如何用空间向量求解二面角

1、如何用空间向量求解二面角万立勇（河南省信阳市新县高中，465550）求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面 法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是 向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还 是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。 本文 就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题.对于空间向量7、b,有cos<a, b= _a ' .利用这一结论, |a| |b|我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题.例1 （2005年全国高考理科试题）在四棱锥V-ABCD

2、K 底 面ABC星正方形，侧面VA虚正三角形，平面VADL底面ABCD求 面VADW面VD所成的二面角的大小.证明：建立如图空间直角坐标系，并设正方形边 长为1,依题意得 AB= （0 ,1,0）,是面 VAD的法向量，设n= (1 , y, z)是面VDB的法向量，则T3n VB = 0,n VB、0.y - -1,_73= n = （1， 1，一卷）Z3.3coscAB, nab'.=_叵, |AB| |n|7又由题意知，面VADW面VDBJf成的二面角为锐角，所以其大小为arccos且 7A1Ci例2 (2004年全国高考四川、云南、 吉林、黑龙江理科数学试题)如图，直三 棱柱

3、ABC-ABC 中，/ACB=90> AC=1 CB=2 ,侧棱AA=1,侧面AABB的两条对角线交点为D, BCi的中点为M.求证CDL平面BDM求面BBD与面CBDJf成二面角的大小.解：略1-y如图，以C为原点建立坐 标系.设BD中点为G,连结B© 则依 G(W2, 1,1), BD=(-4441, I), BG =(-近，-/. BD - b1g = 0 ,BDL B1G.又CD! BD,.CD与B1G的夹角e等于所求二面角的平面角.CD B1G 、3COS =1二3|CD| |B£|所以所求二面角的大小等于n-arccosq例3 （2004年天津高考理工试题

4、）如图，在四棱锥 屋ABCD中,底面ABC崖正方形，侧棱PD1底面 ABCD PD=DC E是 PC的中点，作EF，PB交PB于点F.求二面角C- PB-D的大小解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC 二 a设点F的坐标为（x。，y。，z。）， PA = P?,则yc Z0 a) = ,，(a, a, -a).从而 X0=>q, yo=Ka, z0=(1九)a.所以f a a11PE =(-X), - -y0, 24)二(一九a,( 3K)a,(九-2)a) .由条件EF，PB知，PE PB = 0,即一，a2 +(- - ?L)a2 -(X -)a2 =0 ,解得九=【.

5、 223点 F 的坐标为(2,a, 2a),且露=(a,a, a), 3 333 66 aFD «3,2a、2222PB FD=>V9=0，即PB_LFD,故NEFD是二面角C PB- D的平面角.忘.奇=1_JJ土 且建Ma!+al+h=逅a, 91896.936 366二 cos EFD2a_PE FD _6|PE|FD卫Na631二 EFDji3所以，二面角C-PB-D的大小为3例4已知三棱柱OAB 一Oi A1B1中,平面OBB1O1，平面 OAB, / AB =901 / QiQB=60s, 且 OB=OO尸 2, QA = T3 ,求二 面角O1 AB- O的大小.

6、解：以。为原点，分别以OA, OB所在的直线为x, y轴,过。点且与平面AOB垂直的直线为Z轴，建立空间直角坐标系.如图，则 0(0, 0, 0), Oi(0, 1,系)，A(V3, 0, 0), Ai(后, 1,阴),B(0, 2, 0).冠=(出，1, <3) , AB= ( V3 , 2, 0).显然0Z为平面AOB的法向量，取7 = (0,0,1),设平面OiAB 的法向量为nl = (x , y, Z),则Tn c T 一八n2 - AO1 = 0 , n2 - AB = 0 .即 j 73X +y +V3z =0 ,令 y =5 x = 2 , z = 1 ,则於(2 , -<3x +2y=0百，1).n