2019高考数学专题十八圆锥曲线综合精准培优专练文

1、培优点十八圆锥曲线综合1 直线过定点例 1 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆C的离心率为 2，过左焦点F且垂直于 x 轴2的直线交椭圆C于P，Q 两点，且 PQ=2.2 .(1 )求C的方程；(2)若直线I是圆 x2y2=8 上的点 2,2 处的切线，点M是直线I上任一点，过点M作椭 圆C的切线MA,MB，切点分别为A,B，设切线的斜率都存在求证：直线AB过定点， 并求出该定点的坐标.2 2【答案】(1)H1 ； (2)证明见解析，2,1 .84v f2 2【解析】(1)由已知，设椭圆C的方程为 笃爲=1 a b 0 ,a b一 _c22因为 PQ=2.2，不妨设点 P -c, 2，代入

2、椭圆方程得 学 =1 ,又因为 e，所以1，_2T=1,b=c,所以 b =4, a =2b =8 ,a 22 b2 2所以C的方程为=1.84(2)依题设，得直线I的方程为 y 一 2 - 一 x 一 2，即 x y 4 =0 ,设 M xo,y, A 刘，射,B X2,y2,由切线MA的斜率存在，设其方程为 y -y1=k x-洛，y二 k X -X1联立x2y2得，2k21 x24 k ykx1x 2y1- kx8 = 0 ,7 7=1由相切得二 16k2y1kx 8 2k2 1 % ；4 =0 ,化简得 y1-kx =8k24，即 x, 8 k2xiy1k y：-4 = 0 ,因为方程

3、只有一解，所以 k =单 竺 乞，所以切线MA的方程为为-8 -2%2y1y 一 xx1,2y1即NX 2%y =8，同理，切线MB的方程为 冷x 2y2y =8,又因为两切线都经过点 M x),y0,所以X1沟2yiy0 =8，所以直线 AB 的方程为1x2X02y2y=8XoX 2yy=8 ,2又Xoyo=4，所以直线AB的方程可化为 XoX 2 4 - Xoy =8 ,x2y=0 x=2即 Xox -2y 8y -8 =0，令，得，8y-8=0ly=1所以直线AB恒过定点 2,1 .2 面积问题2 2例 2：已知椭圆 笃y y2=1 a b 0 的左、右焦点分别为 R、F2,焦距为 4,

4、直线 li: - xa bc与椭圆相交于A、B两点，F2关于直线li的对称点E在椭圆上.斜率为-1的直线12与线段AB相交于点P，与椭圆相交于C、D两点.Jk-yi、Z/y IA z(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形ACBD面积的取值范围.【答案】(1)艺“ ；(2)3232,32328493 一【解析】(1)由椭圆焦距为 4，设 F1-2,0 , F22,0，连结EF1，设/ERF?=，则 tan :，又 a2=b2c2，得 sin ：, cos ：,caa, 2c_ sin90D_ 1_c_2a 一 EF1I I EF2sin 鳥-sin 90： ：ib . c b a?a a2 2解

5、得 a2=bc c2= b =c = 2 , a2=8，所以椭圆方程为 1 84(2)设直线I2方程：y -x+m, C 为孑、D X2,y2,33参数的值与范围例 3:已知抛物线 C:y2=2px p 0 的焦点 F 1,0，点 A 1,2 在抛物线C上，过焦点F的 直线l交抛物线C于M,N两点.(1 )求抛物线C的方程以及 AF 的值；12 2(2)记抛物线C的准线与 x 轴交于点B，若MF FN, BM BN =40，求，的值.【答案】(1) y2=4x , AF=2； (2) ，=2二，3.【解析】(1)抛物线 C:y2=2px p 0 的焦点 F 1,0 ,-号=1，则 2p =4，

6、抛物线方程为 y2=4x ;.点 A 1,2 在抛物线C上，.AF =1=2 .；22x xy _1由 T Tr ry -_x 亠 m,得 3x24mx 亠 2m2XiX2-8=0，所以XiX2 -4m32m2-83由(知直线 b : y=x，代入椭圆得A A- -2 2恳：6 6，B 36 6,36 6，得 AB=8/3T，由直线12与线段AB相交于点P，得m m4 4、6 6芦，CD =Q|xiX2= J2（xi+冷 丫 一 8xiX2=V2q吨_4（2 后一 8）=. ,9331而见=1 与 =1，知 12丄 b，二SACBD=|ABCD316 空 2 “-m +12 ,9由-;、碍6

7、6，得-,o,o，所以1616 3 3”_m2+12；- l l3232,3232,9V.93.四边形ACBD面积的取值范围32 32- -9，34(2)依题意，F 1,0，设 I : x = my 1，设 M 为，y1、N X2,y2,5r 2_4联立方程 y，消去 x，得 y2_4my 一 4 =0 .x =my T所以y yiy y2=4m=4m，且X X1訓y yi1 1,yy2=-4“=my2+1又MFFN，则 1 _冷 _% = X2-1,y2，即y _-、y ,代入得2，消去 y2得 4m2=，丄-2 ,1-；弾2=4mB -1,0 ，则 BM =为 1y , BN = X2ly

8、 ,则 BM |2BN |BN|2=説2十需2=(捲十 1 丫 +力2+(X2十 1 +y222 2 2 2二 XiX22 XiX2 i亠 2 yi目222j22=(myi1) (my21) 2 myimy22i亠 2 yiy22 2 2=m 1 yiy24m yiy?8，2j242=m 1 16m8 亠 4m 4m 8 = 16m40m16 ,当 16m440m216=40 ,解得 m2=，故，-2_3.24.弦长类问题2 2例 4：已知椭圆 Ci：X X2 2=1 a b 0 的左右顶点是双曲线a bCi的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为乜.22C2：-y2=i 的顶点，且椭圆3(1)求

9、椭圆 Ci的方程;(2)若直线I与G相交于Mi,M2两点，与C2相交于Q,Q2两点，且 OQiOQ2= -5，求【答案】2(1)y2=1 ; (2)0, 10.【解析】(1)由题意可知：a2=3，又椭圆Ci的上顶点为 0,b ,M1M2的取值范围.6J3 bx2由点到直线的距离公式有：一=- n b =1 ,椭圆方程 + y =1 .2232(2)易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 y = kx m，代入_ y2=1，消去y并整理3得：2 2 21 -3k x -6kmx-3m -3=0, 21 _3k =0 !1 _3k2= 036k -m -4 1-3k-3m -3 0m21 . 3k

10、2设 Q1X1,y1, Q2X2,y2,则有：26km-3m 3x1x?2，为 X22.1 3k13k双曲线C2的渐近线为:_ 3y =0,要与C2相交于两点，则应有:又:OQ1OQ：，所以有:11 -3k22222y1 - k；-3 m 3 1 亠 6 k mm21 -3k2= -5 ,- 2 2二 m =1 -9k，2将 y 二 kx m，代入 y2=1，消去y并整理得:3.22 21 3k x 6kmx 3m -3=0 ,要有两交点，贝 V 二 36k m -4 1 3k 3m -30-3k 1 m .由有 0：岂1 .设 M1X3，y3、M2X4, y4.有 x3x4-6km=T1 3

11、k3m23x x3& _ 13k2-1 k2-4 3m2-3 -9k292(1 +3k2)将 m2=1 -9k2代入有 M1M2二和7144 k2#(1+3k2$斗 MM =12k2(1 +k21 +3kM1M2=：、：1k222e 2236k m -4 3m -3 1 3k1 3k令 t=k2,7又 OQ1OQ2=x1x2y1y=x1x-ikx1mkx2m = 1 kx1x2km x1x2亠 m8入t di _tf 11令f f t tf f t t = =TT，t t0,0,9 9- 所以 ft 0 在 tw 0,1 1内恒成立，故函数 f t 在 tlio,1 1内单调递增,19

12、195 存在性问题2 2例 5:已知椭圆 C： 2=1 a b 0 的左、右焦点分别为a b在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程;（2）是否存在斜率为 2 的直线I，使得当直线I与椭圆C有两个不同交点M,N时，能在5J直线 y =-上找到一点P,在椭圆C上找到一点 Q，满足 PM =NQ ?若存在，求出直线I的3方程；若不存在，说明理由.2【答案】（1 1） y2=1 ； （ 2）不存在，见解析.2【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，则c=1,A1，在椭圆 C 上， 2a=|AF1卅 AF2=J（1+1$+俘 j +乎=2 丘，2- a, b2二 a2-c2=1，故椭圆C的方程为 y1 .2（

13、2）假设这样的直线存在，设直线I的方程为 y =2x t ,f y = 2x 亠 t 由2 2，消去 x，得 9y2-2ty t2-0 ,x 2y =2 % y2=这，且二 4t2-36 t2- 8 i，0 ,故 y0=凶 =-且-3：t：3,929MN的中点为 Dx x0, ,y0,故 f tF Fi i T,0 j j，F F21 11,01,0 i i，点设 M X1，% , N X2，y2,Q X4,y4,9由 PM =NQ，知四边形 PMQN 为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此D为线段 PQ 的中点,9，得2t -15又-3: t :3，可得y4：_1 ,点 Q 不在椭圆上，3

14、故不存在满足题意的直线I卜对点增分集训一、解答题1 已知动圆P过点 F2(2,0 并且与圆 匸：(x+2$+y2=4 相外切，动圆圆心P的轨迹为C.(1) 求曲线C的轨迹方程；(2) 过点 F22,0 的直线li与轨迹C交于A、B两点，设直线|：x=*，设点 D -1,0，直线AD交I于M，求证：直线BM经过定点.2【答案】(1) X2-上 1 x 0 ; (2)见解析.3【解析】(1)由已知 |PR =| PF22 , |PR -|PF2=2,P轨迹C为双曲线的右支,2a =2,a=1, |证=2c =4 ,c =22-曲线C标准方程 x - y 1x0.3(2)由对称性可知，直线BM必过

15、x 轴的定点,当直线 h 的斜率不存在时,A 2,3 , B 2, -3 ,M -,-，知直线BM经过点 P 1,0 ,2 2当直线 h 的斜率存在时，不妨设直线 h：y =k x-2 , Ax,%, B冷川2,直线 AD : yx 1 ，当 x =丄时,X 12yM花，花，MMj1011四边形ABCD的面积.2 2【答案】(1)H439221E:X X2a .bA 乌,a b2 a b3x。2y。2、3 3x02y02 3y yJX X2 2 1 1 2 2得 3 k2x24k2x 4k23 =0 ,为冷3x-y2=32 2-4kxx4k +3-2 ,% X2二-2-，3_kk -3F面证明

16、直线BM经过点 P 1,0，即证kPM=kpB，即二空 生x fN +1 x21即-3X23yi=xy2y2，由yi二kxi2k,y2=kx22k,4k2+3整理得，4XM -5 x1X2 4 =0，即 4 -5k -34k24 k23=0即证BM经过点 P 1,0，直线BM过定点 1,0 .2.已知点 1,3 3在椭圆 E :x x2与=1 a b 0 上, I2丿 a b设A,B分别为椭圆的左顶点、 下顶点,原点O到直线AB的距离为乙21217(1)求椭圆E的方程;(2)设P为椭圆E在第一象限内一点，直线PA,PB分别交y轴、x 轴于D，C两点，求由等面积法，可得原点O到直线AB的距离为字

17、J.，2 2联立两方程解得a =2,b-3，所以椭圆E的方程为 E:=1432 2(2)设点 PX0,yx0- 0,y0，则=1，即3x4y2=12 .43直线 PA: y 二 x 2，令x =0，得 yDX022yX02从而有 BD 二玉3X0 2y2 3X0+2Xo+2，同理，可得人一眺如么3 3y。3=1 ； (2)2 3.【解析】(1)因为椭圆123x04y；124 3xoy。12 人 8、3y。Xy。 、3x。 2y0231 112 12 4.3Xoy。12xo8 3y。_52 2xy。 . 3x。 2yo2、312 2.,3xo y。 6X0 ：4 $3y。所以四边形ABCD的面积

18、为2 323已知点C为圆(x+1)+y2=8 的圆心，P是圆上的动点，点 Q 在圆的半径CP上，且有点A 1,0 和AP上的点M，满足 MQ AP =0， AP = 2AM (1) 当点P在圆上运动时，判断 Q 点的轨迹是什么？并求出其方程；(2) 若斜率为k的直线I与圆 x y 1 相切，与(1)中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点F,H,一 34且3 3_OF OF _ _4 4(其中O是坐标原点)，求k的取值范围.452【答案】(1)是以点C,A为焦点，焦距为 2，长轴长为2 2的椭圆，- y2=1 ； (2)2【解析】(1)由题意 MQ 是线段AP的垂直平分线，所以 CP| |QC| |

19、QP| |QC -|QA =22 CA =2 ,所以点 Q 的轨迹是以点C,A为焦点，焦距为 2，长轴长为2.2的椭圆,a = . 2,c=1, b 二，a2c2=1,2故点 Q 的轨迹方程是 y2=1 .2(2)设直线 l : y =kx b, F X1，% , H x?？,b直线 I 与圆 x2y2=1 相切，得一一 =1，即 bk21,Vk2+1x+ + 2 2 =彳联立 2y y，消去y得：1 2k2x24kbx 2-2 =0 ,y 二 kx b=2.3 xyo132 2 2 2 2 2 2A= 16k b -4 1 2k 2 b _1 =8 2k -b 1 =8k .0 ,得k =

20、0,xx2b22X X2二2，1 +2k2 2c：=1a1a b b 0 0的焦距为2c，离心率为，圆是椭圆的左右顶点，AB是圆O的任意一条直径，AAAB面积的最大值为(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)若I为圆O的任意一条切线，I与椭圆E交于两点P, Q，求 PQ 的取值范围.【答案】(1)兰+=1 , x2+y2=1 ； (2) 3,143.3【解析】(1 )设B点到 x 轴距离为h,则 SSAAB=2SAAO21 1A1Oh =a h ,易知当线段AB在 y 轴时，hmax= BO =c ,. SAA1AB=ac = 2 ,Te=C=1,a=2c,a =2,c =1,b = ,3,a 22

21、 2所以椭圆方程为 -1，圆的方程为 x2y2=1.432b2(2)当直线 L 的斜率不存在时，直线 L 的方程为 x= 1，此时 PQ =3 ;ax1亠 x2=4 kb1 2k2OF OH = X1X2” 2丫1丫2=：i12X1X2亠 kb % 亠 X2i 亠221 1 k k 2b2b- -2 2“2- kb1 +2k-4 kb21 2k2 2 2 21 k 2k 4k k 121 2k21 2kk21 二，1 2k231k41所以2，得-41 +2k53罷 乎，解得故所求范围为k2k -21,2上或空空 k 空丄,332_22，3| 324.已知椭圆y214设直线L方程为：y kx +m，直线为圆的切线，二 d - ,- -1，二 m k+1 ,j1+k215kmXiX224k +3|24m -12XiX2厂4k +3所以弦长 PQ 二 1 k2x,_x2=4 3 13k3k-，令 t =4k23 _3 ,14k +3所以SV ； 综上，pQ. 3，2 25如图，己知Fi、F2是椭圆 G :X2爲=1a b 0 的左、右焦点，直线 I: y = k x 1 经 a b过左焦点F1，且与椭圆G交A,B两点， ABH的周长为4、3.(1)求椭圆G的标准方程;(2)是否存在直线I，使得AABF2为等