3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义

1、复数代数形式的加减运算及其几何意义知识点一复数的加减运算1.已知复数 z134i，z234i，则 z1z2 等于 ()A8iB6C68iD68i答案B解析z1z2(34i) (34i) (33)(44)i6，故选 B.2复数 z1a4i，z2 3bi，若它们的和为实数， 差为纯虚数，则实数a，b的值为 ()Aa 3，b 4Ca3，b 4Ba 3，b4Da3，b4答案A解析由题意可知z1z2(a3)(b4)i是实数，z1z2(a 3)(4b)i 是纯虚数，故b40，a30，解得 a 3，b 4.4b0，知识点二复数加减运算的几何意义3.向量 OZ1对应的复数是 54i ，向量 OZ2对应的复数是

2、 54i，则OZ1OZ2对应的复数是 ()A 108iB108iC0D108i答案C解析由复数加法的几何意义知，OZ1OZ2对应的复数是 (54i) (54i)0.故选 C.在复平面内，复数和分别对应向量413i和OB，其中1 iOA)O 为坐标原点，则 |AB|(A.2B2C.10D4答案B解析由复数减法运算的几何意义知， 对应的复数为 (13i)(1i) 2i，AB|AB|2.知识点三复数加减运算几何意义的应用5.已知 z12(1i) ，且 |z|1，则 |zz1|的最大值是多少？解 |z|1，即 |OZ|1，满足 |z|1 的点 Z 的集合是以 (0,0)为圆心，以 1 为半径的圆， 又

3、复数 z12(1i) 在坐标系内对应的点为 (2，2)故|zz1|的最大值为点 Z1(2，2)到圆上的点的最大距离，即 |zz1|的最大值为 2 21.易错点误将复数运算当作实数运算6.M z|z1|1 ，N z|zi|zi| ，则 MN_.易错分析 本题易混淆复数运算与代数运算而造成解题错误，在复数运算中，若 zabi ，则 |z| a2b2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别答案0 ， 2解析 利用复数的几何意义解决问题在复平面内， |z1|1 的几何意义是以点 (1,0)为圆心，以 1 为半径的圆 |zi|zi|的几何意义是到点 A(0,1)和点 B(0， 1)距离相等的点的集合，是线

4、段 AB 的垂直平分线， 也就是 x 轴MN 的几何意义是 x 轴与圆的公共点对应的复数故 z0 或 z 2.MN0 ， 2 一、选择题1设 f(z)z，z13 4i，z2 2i，则 f(z1z2)等于 ()A13iB 211iC 2iD55i答案D解析z134i，z2 2 i，z1z2(34i)(2i) 55i，又 f(z)z， f(z1z2)z1z255i.2已知 z134i ，z2 52i，z1，z2 对应的点分别为P1，P2，则P2P1对应的复数为()A 86iB86iC86iD 22i答案B解析P2P1OP1OP2，P 对应的复数为：2P1z1z234i(52i) (35)(42)i

5、86i.3A，B 分别是复数 z1，z2 在复平面内对应的点， O 是原点，若 |z1z2|z1z2|，则三角形 AOB 一定是 ()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形答案B解析 根据复数加 (减)法的几何意义，知以 OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形AOB 为直角三角形x4y 的最4复数yi(x， R)满足条件 4i|，则z xy|z|z 2|2小值为 ()A2 B4 C4 2 D16答案C解析由|z4i|z 2|，得 |x(y4)i|x2yi|，x2(y4)2(x2)2y2，即 x2y3，2x4y2x22y22x2y2 234 2

6、，当且仅当 x2y23时， 2x 4y 取得最小值 4 2.二、填空题5实数 x，y 满足 (1i)x(1i)y2，则 xy 的值是 _答案1解析由题意得 xy(x y)i2，xy2，x1，xy0，y1，xy1.6已知复数z1(a22)(a4)i，z2a (a22)i(aR)，且 z1z2 为纯虚数，则 a_.答案1解析z1z2(a2a2) (a4a22)i(aR)为纯虚数，a2a20，a2a60， 解得 a 1.7 设复数 z 满足 条件 |z| 1 ，那么 |z 22 i| 的最大值是_答案4解析 复数 z 满足条件 |z|1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而 |z 2 2i|即表示单位圆上的动点到定点 (2 2， 1)的距离从图形上可得 |z2 2i|的最大值是 4.三、解答题8已知 z1(3xy)(y4x)i ，z2(4y2x)(5x3y)i( x，yR)，若 z1z2132i，求 z1，z2.解 z1z2(3xy)(y4x)i (4y2x)(5x3y)i (3xy)(4y2x) (y4x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i.又 z1z2132i，(5x3y)(x4y)i 132i.5x3y13，x2，解得x4y 2，y 1.z1(3×21) (14×2)i59i.z24 ×(1)2×25×23&