电力系统谐波分析的近似同步法

1、第1次修改稿, 稿件编号：040525电力系统谐波分析的近似同步法王柏林 梅永 （河海大学 电气工程学院 南京 210098）摘要 本文提出了谐波分析的一种新方法近似同步法。近似同步法采用了不严格相等的采样间隔，从而使每个采样点都尽量靠近同步采样点。近似同步法根据信号频率的变化实时地调整采样间隔，并且只需一个信号周期就可完成一次采样过程。近似同步法还提供了一个误差校正公式，它能消除近似同步采样造成的原始误差，误差校正公式是基于系统辨识的矩阵反演定理首次导出的。Matlab仿真证实了近似同步法用于电力系统谐波分析不仅实时性好，而且精度也很高。关键词 谐波分析； 同步采样； 同步误差校正； 矩阵反

2、演定理Approximate synchronous Method for Harmonics AnalysisWANG Bolin MEI Yong (School of Electric Engineering, Hohai University, Nanjin 210098)Abstract This paper proposes a novel methodApproximately Synchronous Method (ASM) for harmonics analysis. ASM samples signal with no strictly equal intervals i

3、n order that each sampling point is close to synchronous sampling point. ASM can modify sampling intervals in time according to the variations of signal frequency in every signal cycle and finish a sampling process in a signal cycle. ASM also provides an error correction formula deduced from Matrix

4、Inversion Theorem to clear up the error originated from approximate synchronous sampling. Matlab simulations show that ASM is very real-time and precise for harmonics analysis of power system.keywords Harmonics analysis; Synchronous sampling; Synchronous error correction; Matrix inversion theorem1.引

5、言交流采样是谐波分析的主流方法，理想的交流采样是同步采样，因为同步采样用离散傅里叶变换（DFT或FFT）进行谐波分析时，不存在原理上的误差。但是，由于信号频率的变化和定时器分辨率有限等原因，严格意义上的同步采样只能作为一种理想情况。在存在同步误差的情况下，DFT会产生频谱泄漏，使谐波分析的精度下降 34。所以有学者认为，在高精度的谐波分析中，应当实时精确地测量信号周期，并且不宜使用FFT算法3。产生同步误差的主要原因之一是信号频率的飘移，许多方法假定信号频率不变，显然是有局限性的，也是不符合工程实际的。产生同步误差的主要原因之二是采样定时器分辨率有限，这个因素曾经得到较多的关注，但随着MCU的

6、字长和工作频率的日益提高，这个因素的影响会越来越小，不过，如果用等间隔采样，积累误差会相当大。产生同步误差还有其它原因，但本文主要针对上述两个因素。我们注意到：工程实际中使用的交流采样几乎都向同步采样靠拢，但又都不是严格意义上的同步采样，最多只能称为近似同步采样，可见近似同步采样是普遍现象。近似同步法特指本文提出的一种谐波分析新方法，其主要特点是：（1）不强调等间隔采样，目的是不让采样定时误差积累保证每个采样点都尽量接近同步采样点，从而使原始谐波计算误差达到最小；（2）对近似造成的原始误差进行有效的校正，一个用矩阵反演定理导出的误差校正公式，在理论上能够使近似同步采样达到理想同步的效果。实际上

7、，本文的误差校正算法对其它近似同步采样也是有效的。1 近似同步采样考虑下式所描述的交流信号：式中, w是基波角频率，w可以是缓慢变化的,是直流分量，和是m次谐波的幅值，M是谐波的最高次数（1M < ¥）。近似同步法的一次采样过程只采样一个信号周期的N个点，设正在采样的一个信号周期是第k个周期，其周期为Tk，频率为wk，那么前一个信号周期是第k-1个周期，其周期为Tk-1,频率为wk-1。wk-1与wk可以不相等但差别不大这符合大多数工程实际。正在采样的一个信号周期Tk在该周期的采样结束前尚未测量到，而前一个信号周期Tk-1是已经测量到了的，所以我们可以将第k个信号周期的第n个采

8、样时刻规定为：其中,Int(.)是将(.)按定时器的最小分辨率取整，是舍去的尾数。这就是本文给出的近似同步采样规则，显然，它至少有两个长处：（1）不会使采样定时器误差产生积累；（2）因为wk-1与wk差别不大，所以个采样点都能尽量靠近理想同步采样点。在第k个信号周期对进行次采样，就得到个采样值：式(3)可以写成矩阵方程：式中， ， 。 (5)式（4）可以看成由N个未知数组成的线性方程组，我们称之为采样方程。2. 原始误差分析如果将式(2)中的，又是准确的，并，上述采样就成为理想同步采样，将这时的矩阵A特别定义为A0 ，即 (6)显然，不管如何变化，只要是理想同步采样，矩阵A=A0总是不变的这对

9、下文的误差校正很重要。当时，定义: （7） （8）显然，第k个信号周期的采样完成后，的测量值也就得到，而是已知的，从而利用式(7)和(8)就可以在线计算出微增量。当然，的测量精度对的计算精度有直接影响，随着微处理器的字长和工作频率的提高，随着信号处理技术的完善，信号频率（周期）的测量精度会越来越高3 5。将式（4）改写成下列矩阵方程： (9) 式中只要采样值，.,已经得到并且矩阵非奇异，就有 （11）3. 采样方程有解的条件定理1 采样方程(4)有解的充要条件是： (12)证明：首先，式(3)等价为：得到矩阵DF属于线性代数的Vandermonde矩阵，它非奇异的条件就是式（12）。只要矩阵D

10、F非奇异，矩阵F就非奇异，即矩阵方程(14)有唯一解。因为矩阵方程(4)与矩阵方程(14)等价，所以只要条件(12)满足，矩阵方程(4)就一定有唯一解。显然，要条件(12)满足只需： (15)条件(15)是一个便于执行的充分条件，它要求每个实际采样点与对应的同步采样点的时间差不大于一个同步采样间隔。根据条件(15)，同步采样对应的系数矩阵A0一定是非奇异的，近似同步采样时这个条件也不难满足。式(15)等价为：它明确给出了近似同步法对信号频率的变化率和定时器分辨率的限制。实际上，定时器分辨率可以做到很小，所以信号频率的变化是主要的。如果忽略，可以得到对信号频率的变化率更为明确的条件： （16）如

11、果信号中出现比M次更高的谐波，只会影响信号采样值，不会影响矩阵A，因为A中根本不含。如果中出现随机干扰，可能影响：（1）采样值对矩阵A没有影响；（2）频率的测量精度；只要的测量误差不至于破坏条件（12）（这个条件是不容易破坏的），就不会造成矩阵A非奇异。当然，随机干扰是所有交流采样方法面临的挑战和新课题，这方面的研究尚未有很好的结论3。4. 误差校正公式为了严格推导误差校正公式，我们先从系统辨识理论引入著名的矩阵反演定理12：矩阵反演定理：设和都是非奇异矩阵，则现在，我们用矩阵反演定理，证明如下结论：定理2 设和都是非奇异矩阵，则当时有也就是证明：令，代入式（17）有将上式右边用 代入得：将上

12、式右边的再用 代入得：重复以上工作就得到式(18)。注意到的元素都是微小增量，显然只要的元素足够小，就有上式成立的一个充分条件是即这个定理的意义在于：只要是已知的，就可以用公式(18)或(19)取有限的I求出的高精度近似值，其中只有矩阵的乘和加，完全没有矩阵求逆运算。为了进一步减少计算量，实际使用的算法是公式(19)，不难证明，公式（19）和公式（18）等价。一般，取I=37就可以得到十分精确的结果，矩阵的元素越小，同样的精度要求的I越小。实际上，上文的近似同步采样规则能得到最小的。公式(19)就是误差校正公式，因为对应理想同步采样，一旦M确定它就是一个定常矩阵，所以只需离线一次求出，存在MC

13、U的存储器中就能永远使用；和式是对同步误差的校正，I的大小取决于精度的要求，每一个信号周期采样结束，都要实时地进行一次误差校正。显然，上述误差校正公式对其它近似同步采样也是有效的。现在看看本算法的在线计算量。费时最多的计算是乘法，对于公式（19），取I=5时，要进行7×N×N次标量乘法运算。显然，本算法的在线计算量与DFT算法相当，表面看它的计算量是大的，但是在普遍存在同步偏差的情况下，本算法有明显的优势：（1）本算法的计算结果已经是精确的，不需要再增加补偿插值等类繁琐的运算；（2）本算法只需在一个周期内采样N=2M+1个点，N较小。（3）在电网频率很稳定的时段，本次运算无

14、需计算新的，可以延用上次计算的结果。5. 仿真研究近似同步法十分适合于信号周期经常作微小变化的信号，比如电网的交流信号。下面用Matlab进行数字仿真的研究。仿真所用的交流信号由式(1)描述，取M=7，其各次谐波幅值如表1中的精确值一列所示，仿真时考虑是变动的，以为基准，然后依次变为采样定时器最小分辨率设定为。当连续变动时，仿真结果如表1所示。当I=5时，每一谐波参数的误差都小于0.001；当I=7时，每一谐波参数的误差都小于0.00001，表中给出的是I=7的结果。可见本算法的精度是很高的，实时性也是非常好的。6结论这种近似同步法采用不严格相等的采样间隔，使采样定时误差不产生积累，每个采样点

15、都尽量接近同步采样点，从而使同步误差达到最小也就使谐波计算的原始误差降到最小。这种近似同步法要求每个实际采样点与对应的同步采样点的时间差不大于一个同步采样间隔。导出的误差校正公式只有矩阵的乘法和加法运算，并且能适应不同精度的要求。这个误差校正算法对其它近似同步采样方法也是有效的。这种近似同步法适用于电力系统的谐波分析，其主要特点是允许电网频率飘移、实时性好、精度高。因为它需要实时、高精度地测量信号频率或周期，所以要求MCU有足够的字长和足够高的工作频率。参考文献（Reference）1方崇智、萧德云，过程辨识，清华大学出版社，1988，第一版，551552.2韩曾晋，自适应控制，机械工业出版社

16、，1983，第一版，3132。 3梁志国，周期信号的谐波分析评述，计量技术，2003，N0.2,35.4Andria G,Savino M,Trotta A,Windows and interpolation algorithms to improve electrical measurement accurancy,IEEE Trans, on IM,1989,Vol,38(4),856863.5耿池勇等，适用于同步相量测量的DFT算法研究，电力自动化设备，Vol.24(1),2004,8486.作者简介：王柏林（1948）河海大学电气工程学院教授、博导、博士，中国仪器仪表学会电磁测量和信息

17、处理分会理事，主要从事智能仪器、信息处理、谐波分析等方面的研究。梅永（1978）河海大学电气工程学院研究生，主要研究方向是电能质量分析与控制、智能仪器、信号处理等。作者通讯地址：210098 南京河海大学电气工程学院；电话86205169Email：phdwbl表1 仿真结果谐波系数名称谐波系数精确值信号频率变动时近似同步法得到的谐波系数a00.0000-0.00000071-0.000000650.000000660.000000720.00000078a10.67890.678898540.678898650.678901390.678901510.678901

18、65b11.00000.999999570.999999601.000000191.000000211.00000023a20.56780.567798390.567798510.567801660.567801800.56780196b20.60000.599999030.599999090.600000380.600000430.60000048a30.45670.456697800.456697980.456702310.456702510.45670273b30.50000.499998250.499998360.500000440.500000510.50000058a40.34560.345595990.345596300.345603480.345603780.34560411b40.40000.399997730.399997850.399999790.399999820.39999986a50.23450.234492900.234493430.234504350.234504750.234505