导数讨论含参单调性习题(含详解答案)

1、百度文库让每个人平等地提升自我m(x + n) f(x) = lnxzg(x) =(m > 0)1 .设函数x + 1(1)当m = l时,函数y = f(x)与y = g(x)在x = l处的切线互相垂直,求n的值：(2)若函数Y = f(x)-g")在定义域内不单调，求m-n的取值范围：2axf() f(e ) + f() < 0(3)是否存在正实数a,使得x2a对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a：若不存在，请说明理由.2 .已知函数)=触+ 1) + 3£枇3是他)的导函数，e为自然对数的底数.(1)讨论g(x)的单调性：(2)当a>

2、e时，证明：g(e-a) > 0.(3)当a>e时，判断函数)零点的个数，并说明理由.b f(x) = a(x + -) + blnx3 .已知函数x (其中，a,b£R).(1)当b = Y时，若f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围：(2)当a = T时，是否存在实数> 使得当xWeM时，不等式6) > 0恒成立，如果存在, 求b的取值范围，如果不存在，说明理由(其中e是自然对数的底数，e = 2.71828-).4 .已知函数8") = *? + 1。仪+ ),其中2为常数.(1)讨论函数g(x)的单调性;g(xj + g(x2) X,

3、 +X2 > g()(2)若g(x)存在两个极值点x”2,求证：无论实数a取什么值都有22 .5 .已知函数f(x) = ln(e' + a) (a为常数)是实数集R上的奇函数,函数g(x) = *(x) + sinx是区间-1，11上的减函数.(1)求a的值：(2)若g(x)4t?+入t + 1在xWHL, 1及人所在的取值范围上恒成立，求t的取值范雨：Inx 2=x -2ex + m(3)讨论关于x的方程«)的根的个数.6 .已知函数 / (x) = 6lv - In X, F (x) = ex + cix,其中 xO,avO.(1)若/(力和尸(X)在区间(On3

4、)上具有相同的单调性，求实数。的取值范围：1 1(2)若 £ 一叫一二，且函数g(x) = x*T2m- + /(x)的最小值为M，求M的最小值.7 .已知函数/(x) = eE-lnx.(1)如x = l是函数的极值点，求实数机的值并讨论的单调性/(幻：(2)若x = x0是函数/*)的极值点，且/(x)NO恒成立，求实数机的取值范围(注: 己知常数。满足alna = l).V"8 .已知函数/(x) = ln(l + mx) + -"n，其中0加工1.2(1)当加=1 时，求证：-IVXWO 时，/(x)y ；(2)试讨论函数y = /(x)的零点个数.9 .

5、已知e是自然对数的底数，F(x) = 2e+ x+Inx,/(x) = (x-1)+3.设T(x) =尸(x)/(x),当a = l + 2/时，求证：T(x)在(0,+。)上单调递增;(2)若Vx'l,/(工)之f(x),求实数”的取值范围.10 .已知函数/(x) = e'+ax-2(1)若 =一1,求函数/(1)在区间1,1的最小值：(2)若£凡讨论函数x)在(0,yo)的单调性；(3)若对于任意的xvx2 e(0,+s),且内 x2i都有/($) + " 再.(/)+ 成立，求。的取值范围。2百度文库让每个人平等地提升自我参考答案&a =1.

6、 (1)“:5；(2) m-n>3： (3)2 .【解析】.1 - ng(x) =试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率：当m=1时，(x+1),1 - n k = .可知y = g(x)在x = i处的切线斜率4 ,同理可求得f'(i) = i,然后再根据函数y = f(x)与1- nX 1 =_ y二g(x)在X = 1处的切线互相垂直，得4,即可求出结果.1x + 2 - m(l - n) +- .xY ="x)-g(x)=(2)易知函数y=f(x)-g(x)的定义域为。+ 8),可得(X+1),由题意,1 1x + 2 - m(l - n)

7、+ -x + 2 - m(l - n) + -x在+)内有至少一个实根且曲线与x不相切，即x的最小m + (l-n)2 N m(l - n) > 4值为负，由此可得向1-川>4,进而得到 4,由此即可求出结果.2ax11h(x) = f()-f(e ) + f()h(x) = aln2a - alnx- a + - k(x) = aln2a - alnx - a + -令 x2a ,可得x,令x,则. a 1 ax +1k(x) =< 0x x， x? ,所以k(x)在区间。+ 8)内单调递减，且k(x) = 0在区间(0, + 8)内必存1lnx0 =+ In2a -1在实

8、根，不妨设k(xJ 二 °,可得 axo , (*),贝Mx)在区间(0，x°)内单调递增，在区间“o +8)内单调递减，1 h(xn) = axn + -2.h(%x = h(x°), h(x°) = (ax0 - Din2a - (ax0 - 1卜叫,将(*)式代入上式,得叫.使f() f(eax) + f()< 0h(x0) = ax0 + -20得x2a对任意正实数x恒成立，即要求axo 恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解析：,1 - ng (x)=(1)当m : l时，(x+1),1 - nk =：.y = g(x)

9、在x = 1处的切线斜率4 ,得f'=1,(2)易知函数y=面)-虱灯的定义域为。+ 8),1?x + 2 - m(l - n) +-.1 m(l - n) x + 2 - m(l - n)x +1xy =f(x)-g(x)=-=；=又x (x + 1)x(x+1)(x +1)1x + 2 - m(l - n) + -由题意，得x的最小值为负，.(注：结合函数丫 = 乂，2-01(1.)卜+ 1图象同样可以得到),m + (l-n)2N m(l - n) >4-4.m + (1 - n) >4. /em - n > 3.2a 打 xh(x) = f(一)-f(e )

10、+ f(一) = ax-ln2a - axdnx + Inx - In2a令 x2a，其中x>0用>0,. 1h(x) = aln2a-alnx-a + -则x1k(x) = aln2a - alnx- a + - 则x. a 1 ax +1k(x) =< 0则 x x2 x2 ,k(x)在区间(0, + 8)内单调递减，且k(x) = °在区间(0, + 8)内必存在实根，不妨设k(x°)= 0,1 1k(x0) = aln2a -alnx0 -a + = 0 lnxQ =+ In2a 1即xo ,可得 axo , (*)则h(x)在区间(°入

11、)内单调递增，在区间(x()+ 8)内单调递减，.h(x)max = h(xo)h(x)= (ax - l) ln2a-(ax - l)-lnx ，t1h(x0) = ax0 + 2将(*)式代入上式，得aXo.1h(x0) = ax0 + -2<0根据题意axo 恒成立，1 1ax0 + 2 2ax0 =又二 axo ,当且仅当ax。时，取等号，11 1xn = -ln-= In2a/. a,代入(*)式，得a1-=2a即a ,又a > 0,- 2 , .存在满足条件的实数a,且a - 2 .点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以求函数最值 的方

12、法，一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅 助函数f（x）,利用f（x）>m恒成立of（x）min>m； f（x）<m恒成立of（x）max<m,即可求出参数范 围.2.（1）当时，目仅）在 + 8）上为减函数：当a>°时，目仅）的减区间为a ,增区1（一,+ 8）间为a :（2）证明见解析：（3） 一个零点，理由见解析.【解析】, a 1 ax-1 g（x） =-=-,试题分析：（1）讨论函数单调性，先求导x x x ，当24°时，8口）<0,故虱X）在（0, + 8）1 1 1,x > 一（0,

13、-）（, + °°）上为减函数：当a>。时，解g（x）>°可得a,故g（x）的减区间为a,增区间为a :（2）根据8（屋）=4+葭 构造函数，设h（x） = e°x2, h（x） = ex-2x,当x>e时，h（x）>0,所以h（x）=e'-x?是增函数，h（x） = ex-x? > ee-e? > 0t得证：（3）判断函数的零点个数，需要研究函数的增减性及极值端点，由(1)可知，当a>e时，g(x)是先减再增的函数，其最小值为111I1.a 1 ：g(-) = aln- + a = a(ln- + 1)

14、 <0"e < -< ea a a，而此时g(e) = "e >。£佗)>0,且 a，故g(x)恰有两个零点4，从而得到f(x)的增减性,当(。叫)时，f(x) = g(x)>0：当xJXiR时，f(x) = g(x)<0：当仅2，+8)时，f (x) = g(x) > 0,从而f(x)在X2两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值 电J<°,所以函数不可能有两个零点，只能有一个零点.试题解析：. 1 g(x) = f (x) = alnx + -(1)对函数*x)求导得x,. a 1 ax -1 g

15、(x) =X v v 当a 40时，g(x)<0,故g(x)在(0, +8)上为减函数:1 1 1x > (0，-)(一，+ °°)当时，解g(x)>0可得 a,故g3的减区间为a,增区间为aa 2 ax 21 x(2) g(e' ) = a +e ,设h(x); e -x ,则h(x) = e -2x, 易知当x>e时，h(x)>0,x 2 e 2 ch(x) = e -x >e -e >0.(3)由(1)可知，当时，8仅)是先减再增的函数,111g(-) = aln- + a = a(ln- + 1) <0 其最小

16、值为aaaii1e a < -< ea而此时gK)T + e °>0, g(eO>0,且 a ,故g(x)恰有两个零点x/、.当x(0' xj时,f (x) = g(x)> 0.当X(X1，4)时,f (x) = g(x)< 0.当XW(X2, +8)时,f(x) = g(x)>0t1 X. e(0> -) ，f(x)在X' X?两点分别取到极大值和极小值，且 a ,1 1g(xj = alnx- + = o a =由X1 知 XllnXl,1f(x1) = (ax1+ l)lnxL ax】+ 3 = lnx1 + +

17、2,.Inxl ,1 1 1lr)X + S2 lr)X + =-2 x =_.lnX<0, . 叫 ，但当 叫 时， e,则 = ,不合题意，所以 故函数f(x)的图象与x轴不可能有两个交点.函数f(x)只有一个零点.e2 b 6 (.+ 8) 3. (1) (-8,0Ul, + 8)；(2)存在，且 e-1【解析】试题分析：(1)当b = -4时，首先求出函数的导数，函数的定义域是(。，+ 8),得到r ax2-4x + 4a f(x)=X ,分a 4 0和a > °两种情况讨论讨论二次函数恒成立的问题，得到a的取值 2 , -x + bx + bf(x) = 2范围

18、；(2)X，分b 4 °和b > °两种情况讨论函数的单调性，若能满足当X E e,e 时，当满足函数的最小值大于0,即得到b的取值范围.4.4 4 ax2 - 4x + 4ax > 0,f(x)= a(x T 4lnx,f (x) = a(l + )-=试题解析：(1)由题XX? X X2当a 4 0时，知f'(x)<0,则f(x)是单调递减函数：当a>°时，只有对于x>。，不等式ax?-4x +4a 2 °恒成立，才能使f(x)为单调函数，只需 = (-4)2-16a2<0,解之得a或a 2 1,此时 Cl

19、.综上所述，a的取值范围是(-8,0U：l, + 8)b. b b - x2 + bx + bf(x) = blnx-x- x>0/f(x) = -1 + =(2)x,其中x x x()当b40时，f(x)<0,于是f(x)在(。,+ 8)上为减函数,则在归3上也为减函数.b 1f(x)max = f(e) = b-e-=(l-)b-e<0知G e恒成立，不合题意，舍去.b + 忖 + 4b(ii)当b>0时，由f(x)二°得2,列表得Xb + Jb44? + 4b)b + 忖 + 4b2b + Jb2 + 4b(2, + 8)f,(x)+0-f(x)71最大

20、值b + Jb2 + 4be2< e 0 < b 弓2若 2 ，即 e + 1,则f(x)在e,e上单调递减.b 111 e2 -2eJ(x)mHf(e)= b-e：=(，*e (匚)b-=(二不知e e,而e +1,于是f(X)max<°恒成立，不合题意，舍去.b + Jb2 + 4b .62>e b>若 2 ，即 e +1.b + b + 4bb + 旧 , 牝“、二)# 8)则f(x)在2 上为增函数，在 2上为减函数，f(e)>0, 要使在卜3恒有f(x) >。恒成立，则必有f(e?) > 0,24ke e. bb >=,

21、b - e - - > 0,e-1 ©32,I 212be2b -e ->0,b >.则 e2 ，所以 2e2-lb e (, + 8)综上所述，存在实数e-1,使得f(x)>0恒成立.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题：(2)若f(x)>0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 耳%>° ,若f(X)<0恒成立=也1<0 .(3)若f(x)>g(x)恒成立,可转化为f(X)min>g“)max .4. (1)当-Q" a42

22、时，g(x)在区间(-a,+ 8)上单调递增;-a-Ja ，显然x】<X2-2 -a + Ja2-2-a-Ja2-2 -a + Ja2-2当a也时，g(x)在2'2上单调递减，在2'2' 上单调递增；(2)见解析.【解析】试题分析：(1)先求导数，研究导函数在定义域上零点情况，本题实质研究 y = 2x2 + 2ax + l在(-a, + 8)上零点情况：当方程无根时，函数单调递增：当方程有两个相等 实根时，函数单调递增：当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定1cY Y Xi + X2 = a,XX2 = 单调区间，(2)先由(1)知a>

23、M,且两个极值点满足2.再代入化简g(Xi)+ g(x?)Xj + x2 a2i|n2a21 In2>g() -Ina - + >0h(a) = - Ina+ 22得422，利用导数研究42 2单调性，最后根据单调性证明不等式.试题解析：(1)函数的定义域为(-a，+ 8).12x2+2ax+lg'(x) = 2x += 22x + a x + a ,记h(x) = 2x + 2ax +1,判别式= 4a -8当A = 4a2-8W0即油一弓5时，h(x)2 0恒成立，g1x) 2 0,所以g(x)在区间(-a, +-)上单 调递增.a - Ja2- 2当a也或a、5时，方

24、程2/ + 2ax + l=0有两个不同的实数根记2 t(i )若a <-也,h(x) = 2xg(xj + g(x2) +2ax + 1图象的对称轴2>0,h(-a) = h(0) = l>0e两根X”曜区间。-a)上,可知当x>-a时函数h(x)单调递增,h(x)>h(-a)>0,所以g'(x)>0, 所以g(x)在区间(叫+河上递增.a厂2x =- - < 0(ii)若 a>42,则 h(x) = 2x +2ax + l 图象的对称轴2, h( - a) = h(0) = 1 > 0.,所以a<xi<x2,当

25、X<x<X2时，h(x)<0,所以g'(x)<o,所以g(x)在上单调递减当-a<x<X 或xf时，h(x)>0t所以g1(x)>0,所以g(x)在(.>g(一 所以 225. (1) a = 0： (2)(3)详见解析.【解析】 试题分析：(1)根据奇函数定义可得We +a)=-ln(e +a),再根据恒等式定理可得a=0. (2) 由函数g(x) = M(x) + sinx是区间-L 1上的减函数,得其导函数恒非正，即入4-cosx最小值-1,冬)，仅2，+ 8)上单调递增.-a - 32-2 - a + Ja2- 2)(&qu

26、ot; a,2上单调递减，在),(2"8上单调递增.(2)由(1)知当"晚时，g(x)没有极值点，当a>也时，g(x)有两个极值点乂标2,且l + x211X2 = 2222g(xj + g(x2) = X + ln(x1 + a) +x2 + ln(x2 + a) = a -1 - In2g(xj + g(x2) a2-l- In2 xi + x2g(2 又 2a aa)=g(一)二一+ 姑一242,g(xj + g(x2) X1+ X2 1a21 In2)=" I na -一+ 42 22ah(a) = Ina -.记 41 In2综上，当酒"

27、4根时，g(x)在区间(-a/-)上单调递增：当时，g(x)在a 1 a2-22 厂 1 In2h*(x) = - - - => 0h(j2) = - - Inj2 - - + = 02 a 2a，所以h(a)在a >y2时单调递增，42 2，所以h(a)>0,而g(X)# + M + l在XW-L 1恒成立等价于g3max4 + H + l ,从而有(t + 1)入+ t2 + sinl + 1对对人<-1恒成立，再根据一次函数单调性可得只需端点处函数值非负Inx fjx) = 即可，解不等式组可得t的取值范围(3)研究方程根的个数，只需转化为两个函数 x ,Inx2

28、f (X)=Mx)= x .2ex + m交点个数，先根据导数研究函数】x图像，再根据二次函数，2")=X? - 2ex +伽上下平移可得根的个数变化规律试题解析：(1) f(x)= ln(e' + a)是奇函数，则ln(e ' + a) = ln(e' + a)恒成立，. (e x + a)(ex + a) = 1, gpl + ae x + aex + a2 = 1, a(ex + e x + a) = Ot - a = 0(2)由(1)知f(x) = x,g(x) = Ax + sinx, rAg(x) = A + cosxt又g(x)在-1，Q上单调递

29、减,.g(x)= g( 1);入-sinl ，且g(x)=人+ COSX4 0对1恒成立，即入S-cosx对x£-l. 1恒成立，,入 4-1 ，.8仅)人2 + 乂 + 1在*-1, 1上恒成立，- -X-sinl<t2 + Xt + lf即(t + 1)A + t2 + sinl + 1 2 0对入 4-1 恒成立，t+l<0令h(入)=(t + 1)A + t2 + sinl + 1(A 4-1),则 -1 -1 + * + sinl + 1 >0,t <-1 22A t -t + sinl>Ot 而t t + sinl2 0恒成立， t4-lIn

30、x 2 =x - 2ex + m(3)由(1)知:x,.方程为xInx2x f2(x) = x - 2ex + m 1 - Inx当xW(O, e)时J")叫 JM在(o, e上为增函数: 当xee, +8)时，f")"0, .J(x)在。e)上为减函数:1当x = e时，叫叫 e, wf2(x) = (x-e) 12 1m -e <- m < e + -当 e,即e时，方程有两个根.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一 端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数, 另一

31、端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数 后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.6. (1)例的最小值为0.(-qo,-3.【解析】 + m-e/.函数6"、，2(X)在同一坐标系的大致图象如图所示，m - e >- m > e + -.当 e,即e时，方程无解：2 12 1m - e =- m = e + -当 ©，即©时，方程有一个根：试题分析：(1)由/'(八) = -1 =竺二，尸'(工)=，+,工>0=/'(式)<0在(0,y)上 X X恒成立

32、二>/(、)在(O,+s)上单调递减二>当一 144<0时，尸'(x)>0,即尸(X)在(0,«o)上单调递增，不合题意：当“V1时，利用导数工具得f(x)的单调减区间为(O,ln(r/),单调增区间为(in(-a),e) Ax)和尸(x)在区间(0n3)上具有相同的单调性二> ln(-«)>ln3=>«<-3=>n的取/、11值范围是(yo，-3 ： ( 2 )由 g'(x) = (o¥ + l)=0=> a =,设/x/?(.¥)= - ,/?/(%)=V, 利 用

33、 导 数 工 具 得Xx=(/) = ?=> <匕叱 > eaT-'-<0 ,再根据单调性 eaag(x)mg2)设 / = -(0,6>2J,1g-j =/?(/) = X-lnr +1(0=> /(r) = -!7-<o,/(r)在(0,e上递减=>力«)之/(/) =()=>、的最小值为0.试题解析：(1)f'(x) = a- = _-,F'(a) = ' +a,x> 0, X X,.,4<0，r(x)v0在(0,+=o)上恒成立，即/(x)在(0,+<o)上单调递减.当一1

34、<4<0时，尸'(x)>0,即产(x)在(0,长。)上单调递增，不合题意：当 avl 时，由尸'(x)>0,得 x>ln(a),由尸'(£)<0,得 0vx<ln(a).尸(x)的单调减区间为(On(a),单调增区间为(ln(a),+8).vf(x)和F(x)在区间(0,ln3)上具有相同的单调性，A In(-«)>ln3,解得 二一3,综上，。的取值范围是(一8,-3.11 A(2 ) gx) = eax1 + axeax - « - - = ( +1)-,.1xr.m-】1八月利 1-ln

35、xz、1-lnx，/、lnx-2由e_ = 0得到=,设(幻=，P(x) =；XX' ' X' 厂当时，(x)>0；当Ovxv/时，'(x)vO.从而p（x）在（0,/）上递减，在）一）上递增.，p（x）min = d）= 一"T,当。一时，<-lnA , HP-l-<0, XX在。,一1）上，or+1 >O,g'（x） WO,g（x）递减； 设/= _1e(0,/,g -j = /2(/) = -lnr + l(0</<6,2), “（/） = 4一；4 0,0（，）在（0,/上递减./?”）2/7卜2）

36、= 0；-*8 上,4X + 1 < 0, g'(X)2。, g(X)递增. g ( A-)min.”的最小值为0.考点：1、函数的单调性；2、函数的最值；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数的最值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数 形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较 强，属于较难题型.利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等 式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究 新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.7. （1） m = -1

37、, f（x）在（0,1）上单调递减，在（1,«q）上单调递增：（2） m e -a-lna,*Q）.【解析】试题分析：（1）由X = 1是函数/（X）的极值点，得:（1）=。可得?得值，由导致和单调性的关系得其单调区间：（2）由题意知/'（x） = e'51,设/7（幻=一1,知"（x）>0得 XX/?（工）单调递增，即x = N）是/（工）=0在（0,+8）上的唯一零点，得2 = -Xo-InXo， /（x）mm = /（%）,使得/Go）、。即可,结合alna = l,得参数，范围.试题解析：（1）X=1是函数/（工）的极值点，/'（1）

38、= 0 =/“一1 = 0.、 i 1 U "7 = 1, f (x) = e=x x令 g(x) = xe J -1, g x) = e J + xgi = (x +> 0 ,，g(x)在(0,+s)上单调递增，g(x)>g(O) = -l, g(l) = O.当xe(O,l), g(x)<0：当xe(l,+<o), g(x)>0. /(x)在(0,1)上单调递减，在(I,y)上单调递增，此时，当x = l时/*),取极小值.(2) fXx) = em-,设双用XX则 口)=+> 0 . 力(幻在(0, +CO)上单调递增，x ./'(x

39、)在(0,+s)上单调递增. x = x0是函数/(X)的极值点， x = x。是/'(x) = 0在(0,y)上的唯一零点，ex''',n = => x0+ni = n => x0 + m = In x0 = ni = -x0 - In x0. % 与0<x<, /'(x)</'(Xo) = O,x>xQt /，(x)>/'(xo) = O, ./3)在(0,x0)上单调递减，在(%,)上单调递增，./(©有最小值. J'Wmin = f(x°)= e+m -nx0=

40、 + x0 + m. %/(© NO恒成立，工 + xQ+m>0, ：. + xQ> % + In ,% 为工> In x0 . T a nci = 1, ，x()< a ,m = -xQ - In xQ >-a-na97 £1-a-lna,+oc).考点：(l)利用导数研究函数的极值；(2)利用导数研究函数的单调性；(3)恒成立问题. 【方法点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以 及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立.考查函 数的单调性，由/(丫)>0,得函数单调递

41、增，/'a)vo得函数单调递减；考查恒成立问题, 正确分离参数是关键，也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为。>/?(%)或力6)恒 成立,即a> max(x)或4 < %n(x)即可，利用导数知识结合单调性求出成，%)或已inG)即 得解.8. (1)见解析；(2)当。时，有两个零点；当机=1时；有且仅有一个零点. 【解析】r3试题分析：(1)首先将7 = 1代入函数解析式，然后令g(x) = /(x) 再通过求导得到g(x)的单调性，从而使问题得证；(2)首先求得/然后求得/'a) = 0时X的值， 再对/分类讨论，通过构造函数，利用导致研究函数单调性极

42、值与最值，即可得出函数零 点的个数.试题解析：当 7 = 1 时，令 g(x) = /(x)二(-l<X<0),则 5(力=1_,当一l<x<0时，-x3 >0, l+x>0,. g'(X)之0,此时函数g(x)递增，当一 lvx<0 时，g(x)4g(0) = 0,当时，/(x)<(1Ymx x- m- -(2) f'(x)=-J，令/'(x) = 0，得须=0, x1 = m-,1 + mx- m(i)当7 = 1时，Xj = x2 = 0,由得 + x.当x>l时，l + x>0,炉30, .之0,此时，

43、函数为增函数,一1<犬<0时，/(.¥)</(0) = 0, /(0) = 0, x>0时，/(x)>/(0) = 0,故函数y = /(x),在工>一1上有且只有一个零点x = 0：(ii)当时，/» - - < 0» 且-mm m由知，当xe - -, l + /nv>0»x-1 /7? |<0 ,m niV rn)此时，r（x）NO；同理可得，当工?一5,0 , r（x）£O：当x»0时，尸（工）20：二函数y=f（M的增区间为卜蔡,?一帚和（o,+8）,减区间为1加一盛,0

44、故，当m'vxvo时，/（1）>/（0） = 0,当x>0时，/（x）>/（O） = O函数y = /“），xe?-!,+s）有且只有一个零点x = O： 又/卜一,卜皿疝一:卜广一上卜构造函数砂印标一；'；，0</<1，则""）=y（i+扑-（，）易知，对切五°），0'（/）«0，二函数 0</<1 为减函数，9(。>8(1) = 0由 0<?<1，知0<户 <1,/(?一=j > 0构造函数&(x) = lnx-x+l(x>0),则公(

45、力=上三，当0<x«l时,l(x)20,当戈>1 Xf时，k'(x)<0, .函数尸打的增区间为(0，减区间为(1,位)，A(x)义(1) = 0,11_L-i有In-<-1 < + L 贝ije 1 <nr , nr nr厂一】-L-e "-111e "-1< m-, 当一一<x<时，ln(l + ?/7A)<r-lnim mrnnr-r- X91-而nix < x -mx< 7 + l2nrx2ii由知 /(x) = ln(l + “tv) + - mx < 一一-1 + -

46、 + 1=027？-T-l又函数y = /(x)在1k m m1 e " 上递增，一一>m m由和函数零点定理知，玉0仁一一，丝二，使得/(%)=0 i in m )r-综上，当时，函数/(x) = ln(l + ?wx) + 7-皿有两个零点, 乙综上所述：当0<7<1时，函数y = /(x)有两个零点，当7 = 1时，函数y = /(x)有且仅有一个零点.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点存在性定理：3、函数最值与导数的关 系.【技巧点睛】函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本，函数的单调递增区间和单调递 减区间的分界点就是函数的极值点，在含有字

47、母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函 数的极值点把函数的定义域区间进行分段，在各个分段上研究函数的导数的符号，确定函数 的单调性，也确定了函数的极值点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原 则.9.证明见解析；(2) (-oo,41【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系推证：(2)借助题设条件运用导数 的有关知识求解.试题解析：(1) ,.« = 1 + 2jT ,7(x) = F (x)f (x),T(x)=+ 山 / 一+2-1 - 2.2/关于 x 单调 递增，X > 0,厂(x) = 2eJ-1- 2/ +1 1 > 0,

48、r (x)在(0, +oo)上单调递增. X X(2)设 H(x) = F(x)/"),则 '(x) = 2eZ+l.设(力=北1+1 +，一， .VX则 /? '(X)= 2ex - - X 之 1,/. 2/7 >2, -y>-l,/r(A)在1,E)内单调递 AA增.当xNl时，/?(x)之(1).即")244,二当4 44时，H'(x)>4-a>0.,当时，”(X)在1,+8)内单调递增.二当a44, X21时，“(X)之"(1),即F ( a) > f (x). v x > 1, H 1(a) = 2exx + + -a< 2ex-l +2-a .当 a>4 时， 由 X2万+2-a = 0 得2/7+2-。关于单调递增，二当“>4,l«xvl + ln|时，“(X)单调递减.设% = 1 + In 3 1 卜则 H< H (1) = 0, HP F(x0) < /(工0) ，7二.当。>4 时，3x() = l +