阵，满足：就是可逆矩阵，满足：2211BAPP141100011)(321pppP2121BAPP114100011)(321pppP例例5.9. 设设 ，求可逆阵，求可逆阵 P，使，使P1AP = L L 对角阵对角阵. .011101110A 211|11(1) (2)11AEl llllllllll l l解：解： 求得求得 A 的特征值的特征值 l l1 = 2， l l2 = l l3 = 1 23111, 001xxxx 当当 l l2 = l l3 = 1 时，时， 解方程组解方程组 (AE) x = 0解得：解得：当当 l l1 = 2 时，时， 解方程组解方程组 (A + 2E) x = 01111x x 解得：解得：l显然，有显然，有x x1x x2 ， x x1x x3 。l一般地，对称阵的属于一般地，对称阵的属于不同特征值不同特征值的特征向量都是的特征向量都是正交正交的。的。令令 ，则，则 123111(