用空间向量解立体几何问题方法归纳

1、用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a=(ai, bi, ci).平面 & B的法向量u=(a3, ba, C3), v=(a4, b* C4)(1)线面平行:(2)线面垂直:(3)面面平行:(4)面面垂直:l / ? au? au = 0? aiaa+biba+ciC3=0l _L 0? a / u? a ku? ai = ka3, bi kb3, Ci kc3all 供 u / v? u=kv? a3=ka4, b3 = kb4, C3=kaa_L 供 u_Lv? uv=0? a3a4+b3b4+c3c4= 0例i、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P-ABC

2、D中，PAL底面ABCD, E, F分别是PC, PD的中点，PA= AB= i, BC=2.(i)求证：EF/平面FAB;求证：平面FAD，平面PDC.证明以A为原点，AB, AD, AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0), B(i,0,0), C(i,2,0), D(0,2,0), P(0,0,i),所以 E： i,F0 i, 2 i2，0, 0；, pB =(i,0, -i), PD =(0,2, -i), aP =(0,0,i), AD =(0,2,0),DC =(i,0,0), AB=(i,0,0).(i)因为1F = 2AB ,所以7?

3、 / AB ,即 EF / AB.又AB?平面PAB, EF?平面PAB,所以EF/平面PAB.(2)因为DC=(0,0,i)(i,0,0)=0,定葭= (0,2,0) (i,0,0)=0,所以APxC, TDxDC即 APXDC, ADXDC.又APAAD = A, AP?平面PAD, AD?平面PAD,所以DC,平面PAD.因为DC?平面PDC,所以平面PAD，平面PDC.方法技巧使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向 量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向 量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直， 然

4、后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面 的法向量垂直.例 2、在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，/ABC = 90, BC = 2, CCi = 4,点 E在线段 BBi 上, 且 EBi=i, D, F, G 分别为 CCi , CiBi, CiAi 的中点.求证：(i)BiDL平面ABD;(2)平面EGF/平面ABD.z轴建立空间直角证明：以B为坐标原点，BA、BC、BBi所在的直线分别为x轴、y轴、坐标系，如图所示，则所以 BA = (a,0,0),B(0,0,0), D(0,2,2), Bi(0,0,4),设 BA=a,则 A(a,0,0), bD =(0,2,2),羡=(0,

5、2, 2),彘点= 0+4 4 = 0,即 BiDXBA,BiDXBD.又BAABD = B,因止匕BiDL平面ABD.(2)由(1)知,a E(0,0,3), G,i, 4 F(0,i,4),则室=g, i, i j, EF* =(0,1,1), bdEG =0+2 2 = 0, B1D EF = 0+ 22=0, IP BiDXEG, BiDXEF.又 EGAEF = E,因此 BiDL平面 EGF.结合(i)可知平面EGF/平面ABD.利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线|a b|0,贝U cos 卜 |cos a, b |.|a|b|(2)向量法求线面

6、所成的角：求出平面的法向量a, b的方向向量分别为a, b,异面直线所成的角为n,直线的方向向量a,设线面所成的角为9,则|n a|sin 仁 |cos |= 11n111n2;|ni|n2|8为钝角，贝U cos 8= 一 |cos |= - 11n111n2.|ni|n2|例i、如图,在直三棱柱 AiBiCi-ABC 中，ABXAC, AB = AC = 2, AiA=4,点D是BC的中点.(1)求异面直线AiB与CiD所成角的余弦值;(2)求平面ADCi与平面ABAi所成二面角的正弦值.解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0), B(2,0,0)

7、,C(0,2,0), D(1,1,0), Ai(0, 0,4), Ci (0,2,4),所以 B= (2,0, 4), CiD因为cos器CiDT -AAB CDab，CiD=rAB7CDrv20w =1。所以异面直线AiB与CiD所成角的余弦值为 嘴.设平面ADCi的法向量为ni = (x, y, z),因为;D = (1,1,0), AC=(1, -1, -4).183 10(0,2,4),所以 ni AD = 0, ni AC1 =0,即 x+ y= 0 且 y+2z= 0,取 z= 1,得 x= 2, y= - 2,所以，ni = (2, 2,1)是平面ADCi的一个法向量.取平面 A

8、BAi的一个法向量为 何=(0,1,0).设平 面ADCi与平面ABAi所成二面角的大小为9.tni n222 /口5由1cos硒=行/=3,行sin43.因此，平面ADCi与平面ABAi所成二面角的正弦值为幸.3例 2、如图，三棱柱 ABC-AiBiCi 中，CA= CB, AB=AAi, / BAAi = 60.(i)证明：ABXAiC;若平面ABC,平面AAiBiB, AB = CB,求直线AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值.解(i)证明：取AB的中点O,连接OC, OAi, AiB. 因为CA=CB,所以OCLAB.由于AB = AAi, /BAAi = 60,故AAAiB为等边三

9、角形，所以 OAiAB. 因为OCAOAi = O,所以ABL平面OAiC.又 AiC?平面 OAiC,故 ABXAiC.(2)由(i)知 OCAB, OAiAB.又平面 ABC,平面 AAiBiB,交线为 AB,所以OCL平面AAiBiB,故OA, OAi, OC两两相互垂直.以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.由题设知 A(i,0,0), Ai(0,陋,0), C(0,0, V3), B(-i,0,0).则 BC = (i,0, 响,Bb1 = aA1 =(-i, V3, 0), AC =(0, -V3, V3).设n =

10、(x, y, z)是平面BBiCiC的法向量,T)n BC =0,x+V3z= 0,则S T 即S 伉 八 可取n = (43, i, n BB1 =0.x+3y= 0.故 C0Sn, AC =n AC 屈|n| AC一 5 .所以AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值为手.方法技巧运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论 证、计算；转化为几何结论.(2)求空间角应注意：两条异面直线所成的角 a不一定是直线的方向向量的夹角 机即COS a= |COS引 两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所

11、求.例 3、如图，在四棱锥 S-ABCD 中，ABXAD, AB/CD, CD = 3AB=3, 平面 SAD,平面 ABCD, E 是线段 AD 上一点，AE=ED = 73, SEX AD. (1)证明：平面SBEL平面SEC;若SE= 1,求直线CE与平面SBC所成角的正弦值.解：(1)证明：二.平面 SADXT面ABCD,平面SADA平面ABCD = AD, SE?平面SAD, SEX AD, ；SE，平面 ABCD. v BE?平面 ABCD, a SEX BE. vABXAD, AB/ CD, CD = 3AB=3, AE=ED = V3, ./AEB = 30, /CED = 6

12、0. ./BEC = 90, IP BEXCE. 又 SEA CE=E, . BE,平面 SEC. v BE?平面 SBE,平面SBEL平面SEC.(2)由(1)知，直线ES, EB, EC两两垂直.如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系.则 E(0,0,0), C(0,2#, 0), S(0,0,1), B(2,0,0),所以=(0,一2 .3, 0),CB =(2, -2V3, 0), CS =(0, -2V3, 1).设平面SBC的法向量为n = (x, y, z),窗=0,In CS = 0.2x- 2#y= 0,厂令 y= 1,得 x= /3, z=

13、 2y3,23y+z= 0.则平面SBC的一个法向量为n = (，3, 1,2班).设直线CE与平面SBC所成角的大小为9,则sin 8=| n CE|n|CE |=4,1故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为4.例4、如图是多面体ABC-A1B1C1和它的三视图.恻视图I2正视图的觇图(1)线段CCi上是否存在一点E,使BE,平面AiCCi?若不存在，请说明理由，若存在，请 找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面AiCA夹角的余弦值.解：(1)由题意知AAi, AB, AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0),A1(0,0,2), B( 2,0,0), C(0, 2

14、,0), C1(-1, 1,2),则CC( = (一 1,1,2), 定=(1, 1,0),AC = (0, 2, -2).设 E(x, y, z),则 CE = (x, y+2, z),EC1 = (-1-x, -1-y,2-z).设 CE=ECt (0),2+入 一 2入1TX1+ 入2人、1+人.fhAiCBE A1C1 =0, 由13T -BE A1C = 0, 2+入2+入-iT iTT得c解得仁2,2一入,I 1+1+ 入=0,所以线段CCi上存在一点E, CE=2EC 使BE,平面AiCCi.得xy= 0,2y2z= 0,m AC1 =0,(2)设平面CiAiC的法向量为m =

15、(x, y, z),则由1 T m AC =0,取 x=1,则 y=1, z= 1.故 m=(1, 1,1),而平面 A1CA 的一个法向量为 n= (1,0,0), 则cos =瑞御=，3=乎，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为(3利用空间向量解决探索性问题E, F分别是AC和BC边的中点,例1、如图1,正 ABC的边长为4, CD是AB边上的高,现将 ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图2).图1试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由;(2)求二面角E-DF-C的余弦值;(3)在线段BC上是否存在一点P,使APLDE?如果存在,求出BP的值；如果不存在, BC请

16、说明理由.EF?解(1)在4ABC中，由E, F分别是AC, BC中点，得EF/AB.又AB?平面DEF ,平面 DEF,AB/平面 DEF.以点D为坐标原点，以直线DB, DC, DA分别为x轴、y轴、立空间直角坐标系，则 A(0,0,2), B(2,0,0), C(0, 273, 0), E(0, 73, 1), F(1,串,0), dF = (1, 油 0), DE =(0, V3，1), DA =(0,0,2).cos DA ,平面CDF的法向量为DA = (0,0,2).设平面EDF的法向量为n = (x, y, z),x+ V3y =0,即4 L取 n = (3, -J3, 3),

17、lV3y+z=0,n = DAT =卑，所以二面角E-DF-C的余弦值为乌.| DA |n|77(3)存在.设 P(s, t,0),有 AP = (s, t, 2),则APDE3t 2 = 0, .t=， 3又 BP = (s 2, t,0), PC =(-s,2V3-t,0), V Bp / PC ,(s-2)(26 1)= st,. . V3s+t=23. 把1 =平代入上式得s= 4,. BP =：BC ,333BP 1在线段BC上存在点P,使APDE.此时，= 1BC 3方法技巧(1汴间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推 理，只需通过坐标运算进行判

18、断.(2辨题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为 点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于AlD运用这一方法.例 2、.如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，/ACB = 90, AA= BC= 2AC = 2.(1)若D为AA1中点，求证：平面 BCD,平面B1C1D;(2)在AA1上是否存在一点 D,使得二面角B1-CD-C1的大小为60?解：(1)证明:如图所示，以点C为原点，CA, CB, CCi所在直线分别为x,y, z轴建立空间直角坐标系.则即 C1B1 =(0,2,0),zB,pAGB1C1D

19、.C(0,0,0), A(1,0,0), Bi(0,2,2), Ci(0,0,2), D(1,0,1),DC1 =(1,0,1), CD =(1,0,1).由 C1B1 CD =(0,2,0) (1,0,1)= 0+0+ 0=0,得 C1B1 LCD ,即 C1BCD.由 DC1 CD=( 1,0,1) (1 ；0,1)=1 + 0+1 = 0,得 DCJCD ,即 DCdCD.又 DCnC1B1=C1, ；CD，平面 B1C1D.又 CD?平面 B1CD, 平面 B1CD，平面22(2)存在.当AD = jAA1时，二面角B1-CD-C1的大小为60 .理由如下：设 AD = a,则 D 点

20、坐标为(1,0, a), Cd =(1,0, a), 7 =(0,2,2),m CB1则 Tm CD2y+ 2z= 0,x+az= 0,令 z= - 1,得 m = (a,1, 1).设平面BiCD的法向量为m=(x, y, z),又= CB = (0,2,0)为平面CiCD的一个法向量，则cos 60二加|m| |CB | 4a2 + 2解得a=/2(负值舍去)，故AD = 42 = aAi.,.在AAi上存在一点D满足题意.空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性， 能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的 方向向量和平面的法向量解决立体几何问题. 解决的关键

21、环节之一就是建立空间直角坐标系， 因 而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点.一、经典例题领悟好例 1、如图，四棱锥 P-ABCD 中，FAL底面 ABCD, BC = CD = 2, AC = 4,/ACB=/ACD = 3，F 为 PC 的中点，afxpb.人气求PA的长；B(2)求二面角B-AF-D的正弦值.(1)学审题一一审条件之审视图形由条件知ACBD-DB, AC分别为x, y轴一，写出A, B, C, D坐标 职工面ABCD 设P坐标PFCF可得F 坐标AFPB aF PB =0得P坐标并求PA长.(2)学审题由(1)点，AF,靠的坐标向量n1, n2分别为平面FAD、

22、平面FAB的皆向量n1 AD =0且n1 AF =0求得n1 n2 求得夹角余弦.二, 工解(1)如图，连接BD交AC于O,因为BC=CD,即 BCD为等腰三角形，又、亲AC平分/BCD,故ACLBD.以O为坐标原点，OB, OC , /P的方向分别为x轴，y 轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz,则OC=CDcos ：= 1.而AC=4,得AO 工 3= AC OC = 3.又 OD = CDsin：=#，故 A(0, 3,0), B市,0,0), C(0,1,0), D(血，0,0). 3因PAL底面ABCD,可设P(0,3,z).由F为PC边中点，知F”，1,：)又TF =0

23、, 2,玄，PB=(g, 3, -z), AFXPB,故 AF PB =0,即 6 万=0, z= 2 仙(舍去一湛),所以 |pA |=2 3.(2)由(1)知 AD =(一姆，3,0), AB =(73, 3,0), XF =(0,2, 设平面 FAD 的法向量为ni = (xi, yi, zi),平面 FAB 的法向量为 n2=(x2, y2, z2),TtJ3xi+3yi = 0,由 ni AD =0, ni AF =0,得，由 n2 AB = 0, n2 AF = 0,得，因此可取 ni=(3, V3, -2).故可取 n2 = (3, -73, 2).2yi +43zi=0, 3x

24、2 + 3y2 = 0, 2y2+泡=0,从而法向量 ni, n2的夹角的余弦值为 cosni, n2 = 1nli 1n21=.故二面角B-AF-D的正弦值为斗.方法技巧建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系(本题利用ACXBD,若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系， 注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称 .例2、如图，在空间几何体中，平面 ACDL平面ABC, AB=BC=CA= DA= DC= BE= 2.BE 与平面A

25、BC所成的角为60,且点E在平面ABC内的射影落在/ ABC的平分线上.(i)求证：DE/平面ABC;八/(2)求二面角E-BC-A的余弦值.解：证明：(i)易知AABC, AACD都是边长为2的等边三角形，、取AC的中点O,连接BO, DO,则BOXAC, DOXAC.二.平面ACDL平面ABC, DO,平面ABC.作EFL平面ABC, WJEF/DO.根据题意，点F落在BO上，./EBF = 60,易求得EF=DO=m, 四边形DEFO是平行四边形，DE/OF.v DE?平面 ABC, OF?平面 ABC,. DE / 平面 ABC.建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,可求彳4平面A

26、BC的一个法向量为ni = (0,0,i).可得 C(i,0,0), B(0, J3, 0), E(0,陋i,5)，则 CB=(i, 0), BE =(0, -i, 3). 设平面BCE的法向量为n2=(x, y, z),则可得n2kB =0, n2 BE =0,即(x, y, z)(i a/3, 0) = 0, (x, y, z) (0 -i,m)=0,可取 n2 = ( 3,& i).故cos ni, n2 =二；二：I=W33.又由图知，所求二面角的平面角是锐角，。匚E|ni | |n2| i3；-. - - -故二面角E-BC-A的余弦值为曙.专题训练1 .如图所示，在多面体 ABCD

27、 AiBiCiDi中，上、下两个底面 AiBiCiDi和ABCD互相平行,且都是正方形，DDi，底面 ABCD, AB / Ai Bi, AB= 2Ai Bi = 2DDi = 2a.Jh(i)求异面直线ABi与DDi所成角的余弦值；/ cpAJr*(2)已知F是AD的中点，求证：FB平面BCCiBi.乂 解：以D为原点，DA, DC, DDi所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2a,0,0), B(2a,2a,0), C(0,2a,0), Di(Q,Q, a), F(a,0,0), Bi(a, a, a), Ci(0, a, a).：? = (-a, a,

28、a), 2=(0,0, a),，cos疝国所以异面直线ABi与DDi所成角的余弦值为 坐.口 trT(2)证明：= BBi =( a, a, a), BC = (2a,0,0), FB = (0, a, a)=。，FBiXBBi, FBiXBC. =0.BBi n BC=B, . .FBi,平面 BCCiBi.2 .如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，AAiCiC是边长为4的正方形，平面ABC,平面AAiCiC,(i)求证：AAi,平面ABC;求二面角Ai-BCi-Bi的余弦值;AB=3, BC=5.(3)证明：在线段BCi上存在点D,使得ADLAiB,并求正BCi解：(i)证明：因为四边形

29、AAiCiC为正方形，所以AAi AC.因为平面ABC,平面AAiCiC,且AAi垂直于这两个平面的交线 AC,所以AAi，平面ABC.(2)由(i)知 AAi,AC, AAi AB.由题知 AB=3, BC = 5, AC = 4,所以 ABLAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系 A-xyz,则B(0,3,0), Ai(0,0,4), Bi(0,3,4), Ci(4,0,4), AB = (0,3, 4), AC1 = (4,0,0).设平面 AiBCi 的法向量为 n = (x, y, z),n AB=0,则5即n AC1 =0.|3y 4z= 0,4x=0.令 z=3, Mx=0,

30、y=4,所以 n = (0,4,3).同理可得，平面BiBCi的一个法向量为m=(3,4,0).所以8s n, m=湍=卷bD = XBc1 .此时,电=-9BC1253.如图(1),四边形ABCD中，E是BC的中点， 将图(1)沿直线BD折起，使得二面角A-BD-C为60,DB = 2, DC = 1, BC = V5, AB = AD=V2 如图(2).图16由题知二面角A1为锐角，所以二面角A1的余弦值为行(3)证明：设D(x, y, z)是直线BCi上一点，且所以(x, y-3, z)= X4, 3,4).解得 x = 4 入 y=33% z=4 入9仁25.所以AD = (4入33入

31、4M 由ID AB =0,即9 25人=0,解得一.9因为25c 。，1,所以在线段BC1上存在点D，使得ADAiB.(1)求证：AE，平面BDC;(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.1。解：(1)证明：取 BD 的中点 F,连接 EF, AF,则 AF = 1, EF = , /AFE=60 .由余弦定理知 AE=12+ j1)-2X1x2cos 60 :岑. AE2+EF2=AF2, aexef. AB=AD, F 为 BD 中点.BDXAF. 又 BD = 2, DC = 1, BC = 5, . . BD2 + DC2= BC；即 BDCD.又 E 为 BC 中点，EF/CD,

32、 . BD，EF.又 EFA AF = F, BD，平面 AEF.又 BDAE,BDnEF = F, . AE，平面 BDC.以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则ad, 0,坐j,1 c 1cc1-1, 2 0j, bj, -2, 01,D1一 1, 一； 0 !- DB =(2,0,0), D? =11 , 1 为 元；1，2, T)设平面ABD的法向量为n = (x, y, z),T 八2x= 0,n DB = 0由 f T 得 1 V3取 z= J3,n DA =0x + 2y+ 亍z=0,则 y= 3,又. n=(0, 3, 也cos n,定=n AC =-乎.|n| AC |4

33、故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为邛.4.如图所示，在矩形 ABCD中，AB = 345, AD = 6, BD是对角线，过点A作AELBD,垂 足为O,交CD于E,以AE为折痕将 ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB=，41.(1)求证：PO,平面ABCE;(2)求二面角E-AP-B的余弦值.解：(1)证明：由已知得 AB = 3由，AD = 6, ；BD = 9. 在矩形ABCD中，: AE，BD,RtAAODRtABAD,DO AD =AD BD .DO = 4, .BO=5.在APOB 中，PB=亚，PO = 4, BO = 5, . . PO2+BO2= PB2, . PO

34、LOB.又 POLAE, AEAOB = O, . POL平面 ABCE. (2)BO = 5,AO=MaB2 OB2 =2书.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 PA=(2乖,0, 4), PB =(0,5, -4).P(0,0,4), A(2V5, 0,0), B(0,5,0),、一，一一_n PA =0,设n1 = (x, y, z)为平面APB的法向重.则5 T n1 PB =0,即:班4Z=。，方y 4z=0.取x = 2加得 出=(2加，4,5).又n2= (0,1,0)为平面AEP的一个法向量,，、n1 n244,61 .cos =|.=1=,|n1|n2|61 x 1

35、61 故二面角E-AP-B的余弦值为喳1.5.如图，在四棱锥 P-ABCD中，侧面PAD,底面ABCD,侧棱PA=PD =亚，PAX PD,底面ABCD为直角梯形，其中 BC/AD, ABXAD, AB=BC=1, O为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；求B点到平面PCD的距离;(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为 坐？若存在，求出QD的值； 3QD若不存在，请说明理由.解：(1)在 PAD中，PA=PD, O为AD中点，所以POLAD.又侧面PAD，底面ABCD,平面PADA平面ABCD= AD, PO?平面PAD,所以POL平面 ABCD.又

36、在直角梯形 ABCD中，连接OC,易得OCLAD,所以以O为坐标原点，OC, OD, OP所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1), A(0, 1,0), B(1 , 1,0), C(1,0,0),D(0,1,0),.PB = (1, 1, 1),易证 OAL平面 POC,.01 = (0, 1,0)是平面 POC 的法向量,co 1PB O1=?1微=当.直线PB与平面POC所成角的余弦值为坐(2)u Cp则 Tu PDPD = (0,1, 1), CP= (1,0,1).设平面PDC的一个法向量为u=(x, y, z),-x+ z=0,Wz= 1,得u = (1

37、,1,1). B点到平面PCD的距离为d= yz= 0,|BP u|_3|u|(3)假设存在一点Q,则设PQ= D(01). V PD =(0,1, 1),. PQ=(0,计温OP, 温(0, % 1 , . Q(0) 入 1 .设平面CAQ的一个法向量为 m = (x,y, z),又定=(1,1,0), AQ=(0,在 1,1九r,八m AC = x+ y= 0,则 Tm aq =(狂 1 y+(1-耳=0.取 z= 2d-1,得 m = (1 %1, 2d-1),又平面CAD的一个法向量为n = (0,0,1),而角Q-AC-D的余弦值为 乎,3|m n |6 /日所以|cos =瑞 =2=噜,由于二面角 F-CD-A为锐角, 二面角F-CD-A的余弦值为 噜.8、.如图，在四棱锥 P-ABCD中，PDL平面ABCD,四边形ABCD是菱形，AC = 2, BD = 2小,E是PB上任意一点.(1)求证：ACXDE;已知二面角A-PB-D的余弦值为弯,若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值.解：(1)