线线角线面角二面角的一些题目

1、一、复习目标1. 理解异面直线所成角的概念，并掌握求异面直线所成角的常用方法.2. 理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法.3. 掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”，思想方法是将空间图形转化 为平面图形即“降维”的思想方法.二、课前预习1在空间四边形 ABCD中, AD=BC=2, E F分别为AB、CD的中点且EF=3 , AD、 BC所成的角为 .2.如图，在长方体ABCD-ABiCiDi中,BiC和CiD与底面所成的角分别为 60°和45 BiC 和 CiD 所成角的余弦值为(A).则异面直线 )64(C).乎 (D)乎6 63.平面与直线a所成的角为孑则

2、直线a与平面内所有直线所成的角的取值范围是Di线线角与线面角习题CiB1/VCAB在AiDi一点,BFAD上不AB=2a,4. 如图,ABCD是正方形,PD丄平面ABCD,PD=AD, PA与BD所成的角的度数为(A).30°(B).45°(C).60°(D).90°5. 有一个三角尺ABC/A=300, / C=90°,BC是贴于桌面上当三角尺与桌面成 45°角时,AB边与桌面所成角的正弦值是.三、典型例题 例1.(96 全国)如图,正方形ABCD所在平面与正方形 ABEF所在平面成60°角，求异面直线AD与BF所成角的余

3、弦值.备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有： 平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”，作另一条直线平行线 或利用中位线补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容 易发现两条异面直线的关系2解立几计算题要先作出所求的角，并要 有严格的推理论证过程，还要有合理的步骤 例2.如图在正方体AG中，(1)求BG与平面ACGAi所成的角；(2)求AiBi与平面 AiCiB所成的角.备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的 射影，为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线 作垂线 的方法常采用：利用平面垂直的性质找平面的垂线.点的 射影在面内的特殊位置.例3.已知直

4、三棱住 ABC-ABiCi,AB=AC, F为棱BB上 FBi=2 : 1, BF=BC2a. (1)若 D 为 BC的中点,E为线段 同于A、D的任意一点，证明：EF丄FG; (2)试问若 线段AD上的E点能否使EF与平面BBiGC成60°角，为什么证 明你的结论.f77AACi备课说明：这是一道探索性命题，也是近年高考热点问题，解决这类问题，常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾， 从而判断命题是否成立.四、反馈练习1设集合A、B C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直 线与平面所成的角的取值范围，则(A)A=B=C(B)A=B C (C)A B C(D) b

5、 a c.2两条直线a , b与平面 所成的角相等，则直线a , b的位置关系是(A)平行(B)相交(C异面(D)以上均有可能.3设棱长为1的正方体ABCD-ABiCiDi中，M、N分别为AAi和BB的中点，则直 线CM和DiN所成角的正弦值为 .4已知a、b是一对异面直线，且a、b成60°角，则在过空间任意点P的所有直 线中，与a、b均成60°角的直线有条.5异面直线a、b互相垂直，c与a成30° 角,则c与b所成角的范围是.6/ACB=90在平面 内,PC与CA、CB所成的角/ PCA=Z PCB=60,则PC与平面 所成的角为.7设线段 AB=a ,AB在平

6、面 内,CA1 ,BD与 成30°角,BD丄AB,C D在同 侧,CA=BD=).求：(1)CD的长;(2)CD与平面 所成角正弦值.课前预习ox!61. 603. ， 5.324典型例题例 1 解:tCB/ AD/ CBF为异面直线AD与BF所成的角.连接CF CE设正方形ABCD的边长为,贝U BF= 2a t CB丄AB, EB丄AB： / CEB为平面 ABCD与平面 ABEF所成的角/ CBE/ 60° 二 CE=a FC=.2a/. cos/ CBF，4例2解:(1)设所求的角为 ，先证BD丄平面ACGA1,贝U sin =sin / OB 1OGB= =.故

7、=30°.(2) A1BC1 是正三 角形,且 A1B1=B1C1=BB.：棱锥 BG12B1-A1BG是正三棱锥.过B1作B1H丄平面 A1BG,连A1H, / B1A1H是直线 A1B1与平,. .6面 A1C1B 所 成的角.设 A1B1= a 贝U A1B= . 2 a 得 A1H=a .故 cos /3A| H J6 匕 L 土辰、rB1A1H=- =.所求角为 arccosAB33例3解:(1)连接OF容易证明AD丄面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影,且 DF丄 FC, FC丄EF(2) t AD丄面BBiGC, / EFD是 EF与平面BB1C1C所成的

8、角.在厶EDF 中,若/ EFD=60,贝 U ED=DFta n60° = (§ 石=j15a, t AB=BC=AC=2,a AD=/3a .t 15a> .3a.： E在DA的延长线上，而不在线段AD上故线段AD上的E点不可 能使EF与平面BB1C1C成60°角 反馈练习1. D 2. D 3.4. 3 5. 60° ,90° 6.45097.解:作 DD，丄 于 D，连接 AD，,BD/ .CAL ，二 CA/ DDZ .四边形 CADD 是直角梯形，/ CAD7 =Z D Dz A=900 ,AB ,ABL DD，.又 AB丄

9、BD/. AB丄平面 BDD，,BD， 平面 BDD7 ./ABLBD7 .v/ DBD7 是 BD与 所成的角，/ DBD， =300 ,BD=b, DD，=b,BD，=.在 ABD7 中,AB=a ,BDT =，/ ABD7 =900,2 2 2AD.AB2 BD3b2CD=. AD'2(ACD'D)2. a2 b2 .作 DC / DC 交 CA 于 C，/ CC D，A 是 CD 与CAD ， D 中，所成的角,sin / C，D，A=AC线面角与面面角练习、知识与方法要点：1 斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所 成的角关键是找到斜线在平

10、面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂 线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确 定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2. 二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的 平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角 的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面 角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。图 1-523. 判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。 两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于 它们交线的直线垂直于另一

11、个平面.二、例题例1.正方体ABCD-AiCD中，M为CD中点.(1) 求证：AC丄平面ABD求BM与平面ABD成的角的正切值.解: (1)连 ACvCC丄平面 ABCD/ GC丄 BD又ACL BD/ AC丄BD同理AC丄ABv ABG BD=B / ACL平面 ABD. 设正方体的棱长为a，连AD, AD交AD于E,连结ME在厶DAG中，ME/ AC,v ACL平面 ABD / MEL平面 ABD连结BE,则/ MBE为BM与平面 ABD成的角.在Rt MEB中，AC1-3ME 1 a，2_2BE.2 2 2 6MEa a2 a，/ tan MBE -26BE 2例2.如图，把等腰直角三角

12、形 ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P.(1)求证：面 ABPL面 ABC (2) 证明(1) 由题设知A= CP= BP. A点即 D AB. t PDL AB PD 面 ABPABC(2)解法1取PB中点E,连结CEBD.求二面角C-BP-A的余弦值.P在面ABC的射影D应是 ABC的外心, 由面面垂直的判定定理知，面 ABPL面DE CD BCP为正三角形，二 CEL BOD为等腰直角三角形， DEL PB. a/ CED为二面角C-BP-A的平面角. 又由(1)知，面 ABPL面ABC DCLAB A吐面ABE面ABC由面面垂直性质定理，得DCL面AB

13、P a DCL DE因此 CDE为直角三角形.123_3 T.2"截面AEC 侧面AC1 .设 BC 1，则 CE 32DE1，cos CED2DECE例3 .如图所示，在正三棱柱(1) 求证：BE EB1 ;(2) 若AA A1B1，求平面 A EC与平面A B1C1 所成二面角(锐角)的度数.证明：在截面A1EC内，过E作EGL A1C, G是垂足，如图，面 A1ECL面 AC，a EGL侧面 AC .取AC的中点F,分别连结BF和FC,由A吐BC得BF丄AC面ABCL侧面AC , a BF丄侧面AG , 得BF/ EG BF和EG确定一个平面，交侧面 AG于FG BE/侧面 A

14、C , a BE/ FG 四边形 BEGF是 Q , BE= FG a BE/ AA , a FG/ AA , AA3A FGC 解： 分别延长CE和C1B1交于点D,连结AD.B1A1C1B1C1A1 = 60°,a / dag =/ DAB1 +/ B1A1C1 = 90°，即 DA1 丄A1C1 . t CC 丄面 A1C1 B1 , 由三垂线定理得DA,丄AC,所以/ CA1C1是所求二面角的平面角.且/ AGC90ABCA1B1C1 中，EBBi ,FB圍2-6t CC = AA = A1 B1 = A C1 , a / CAG = 45°,即所求二面角

15、为 45° . 说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法.、作业：已知平面的一条斜线a与平面成角，直线b，且a,b异面，则a与b所成的角(A)A.有最小值，有最大值 -C.有最小值，无最大值 下列命题中正确的是A.过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B 无最小值，有最大值-oD.有最小值，有最大值。(D)B. 过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C. 过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D. 过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3. 一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角 分别为45°和30°,这条线段的两个端点

16、向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是(AA. 30B. 20C. 15D. 124. 设正四棱锥S ABCD的侧棱长为 2 ,底面边长为3 , E是SA的中点，则异 面直线BE与SC所成的角是(C)A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为 arctan2J2，则它的侧棱与底面所成 的角为2A是厶 BCD所在平面外的点，/ BACK CABN DAB=60°，AB=3, AC=AD=2. (I)求证：AB丄CD;(U)求AB与平面BCD所成角的余弦值.正四面体ABCD中, E是AD边的中点，求：CE

17、与底面BCD所成角的正弦值. 解过A, E分别作AH丄面BCD, EO丄面BCD, H, O为垂足， AH2OE, AH, OE确定平面AHD，连结OC, / ECO即为所求.：AB=AC=AD 二 HB=HC=HD BCD是正三角形，二H是厶BCD的中心， 连结DH并延长交BC于F, F为BC的中点， DH 2DF - a -a，在 Rt ADH中,3323在四面体 ABCD中, DAL面 ABC / ABC= 90°, AE± CD 求证：(1) EF± DC ( 2)平面 DBCL平面 AEF 证明 如图 1-83 . (1)v AD丄面 ABC 二 ADL

18、BC 又ABC= BCL AB. BC丄面 DAB 二 DB是 DC在面 ABD内 的射影.v AFL DB丄CD (三垂线定理).v AE± CD 二 CD!平面 AEF / CDL EF.(2) v CDL AE, CDL EF. / CD!面 AEF v CD二|面 BCD AEFL面 BCD(3) 由 EFL CD, AE! CD a AEF为二面角 B-DC-A 的平面 又 v AFL DB AFL CD, BDA CD= D a AFL平面二面角题目：例1 .如图所示，已知PA 面ABC , S pbc的平面角为，求证：S cos S2 .如图，在空间四边形 ABCD中，BCD是正三角形