北师大版(文科数学)立体几何单元测试

1、6.已知在三棱锥面积为中,平面 ，,则此三棱锥外接球的表1.2.3.4.5.、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）立体几何A.B.D.C.如图， 格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三 视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.7.如图，在边长为 面体的体积为1的正方形格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多A.B.C.D.151312已知正三棱柱底面是正三角形， 且侧棱垂直于底面 的底面边长为4,侧棱长为 一，则该正三棱柱外接球的表面积为俯视图A.B.C.D.8.一个四棱柱的三视图如图所示,该四棱柱的体积为在四面体接球的表面积为A.-中,B.C.-一个空间几何体的三视图

2、如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A.B.C.D.若空间中三条不同的直线平面D.,则下列结论一定正确的是BAG,则该四面体外9.10.A. 12B. 24C. 36D.48A.B.C.既不平行也不垂直D.相交且垂直若A.C.是两条不同的直线,如图，矩形是两个不同的平面，则下列命题正确的是B.若D.若ADFE ,矩形段DE上存在点P使得CDFG ,正方形ABCD两两垂直，且,则边CG长度的最小值为A. 4B.C. 2,则D.11.在正方形 格中，某四面体的三视图如图所示为1,那么该四面体的体积是A.一B. 16C.1D. 32如果小正方形格的边长18 如图，在三棱锥 ABC-A 1 B1C1

3、中，4ABC 是边长为4的正三角形，侧面 BB 1 C1 C是矩形，D, E分别是线段BB 1 , AC 1的中点.(1 )求证：DE /平面 A1 B1 C1 ;(2 )若平面 ABC，平面 BB 1 C1C, BB 1 =8 ,求三棱锥 A-DCE 的体积12.如图，各棱长均为的动点，且1的正三棱柱平面,分别为线段,则这样的MN有A. 1条B. 2条C. 3条D.无数条上二、填空题(本大题共 4小题，共20.0分)13 .若正四棱锥内接于球O,且底面ABCD过球心O,设正四棱锥的高为1,则球O的体积为 球的体积公式为-14 .中国古代数 瑰宝九章算术中有这样一道题：“今有堑堵底面为直角三角

4、形的直棱柱下广二丈，袤一k八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为直角三角形的直棱柱，底面的直角边长宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”已知 1丈为10尺，则题中 的堑堵的外接球的表面积为 平方尺.15 . 一个圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为120。的扇形，则该圆锥的体积为 16.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为三、解答题(本大题共 6小题，共72.0分)17.如图，在三棱柱中， 平面 ，点D为AB的中点.证明： 平面 ； 求三棱锥的体积.18.如图，在四棱锥求证：平面 求三棱锥中,平面PAB ；的体积.底面ABCD,底面

5、ABCD为矩形,21.如图，四棱锥E为PC中点.底面为等腰梯形,证明： 平面PAB;若 平面 ，切值为求四棱锥的体积V.占) 八 、,直线PB与平面ABCD所成角的正19.如图，四棱锥证明直线求四面体中， 平面为线段AD上一点, 平面PAB；的体积.中，E、F分别为20.如图，在棱长为2的正方体,的中点.求证： 平面 ；求证：；求三棱锥的体积.DB 1 / EF , DB 1 =EF ,1. A2. B3. A4. D5. A6. D7. A8. C9. D10. D11. A12. D四边形DB1FE为平行四边形,13.DE/ FB 1 ,14.15. DE平面 A1 B1 C1 , FB1

6、平面 A1 B1C1 ,DE/平面 A1 B1 C1 ;16.12 兀(2 )解：: E是线段AC1的中点,17. 证明：连接在三棱柱交 于点。，连接OD.Ci中，四边形是平行四边形.点O是的中点.点D为AB的中点,D平面平面平面解:在三棱柱中,平面ABC,得平面平面ABC.又平面平面平面点C到平面的距离为CD,18. (1 )证明：取A1C1的中点F,连接EF、取BC中点M ,连接AM ,平面 ABC，平面 BB1C1C,平面 AB3 平面 BB 1 C1 C=BC , AM 平面 ABC , AM，平面 BB 1C1 C,.ABC是边长为4的正三角形,AM=(1 )取A1 C1的中点F,连

7、接EF、FB1 ,由三角形中位线定理可得EF / AA 1 , EF= 2ABC-A 1 B1 C1中，由D是线段 BB 1的中点，可得 DB 1 / AA 1 , DB 1 =-为平行四边形，则 DE / FB 1 ,再由线面平行的判定可得DE /平面A1B1C1 ;(2 )由E是线段AC 1的中点，可得Ki-，从而得到四边形 DB1FE,求出棱锥A-CDC 1的体积得答案. E 是线段 AC 1 的中点，EF / AA 1 , EF=-在三棱柱 ABC-A 1 B1 C1中，D是线段BB 1的中点,本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是

8、 中档题.DB 1 / AA 1 , DB 1 =上证明面 ABCD平面面PAD平面面BDE平面PAB平面平面平面过E作FB到平面垂足为面 ABCD取CD中点MFM在正方体平面F到平面的体积为的体积平面四棱锥平面所以四边形PC的中点PAB的中点BPTPAB平面所以平面PABPABn平面PAB为PC的中点AE的体积四面体的体积1由三视图还原原几何体如图的中点21.F分别为证明平面平面平面N为PC的中点知20.证明平面PAB平面ABCD知平面DEF22.证明：由于EF为乙19.证明ABFD为平行四边形，所以平面PAB面PAB,所以所以，四棱锥四边形AMNT是平行四边形到平面ABCD的距离为PB与平

9、面ABCD所成角为BC的中点E的距离为hPAB,所以取BC中点F,连接DF、EF中位线，所以，M到BC的距离为DEF ,所以该几何体为组合体，是把半径为 2的球体切去然后放上去一个三棱锥,4.解：由几何体的三视图得到该几何体是如图所示的三棱锥该几何体的体积为故选：A.由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，是把半径为2的球体切去然后放上去一个三棱锥，然后利用球的体积公式及棱锥体积公式求解.本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档 题.C,其中,底面2.解：如图,则 的中点正三棱柱取 的重心 ，O是该正三棱柱外接球的球心,的底面边长为4,的重心,取AC中点D, OA为

10、球半径，侧棱长为该正三棱柱外接球的表面积:故选：B.取 的重心 ，的重心 ，取AC中点D,则 的中点。是该正三棱柱外接球的球心,OA以CA、CB、CP为三条棱构造长方体, 则该几何体的外接球即长方体的外接球,该几何体的外接球的半径该几何体的外接球的表面积:故选：D.由几何体的三视图得到该几何体是如图所示的三棱锥底面 ，,以CA、CB、CP为三条棱构造长方体，则该几何体的外接球即长方体的外接球，由此能求出该几何体的外接球的表面积.本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查几何体的三视图、球等基础知识，考查运算求解能力，考 查函数与方程思想，是中档题.5.解：空间中三条不同的直线故选：A.由 .本

11、题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想 象能力，是基础题.为球半径，由此能求出该正三棱柱外接球的表面积.本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，考查正三棱柱、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函 数与方程思想，是中档题.6.解:平面为长宽高的长方体的外接球,3.解:取AC中点D,连接平面SDB.为二面角中，平面取等边平面球半径的中心E,则E为该四面体外接球的球心,该四面体外接球的表面积故选：A.取AC中点D,连接面体外接球的球心，球半径 表面积.，可得：三棱锥外接球等同于以故三棱锥外接球等同于以 故三棱锥外接球的表面积,取等边 的中心E,则

12、E为该四,由此能求出该四面体外接球的本题考查四面体的外接球的表面积的求法，考查四面体、球等基础 知识，考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合思想，是中档 题.为长宽高的长方体的外接球,根据已知求出球的半径，是解答的关键为矩形，ABFE、CDEF为全等的等腰梯形,三角形AED、BFC为全等的等腰三角形，分别过把五面体分割为直三棱柱则该多面体的体积为与四棱锥故选：A.由三视图还原原几何体，可知原几何体为五面体，其中 三角形AED、BFC为全等的等腰三角形，分别过属于中档题.E、E、F作垂直于 AB的截面,ABCD为矩形，ABFE、CDEF为全等的等腰梯形, F作垂直于AB的截面，把五面体分割为直

13、三棱柱与四棱锥,然后利用棱柱与棱锥的体积公式求解.本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.最小值，从而得出a的最小值.本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.8.解：由三视图还原原几何体如图:11.解：由三视图还原原几何体如图:ill1 11 . Ia该几何体为四棱柱，底面其中ABCD为直角梯形，,侧棱该四棱柱的体积为该几何体为三棱锥，侧面 底面ABC为直角三角形,PAC为等腰三角形，且平面平面 ，故选：C.由三视图还原原几何体，,侧棱本题考查由三视图求面积、9.若若若解:故选D.可知原几何体为四棱柱，底面ABCD为直角梯形, ,然后代入棱柱体积公式求解.

14、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.，则m与可能平行也可能相交，故 A错误；其中或 或n与相交，故B错误；，则 或与相交，故C错误;，则 ，故D正确.根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断.本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，属于中档题.10.解:为坐标轴建立空间坐标系，如图所示:，则-即该四面体的体积是故选：A.由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧面PAC为等腰三角形，且平面平面 ，显然当的最小值为 故选D.时,取得最小值12,建立坐标系，设列方程得出关于x的函数，根据x的范围求出,底面ABC为直角三角形,然后由棱锥体积公式求解.本题考查由三视图求面积、12.解：如图

15、，任取线段过G作 的平行线，与任取线段上一点M ,与一定有交点N ,且体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.上一点M, 一定有交点过M作平面不本题考查了空间线面位置关系，转化思想,13.解：正四棱锥正四棱锥的高为球O的半径球O的体积:故答案为:推导出球O的半径过M作N,且平面交BC于G,则这样的MN有无数个.,交AB于H ,过H作,则这样的MN有无数个.属于中档题.交BC于G,过G作的平行线,内接于球。，且底面 ABCD过球心O,1,由此能求出球。的体积.0C.该球面的表面积S=4=12冗.故答案为：12 7t.先求出该正方体的棱长a=8=2,再求出球半径R= =本题考查正四棱锥的外接球

16、的体积的求法，考查正四棱锥、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数 与方程思想，是中档题.14.解：今有底面为直角三角形的直棱柱，底面的直角边长宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺,题中的堑堵的外接球的半径：行，由此能求出该球面的表面积.题中的堑堵的外接球的表面积为故答案为：题中的堑堵的外接球的半径：,由此能求出题中的堑堵的外接球的表面积.本题考查球的体积的求法，考查新定义、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与 方程思想、数形结合思想，是中档题.【解析】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，考查正方体、球等基础知识，考查运算求解能力 ,考查函数与方程思想，是中档题.7.

17、 连接 交 于点O,连接由，可得平面进一步得到平面用等积法求三棱锥的体积.可得，再由线面平行的判定可得，平面在三棱柱中，由线面垂直的判定可得平面可得点C到平面的距离为CD,求得再利解：如图,设圆锥的底面半径为r,则一'*，得r=1则圆锥的高h='%TJ2皿.I n L_耳乂 I上乂4V少= 、77圆锥的体积V= 3 1' _3.本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题.18.法一、 由已知可得再由面面垂直的性质可得平面 则；作，垂足分别为 ，过，分另I作，交BC分别于，连接， ， 可知在平面EHK的射影为，分别求出三角

18、形 ABE与三角形HKE的面积，可得 再由平面ABE与平面CDF所成二面角为，利用倍角公式求解. 法二、 证明：建立如图所示的空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到，,由可得；分别求出平面 ABE与平面CDF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的角的余弦值. 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查二面角的求法，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题.19. 推导出，从而 面PAD,进而，再由，得 面PAB,由此能证明平面平面PAB.过E作，垂足为F,则，推导出 面ABCD,由此能求出三棱锥的体积.本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想