理论力学动量矩定理习题解

1、第H一章动量矩定理习题解221.3.习题11-1刚体作平面运动。已知运动万程为：Xc 3t , Ye 4t ,-1 ,其中长度以m计，角度以rad计，时间以s计。设刚体质量为10kg ,对于通过质心C且垂直于图平面的惯性半径0.5m ,求t 2s时刚体对坐标原点的动量矩。解：Xc It 2 3 2212(m)2Yc |t 2 4 2216(m)dxCd 2VexC (3t)6tdt dtvex It 2 6 2 12(m/s)dyCd 2veyC (4t ) 8tdt dtVey |t 2 8 216(m/s)d(1t3)与dt dt 22It 2 3 22 6(rad / s)Lo JezM

2、z(mve)k2Lo mmveyxe mvexYe k2 一 一 一 一一L01t 2 10 0.56 16 12 12 16 k-. 一. .2 .Lo |t 2 15k (kg m /s), k是z轴正向的单位向量。习题11-2半径为R,重为W的均质圆盘固结在长l ,重为P的均质水平直杆 AB的B端,绕铅垂轴Oz以角速度旋转，求系统对转轴的动量矩。解：J z,ABPl23gJz,l圆盘 二4WD2W.2RlggW(R2 4l2)4gLzJ z, ABJ z,圆盘W(R2 4l2)4gLz4Wl24gWR2)4gLzPl2(3?3Wl2WR3g4g2-)P 3W 2( l3g4gR2)11-

3、3已知均质圆盘质量为m ,半径为R,当它作图示四种运动时， 对固定点Oi的动量矩分别为多大？图中 01c l。解：(a)因为圆盘作平动，所以Lo1 Jo1zml2解：(b)LOi Lc rc P其中，质心C的动量为012LO1 JCz2 mR解：(c)Lo1 Jo1zgmR2 ml2)解：(d)因为圆盘作平面运动，所以：LOi JCzMOiZ(mVC)12LO1-mR2mR (R l)12212LO1(-R2R2Rl)m mR(- R2l)习题11-4均质直杆AB长为l ,质量为m , A、B两端分别沿铅垂和水平轨道滑动。求?该杆对质心C和对固定点O的动量矩LC和LO （表示为 和 的函数）。

4、解:求LcYal cosVadyAdtl sinl sinxBl sinVBdxBdtl cosl cosABVBBIl cosl cos（逆时针，转向如图所示）ABMe (mvc)AB1 . ml 121 Lcml12(2)求LoOC22l cosl2l一 2 l cos 一 cos42OCICl2 cos2l2.l2l cos-cos42ICXCL2l .sin2LO1ml2? m-? vCx dxC-? cos34dt2Yc；sin(900) cos2VCydYc出l ".一sin 2LO J Cz AB M Oz (m VC ),1-2 ? mELo 行旧mVCxYc -“

5、l ? .m sin2l .sin 2I 112 ? l ?lLOml m cos cos122212 ? ml2 ?2 ml2 ?2LO ml cos sin1244,1,2 ? ml2 ?,2. 2 、LOml (cos sin )124工ml212ml21ml261ml2 6习题11-5均质杆AB长l、重Pi , B端刚连一重P2的小球（小球可视为质点），杆上D点连一刚度系数为k的弹簧，使杆在水平位置保持平衡。设给小球B一微小初位移°后无初速释放，试求 AB杆的运动规律。解：以AB杆为研究对象，其受力如图所示。质点系的动量矩为：J OzLo印23g外力矩为:Mo(Fi)TdgP

6、；P2I32kllMo(Fi)-P1-p2l332klllMo(Fi)丁-P1-P2l332_ kl2_ l _Mo(Fi) Pi- P2l92由动量矩定理得：dLodtMo(Fi)d / Pil2P212、kl2一( -l ) dt 3gg9_ 2_2_P1l dP2l2dk旦3g dtgdt92Pi3gp2)l gdtklPiklP2P2dt3gP22)lg2kl9Pl 18P2d 181818dt(且阻3g 3g(2kl 9R 18P2)d_ 18dt(P 3P2)l3gd ( 2kl 9R 18P2)gdt6( P1 3P2)l2_d kg 3g2dt23( P1 3P2)2ld2dt

7、1kg3(Pi 3P2)3g 八 0 2l?kg3(Pi3P2),则上式变为:3g2l通解为:Asin( 0tIt 0 Asin( 0sin 0习题11-6两个重物A、B各重Pi、P2 ,分别系在两条绳上,2的鼓轮上，重物受重力影响而运动。求鼓轮的角加速度此两绳又分别围绕半径为 ri、鼓轮和绳的质量均略去不计。解：质点系的动量矩为:Lo Jozmivirim2V2 r22_2、LO(JOzmi rim2 r2 )外力对O点之矩为:Mo(Fi) Piri P2r2由动量矩定理可知:空 Mo(Fi)d2 一 2、(Joz mi rim2 r2)dtPriP2r2(J ozmi r；m2r22)d-

8、 dtPiriP2r2EhP2r2PiriJozmi riPjiP2 r2r2Pi2P22ri r2g gP2 r222Pi riP2 r2习题ii-7 一倒置的摆由两根相同的弹簧支持。设摆轴圆球与直杆组成，球重W,半径为r ,杆重不计。弹簧的刚度系数为 k。问当摆从平衡位置向左或向右有一微小偏移后，是否振动？写出能发和振动的条件。解：质点系的受力如图所示。Wr2史巧 g gMo(Fi)2FAbcosWl tanMO(Fi)2(kb )b WlMo(Fi) (Wl 2kb0上式的通解为:Asin( 0t)由动量矩定理得:d r/ i W 2(rdt 2 g_2(Wl 2 kb )(r2 2l2

9、)Wd2g dt(Wl 2kb2)2_2d 2(Wl 2kb )g222dt2(r2 2l2)W242d 2(2kb Wl)g 022_20dt (r 2l )W?2(2kb2 Wl)g2 Z2(r 2l )W能发出振动的条件是:00,即：2(2kb2 Wl)g22(r2 2l2)W1了 0,也就是:_ . 22 kbWlWlk 2 2b2习题11-8卷扬机的B、C轮半径分别为 R、r ,对水平转动轴的转动惯量为Ji、J2,物体重p 。设在轮C上作用一常力矩M ，试求物体A上升的加速度。解：以轮B为研究对象，应用动量矩定理得:dtMb(F)5(PvR) gPR TRJiddt(T P)RJ1P

10、Ra g(TP)RJ1RPR2ag_ _ 2(T P)RJ1aPR-a (T P)R2 g以轮C为研究对象，应用动量矩定理得:dLcdtMo(Fi)dt(J22) M T rI 2dtJ2一'2Mr T r2J2a Mr TrMr J2a2r(2)(2)代入（1）得:J1aPR2ag(TP)R2(JiPR2)a gMr(- rP)R2(JiMR2J2R2(Jia PR2PR2MR2Jir R2 2 r(Jir2J2R22- r)aPR22PR2J2MR2PR222 2MR2r PR2r2222 2(Jir2 JzR2)g PR2r2(M Pr)R2rgJ2R2)g PR2r2第一章习题

11、i-i .画出下列指定物体的受力图解:习题1-2.画出下列各物系中指定物体的受力图(2)轮 Ci 杆 AB(3)构件AC.构件EC曲柄。趾滑块B起重机、梁AB、整体(4)梁ACS梁CB、整体(7)折梯整曲BC部分0横梁AE、立柱AE、整体解:B0)曲柄OAx滑块B(7)折悌整体，AC部分、EC部分(1)轮以杆AB(2)轮6刚架AB杆 DE.杆 EC、杆AC4连局滑轮人整年0)杆AE (连同滑轮)、杆AE(不隹滑辂3整体解:a）轮杆AED（3）杆 DE、杆 EC.杆AC （连同滑轮），整体（4）杆 ABff AB（不连滑轮）、整体第二章习题2-1.怫接薄钢板在孔心A、B和C处受三力作用如图，已知

12、 Pi=100N沿 铅垂方向，P2=50N沿AB方向，P3=50N沿水平方向；求该力系的合 成结果。解：属平面汇交力系;= P2 cosui +耳=50 x+ 50 = 80工¥=旦然1像+片=50+ 100 = 140 N合力大小和方向:R =+ (27)3 =。0*+140, =L61Wy Y1400 = arete = arefg= 60.3°£X80习题2-2.图示简支梁受集中荷载P=20kN ,求图示两种情况下支座 A、B的约 束反力。相似关系：b'A CDE aCD CE ED几何关系：CE= -BD = lm 2CD= a/2BC-2.83/

13、jiED = -AD = -府 +2- = 2.24m22约束反力:e 1Nr= 一 xp =x20 = 7.1KVCD2.83ED2 74世卫=/P = x20=15.8ftJVCD1,83BD2ca = a/vfip= arctg = 26.6"A5 4(2)研究AB ,受力分析:画力三角形:相似关系:£ =也CD CE ED几何关系:CE=-BD = 0.71m2&CD=£C=1.4Dm2ED = CDCE2 = 1.58m约束反力:CE0.712V. =xP =x20 =10*1 对VCD1.41ED1.58Ra =kP = -Z0 = 22,4f

14、tJVCDL41CE ot = 45M*= l.y CD习题2-3.电机重P=5kN放在水平梁AB的中央，梁的A端以钱链固定，B端 以撑杆BC支持。求撑杆BC所受的力。解：(1)研究整体，受力分析:(2)画力三角形:(3)求BC受力S=P = 5kNL*习题2-4.简易起重机用钢丝绳吊起重量 G=2kN的重物，不计杆件自重、磨擦 及滑轮大小，A、B、C三处简化为较链连接；求杆 AB和AC所受 的力。解：（1）研究较A,受力分析（AC、AB是二力杆，不计滑轮大小）：建立直角坐标Axy ,列平衡方程:£X = 0: -% +Scos45i?-Tsin30' = 0= S-G=0T

15、 = G=2kN解平衡方程:= 2.73 %V=5.28AJVAB杆受拉，BC杆受压。（2）研究较A,受力分析（AC、AB是二力杆，不计滑轮大小）建立直角坐标 Axy ,列平衡方程:二 0: -&& +Gsin30£,-rsin45ff = 0 £F=0： S之-Tcos45,"-Ccos3(r=0 TG = 2kN解平衡方程:Sja =-0.41JWV=3.15fc/V JTU-AB杆实际受力方向与假设相反，为受压；BC杆受压。习题2-5 .三校门式刚架受集中荷载 P作用，不计架重；求图示两种情况下支座A、B的约束反力。解：（1）研究整体，受力分

16、析（AC是二力杆）；画力三角形:求约束反力:xP = 0.71P（2）研究整体，受力分析（BC是二力杆）；画力三角形:几何关系:AE0.52= 18.4"a =DE1.51_ s£ _ psill 45" sina sin。35 - a)求约束反力:sin 43 Q£111(135。-tt)xP = 0.79Psinasin(135ff -tt)xP = 0.35P习题2-6 .四根绳索AC、CB、CE、ED连接如图，其中B、D两端固定在支架 上，A端系在重物上，人在E点向下施力P,若P=400N, a =4, 求所能吊起的重量Go解：（1）研究较E,受

17、力分析，画力三角形:由图知:解：(1)研究滑块A,受力分析，画力三角形:(2)研究较C,受力分析，画力三角形:由图知:习题2-7 .夹具中所用的两种连杆增力机构如图所示，书籍推力 P作用于A点, 夹紧平衡时杆AB与水平线的夹角为；求对于工件的夹紧力Q和当 a =10时的增力倍数Q/P。由图知:sinaG= Q = Tlc - c噌ex = P,= 400x44' = 81.8IJJV研究AB杆（二力杆）和滑块 B,受力分析，画力三角形:由图知:八 门P-Q= % C09(x = coga = Pctgsina/,=。短值=5.67（2）研究较A,受力分析，画力三角形:由图知:sintx

18、 2sititt研究AB杆（二力杆）和滑块 B,受力分析，画力三角形:由图知:P 0= 5班, cow = S组 C09tt= - ctgiiZ.o4P 22习题 2-8.图示 Fi=Fi' =150N F2=F2' =200N F3=F3' =250N 求合力偶。解：（1）求各个力偶的力偶矩:明(4月')= 4 x0.5 十 03 十 03750L65JaM胸式居,耳)=£ x (0,3 + 0,4 + 0.4) = 200 乂 1.1 = 220933机式耳,玛，)=F2 x0.4 x - = 250 x0.4x - = 60JVm(2)求合力偶矩

19、：M = £制=-165 + 220 + 60 = U5Nm合力偶转向是逆时针。习题2-9.构件的支承及荷载情况如图，求支座 A、B的约束反力。解：（1）研究AB,受力分析，画受力图:15kKm24心Lm列平衡方程：X加=0: m(NB, Ra) - 24 +15 = 0砥 ? R) = JV x6 =x 6 = 9解方程Ns = RA = - = 1.51zNm6(2)研究AB ,受力分析，画受力图：列平衡方程：二wi = 0:皿泮。- Pa-0，孤叫,Rq) = xRo£45j = R4 x/cos45j = Pa解方程_ c Pa VPaNs = Ra =-=s A

20、/eos45c /习题2-10.锻锤工作时，若锻件给它的反作用力有偏心，就会使锤头发生偏斜， 在导轨上产生很大的压力，从而加速导轨的磨损，影响锻件的精度。 已知打击力P=1000kN,偏心矩e=20mm,锤头高度h=200mm ；求 锤头给两侧导轨的压力。解：（1）研究锤头，受力分析，画受力图:（2）列平衡方程:N m = 0:JV) - Pe = Om(N, N、=9=Pe解方程:» Pe 1000x0.02N= 100R2V0.2习题2-11 .图示轧钢机工作机构，机架和轧辗共重 G=650kN,为了轧制钢板， 在轧辗上各作用一力偶，力偶矩大小为 mi=m2=828kN ,机架的

21、支点 距离l=1380mm；当发生事故时，mi=0, m2；求在正常工作与发生事 故两种情形下支点A、B的反力。解：（1）正常工作时，m1和m2的合力偶为零。整体受力分析:由对称性可知：= -G=-x650 =325*JV22(2)非正常工作时，分别讨论m2和G作用的情况:G单独作用时，情况同(1):=我研=|g=1x650 -325JWVm2单独作用时，列平衡方程:二泄三0: m(NNS2) 一吗三0，成 Na, JV52) = NA2t = JVS2f =,叫16561380二 1200 川V共同作用情况时：超启二汗如一二 325 -1200 = -875fciV7VB = % $ NB2

22、 =325 + 1200 = 1525 fc2VNA的实际方向向下，NB的实际方向向上。习题2-12.四连杆机构OABOi在图示位置平衡，已知 OA=40cm, OiB=60cm,作用在曲柄OA上的力偶矩大小为mi,不计杆重；求力偶矩m2的大 小及连杆AB所受的力。列平衡方程:解：（1）研究OA杆，受力分析，画受力图:（2）研究AB （二力杆），受力如图:（3）研究O1B杆，受力分析，画受力图:刚隈）=心fMdn300 =叫<?Xsin W 0.4 x sin 30 p可知:列平衡方程:= 0: - m（R0l,S + m2=0 施（凡“S班）08 =播。.，啊=5 乂 0.6 = 2N

23、m第四章习题4-1.求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。解：(1)取O点为简化中心，求平面力系的主矢:4R = 2=400-500 x- = 03K1 = > = -200-100 + 500丈_ = 05=0求平面力系对O点的主矩:底=-400 X0.8-100x2 + 500 x-x2.6 = 260JV/W"5(2)合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力偶，大小是260Nm ,转向是逆时针。&:重力现受力情况如图所示。设Gl=450kN,G2=200kN, Fl=300kN，F2=70 kN.求:力系向。点简化的结果,以及力系的最终

24、简化结果。 解：将力系向。点简化，得主矢和主矩.3m7夕不求主矢F J的大小和方向余弦。“77T主矢的投影 7m方向余弦 口口对+箝-CVW4(F3 力=£4=*/；=咚-A 0。=参£夕 kw /一芝力=Y： -%- g 如雳- -67(11 kX主矢尸的大小±2H内一一n，鼠刀“aCK"可主矩%m£X阳力系的最终简化结果为：一合力Fr（向右移）发M a 2355 d = - j = 3.32 mF* 709-(1R = 7(i< , + Q” = TW.4 kN习题4-3 .求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩解：（a）平行力系

25、对A点的矩是:=-£<fdrx =-那取B点为简化中心，平行力系的主矢是:fir= J £r = qa平行力系对B点的主矩是：向B点简化的结果是一个力 Rb和一个力偶MB,且：Rb = -R - qa M2如图所示；将Rb向下平移一段距离 d,使满足：Ml ia - = aR. 2最后简化为一个力 R,大小等于Rb。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的矩形面积, 作用点通过矩形的形心。(b)取A点为简化中心，平行力系的主矢是：与以=+4'平行力系对A点的主矩是：以7*必*向A点简化的结果是一个力 Ra和一个力偶MA,且:Ra = R = -ql Ma = Ma

26、 = -ql223如图所示;将Ra向右平移一段距离 d,使满足:最后简化为一个力 R,大小等于Ra。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的三角形面积, 作用点通过三角形的形心。习题4 4.求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m解：（1）研究AB杆，受力分析，画受力图：列平衡方程:=- + 2xcos45°=0=-¥a- 2xsin45fl=0S»JjF) = O：匕 X6-L5-N2 x2 = 0解方程组:X. =1.41Jt/V r =L09JWY N. = 2.5OJWi,反力的实际方向如图示。校核：= L5 Nsx4 2, sin45,x6= 0结果正确O（

27、2）研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图:列平衡方程:£阳上（丹=。：2x11,5x1 双2 x2 = 0三师左（尸）=0： 2 乂 341.5x1 W月又 2 = 0解方程组:£J =3.75JtN=0.25JkiVJT.居反力的实际方向如图示。校核：£丫二一1事&一工5-$ 二0结果正确O(3)研究ABC,受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图:列平衡方程:£X = 0 XA=0> =0 -12-5 + 匕=0£%(万)=0： -12x1.5-5x34 = 0解方程组:XA =0 打= 3

28、3JWVWJ反力的实际方向如图示。校核:Z*(F) = -12x1.5-5x3 = 0结果正确O习题45.重物悬挂如图，已知，其他重量不计；求钱链A的约束反力和杆BC 所受的力。列平衡方程:-00545 = 0工二0匕-。+6滓山45”二。二加式 F)= 0: FxO.l G 工 0.34 Sc sin45Jx 0.6 = 0解方程组：X4=2.4JHV Ya = L2Jt2V 此 = 0.848KV反力的实际方向如图示。习题4-64.3平 面 任 一七二 息 力 系 的 平 衡 条和 平方 程均质杆48长/，重为G,置于 光滑半圆槽内，圆槽半径为r，石 力巨铅垂向下作用于。点，如图/J7 求

29、平衡时杆与水平线的夹角打0解：以杆48为研究对象，受力如图0-C*r- 一£叫）（户）二0Gyjr2 - (A sina-Pcostz-/r2 -(1)2 sincr解之得：p Ia = arct2.习题4-7 + G 2.4.图示小型间转式起重机,已知鼻10KN,自重G=3.5KN,来轴承小月处於冢J束反力口解1起重机受力如图所示，平衡方程=V X Q : XjTjO csZ一0二 F.-G-尸不 口£ 豺（产）= 0; PxN-Gx【v。联立方程组可解得工X / = Y.7KV ; X * = 6.7网；几-13 .5JGV ;习题4 8.图示钻井架，G=177kN,铅

30、垂荷载P=1350kN ,风荷载，水平力F=50kN ;求支座A的约束反力和撑杆CD所受的力。一B P41,4m解：（1）研究整体，受力分析（CD是二力杆），画受力图:列平衡方程:Z* = 0 Xj 50 + 1.5x41,4-怎 mini* = 0?¥ = 0 ¥a -177 - 1350 - COS17J = 02(F) = 0: -50x22.6 1.5 x41.4x20.7 + SD sinl7tf x 17.2= 0解方程组：XA = 28JtA7 ¥A =1986*iV S0 = 480J17V反力的实际方向如图示。习题4-10,彳二7 |图示铁路起重

31、机除平衡重而外的全部重量为500Kli互5在两核轨的对称幸而内，最大起聿量为200KN+为保证起重机在空载和最大载荷时都不至于倾倒，求平衡重 亚及其距离右（解1起重机受力如图工分析两种状态:0）.满载时工有R.o , X M / F） = 0：I即（，* 】3） + 5 001 .5 - P - 6 i 02Q）空载叶1有克，之。，MJQ=O：Jr x r - 500 1.502联立解得:用之WOOKN, ,wL25nu所以，为了保证起重机在空载和最大荷载时都不至于倾倒，必须满足 印士 300KN, 乂£ 1.25m习题3 6.圆柱O重G=1000N放在斜面上用撑架支承如图；不计架重

32、，求较 链A、B、C处反力。解：(1)研究圆柱，受力分析，画受力图:由力三角形得:，G=600N 5(2)研究AB杆，受力分析(注意 BC为二力杆)，画受力图:图中的几何关系是:1.6: 36.87“3-arcig = 36.87(3)列平衡方程?X = 0 局十NJc0甲-Sco3 + p) = 0 Z? = 0 匕JV/inP +SJsin(a-np) = O 2#(F) = 0: 一界口攵0.4 + Scosttxl2=O=80UJV(4)解方程组:XA -4mkN Ya =150JtJVS口 =250JtN反力实际方向如图示;(5)研究BC杆，是二力杆，画受力图:由图知：$ =$ =s

33、 =25ON求支座反力和习题3-7.静定多跨梁的荷载及尺寸如图所示，长度单位为 m； 中间钱处压力。列平衡方程:解方程组:X = 34.64kN K = 60kN = 69.2gMV &&Lr研究BC杆，受力分析，画受力图:ZX = O 芭-N匚sin30嗔0耳 +JVCCOS30J -20x6 = 0工叫=0:隆 cos30"x6-20 x6x3 = 0minL5kNZm5Mm20kNm叫4mMidkN6讯m解：（1）研究BC杆，受力分析，画受力图:2味时抽列平衡方程:ZF = O ¥a-¥/=9工办（F） = 0： JfA-40-Y£

34、=0解方程组：XA =34.54JWV Ya = 60iW Jf4 = 220fc/Vm(2)研究CD杆，受力分析，画受力图:列平衡方程:2二 口 为十 JV2.5k2 = D£叫=0： JVj, x4-5- 2Jx2xl=0解方程组:Yc =2.5JWV Nn = 2.5kN研究AC杆，受力分析，画受力图:列平衡方程:£F=0 E 5+ N2 2,5x2 年10Z力服(F) = 0： -5x1 + jVsx2-2.5 x2x3-1； x4 = 0解方程组:l=2.5kN N3 =l5kN(3)研究BC杆，受力分析，画受力图:6kN.nL列平衡方程:£F = 0

35、-4+%=0Z吗(F)二 0： x 4 -6 = 0解方程组:J； =L5Jt" Nc =L5fciV研究较B,受力分析，画受力图:列平衡方程:> =0 线包 ”-4 = 0解方程:= 2.5A/V研究AB杆，受力分析，画受力图:列平衡方程:£F=o 二。Z 如=0：、尺-&乂4=。%=月”解方程组：L =2.5 鼠V Ma = LOJyVm习题3-8.组合结构的荷载及尺寸如图所示，长度单位为 m； 链杆的内力。求支座反力和各4Wm（1）解：（1）研究整体，受力分析（注意1杆是二力杆），画受力图列平衡方程:£X = 0 -工十班=0 £y = 04x(。/+ 12+ 1) = 0v m -1.2 - 4 V(。" + ；2 + 1)，_ 0解方程组：X. =11.27 kN K=