中考数学专题复习 开放性问题学案-人教版初中九年级全册数学学案

1、开放性问题【题型特征】 一个数学问题系统中,通常包括已知条件、解题依据、方法和结论.如果这些部分齐备,称之为封闭性问题.若不完全齐备,称之为开放性问题,数学开放题就是指那些条件不完整,结论不确定,解法不限制的数学问题,它的显著特点是正确答案不唯一.常见的开放性问题有:(1)条件开放型;(2)结论开放型;(3)策略开放型;(4)综合开放型.【解题策略】 (1)条件开放型,指结论给定,条件未知或不全,需要探求结论成立的条件,且与结论成立相对应的条件不唯一的数学问题.这类开放题在中考试卷中多以填空题形式出现.解条件开放型问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,挖掘

2、条件,逆向追索,逐步探求,最终得出符合结论的条件.这是一种分析型思维方式.(2)结论开放型,指条件充分给定,结论未知或不全,需要探求,整合出符合给定条件下相应结论的一类试题.这类开放题在中考试卷中,以解答题居多.解结论开放型问题的一般思路是:充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、归纳、类比,透彻分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证作出取舍.这是一种归纳类比型思维方式.(3)策略开放型,是指题目的条件和结论都已知或部分已知,需要探求解题方法或设计解题方案的一类试题.这类开放题在中考试卷中,一般出现在阅读题、作图题和应用题中.解策略开放型问题的处理方法一般需要模仿、类比、实验、创新和综合运

3、用所学知识,建立合理的数学模型,从而使问题得到解决.这是一种综合性思维.(4)综合开放型,是指条件、结论、解题方法中至少有两项同时呈现开放形式的数学问题.这类问题往往仅提供一种问题情境,需要我们补充条件,设计结论,并寻求解法的一类问题.解综合开放型问题要求我们对所学知识特别熟悉并能灵活运用.类型一条件开放型典例1(2015·云南)写出一个图象经过一、三象限的正比例函数y=kx(k0)的表达式(表达式). 【解析】 正比例函数y=kx(k为常数,且k0)的图象经过一、三象限,k>0.比如k=1.故答案可以为y=x.【全解】 y=x.【技法梳理】 解答条件开放题主要根据“

4、执果索因”的原则,多层次、多角度地加以思考和探究.解题的关键是掌握正比例函数图象的性质:它是经过原点的一条直线.当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.举一反三1. (2015·江苏连云港)若函数的图象在每一象限内,y随x的增大而增大,则m的值可以是.(写出一个即可) 2. (2015·江苏淮安)如图,在四边形abcd中,abcd,要使得四边形abcd是平行四边形,应添加的条件是(只填写一个条件,不使用图形以外的字母和线段). (第2题)【小结】 解答条件开放题掌握概念、性质

5、和判定是解题的关键.类型二结论开放型典例2(2015·浙江金华)写出一个解为x1的一元一次不等式. 【全解】 答案不唯一,只要根据不等式的解法,求其解集为x1即可.例如x-10.举一反三3. (2015·吉林)如图,ob是o的半径,弦ab=ob,直径cdab.若点p是线段od上的动点,连接pa,则pab的度数可以是.(写出一个即可) (第3题)4. (2015·甘肃天水)写出一个图象经过点(-1,2)的一次函数的表达式. 【小结】 结论开放题与常规题的相同点是:它们都给出了已知条件(题设),要求寻求结论;区别是前者的条件一般较弱,结论

6、通常在两个以上,解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与,而后者答案一般只有一个,解题目标大多比较明确.类型三策略开放型典例3(2015·山东淄博)如图,在正方形网格中有一边长为4的平行四边形abcd,请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形.(要求:在答题卡的图中画出裁剪线即可)【解析】 【技法梳理】 策略开放题通常是指设计类或几何类开放题,这类题大多因为解决问题的方法、策略有多种,造成多个答案各具特色,解答时应根据优劣选择出最佳解答.举一反三5. (2015·湖北荆门)如图,在44的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格

7、点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有().(第5题)a. 2种b. 3种c. 4种d. 5种【小结】 解策略型开放题时,要对已有条件进行发散联想,努力提出满足条件和要求的各种方案和设想,并认真加以研究和验证,直至完全符合要求为止.解决这类问题时往往需要利用分类讨论思想,作多方面设计与思考.类型四综合开放型典例4(2015·山东威海)猜想与证明:如图(1)摆放矩形纸片abcd与矩形纸片ecgf,使b,c,g三点在一条直线上,ce在边cd上,连接af,若m为af的中点,连接dm,

8、me,试猜想dm与me的关系,并证明你的结论.拓展与延伸:(1)(2)(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片abcd与正方形纸片ecgf,其他条件不变,则dm和me的关系为. (2)如图(2)摆放正方形纸片abcd与正方形纸片ecgf,使点f在边cd上,点m仍为af的中点,试证明(1)中的结论仍然成立.【解析】 猜想:延长em交ad于点h,利用fmeamh,得出hm=em,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明.(1)延长em交ad于点h,利用fmeamh,得出hm=em,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明,(2)连接ae,ae和ec在同一条直线上,再

9、利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明.【全解】 猜想:dm=me.证明如下:如图(1),延长em交ad于点h,(1)四边形abcd和cefg是矩形,adef.efm=ham.又fme=amh,fm=am,在fme和amh中,fmeamh(asa).hm=em.在rthde中,hm=em,dm=hm=me.dm=me.(1)dm=me(2)如图(2),连接ae,(2)四边形abcd和ecgf是正方形,fce=45°,fca=45°.ae和ec在同一条直线上.在rtadf中,am=mf,dm=am=mf.在rtaef中,am=mf,am=mf=me.dm=me.【技法

10、梳理】 本题属四边形的综合,运用正方形边相等,角相等证明二个三角形全等,从而得出二条线段相等,本题的难点是辅助线的做法,通过延长或连接线段等手段来证明二个三角形全等.举一反三6. (2015·湖南湘潭)abc为等边三角形,边长为a,dfab,efac.(1)求证:bdfcef;(2)若a=4,设bf=m,四边形adfe面积为s,求出s与m之间的函数关系,并探究当m为何值时s取最大值;(3)已知a,d,f,e四点共圆,已知,求此圆直径.(第6题)【小结】 考试时,对于综合开放题,若没有其他要求,可选用简单情型的进行解答.类型一1. (2015·湖南娄底)如图,要使平行四边形a

11、bcd是矩形,则应添加的条件是.(添加一个条件即可) (第1题)2. (2015·黑龙江黑河)如图,已知abc中,ab=ac,点d,e在bc上,要使abdace,则只需添加一个适当的条件是.(只填一个即可) (第2题)3. (2015·湖南湘潭)如图,直线a,b被直线c所截,若满足,则a,b平行. (第3题)(第4题)4. (2015·贵州铜仁)如图所示,已知1=2,请你添加一个条件,证明:ab=ac.(1)你添加的条件是; (2)请写出证明过程.类型二5. (2015·北京)如图,在平面直角坐标系xoy中,正方形

12、oabc的边长为2.写出一个函数,使它的图象与正方形oabc有公共点,这个函数的表达式为. (第5题)6. (2015·山东滨州)写出一个运算结果是a6的算式. 7. (2015·湖南邵阳)如图,在abcd中,f是bc上的一点,直线df与ab的延长线相交于点e,bpdf,且与ad相交于点p,请从图中找出一组相似的三角形:. (第7题)类型三8. (2015·浙江温州)请举反例说明命题“对于任意实数x,x2+5x+5的值总是整数”是假命题,你举的反例是x=(写出一个x的值即可). 9. (2015·浙江金华)在棋盘中

13、建立如图所示的直角坐标系,三颗棋子a,o,b的位置如图,它们的坐标分别是(-1,1),(0,0),(1,0).(1)如图(2),添加棋子c,使四颗棋子a,o,b,c成为一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴;(2)在其他格点位置添加一颗棋子p,使四颗棋子a,o,b,p成为轴对称图形,请直接写出棋子p的位置的坐标.(写出2个即可)(1)(2)(第9题)10. (2015·浙江宁波)课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗?请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法,图(1)是其中的一种方法:定义

14、:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.(1)请你在图(2)中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)(2)abc中,b=30°,ad和de是abc的三分线,点d在bc边上,点e在ac边上,且ad=bd,de=ce,设c=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值;(3)如图(3),abc中,ac=2,bc=3,c=2b,请画出abc的三分线,并求出三分线的长.(1)(2)(3)(第10题)类型四11. (2015

15、83;湖北随州)已知两条平行线l1,l2之间的距离为6,截线cd分别交l1,l2于c,d两点,一直角的顶点p在线段cd上运动(点p不与点c,d重合),直角的两边分别交l1,l2与a,b两点.(1)操作发现如图(1),过点p作直线l3l1,作pel1,点e是垂足,过点b作bfl3,点f是垂足.此时,小明认为peapfb,你同意吗?为什么?(2)猜想论证将直角apb从图(1)的位置开始,绕点p顺时针旋转,在这一过程中,试观察、猜想:当ae满足什么条件时,以点p,a,b为顶点的三角形是等腰三角形?在图(2)中画出图形,证明你的猜想.(3)延伸探究在(2)的条件下,当截线cd与直线l1所夹的钝角为15

16、0°时,设cp=x,试探究:是否存在实数x,使pab的边ab的长为45?请说明理由.(1)(2)(第11题)12. (2015·黑龙江牡丹江)如图,在rtabc中,acb=90°,过点c的直线mnab,d为ab边上一点,过点d作debc,交直线mn于e,垂足为f,连接cd,be.(1)求证:ce=ad;(2)当d为ab中点时,四边形becd是什么特殊四边形?说明你的理由;(3)若d为ab中点,则当a的大小满足什么条件时,四边形becd是正方形?请说明你的理由.(第12题)参考答案【真题精讲】1. 答案不唯一,只要m-1<0即可,例如m=-1等.解析:函数的图

17、象在每一象限内,y随x的增大而增大,m-1<0.m<1.例如m=-1等.2. 答案不唯一,例如ab=cd.解析:已知abcd,可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来判定,也可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来判定.因此我们可以直接写出条件ab=cd,adbc,或可以推出adbc的一些条件,如a=c或b=d或a+b=180°或c+d=180°等.故答案可以为ab=cd.3. 答案不唯一,可以为70°.解析:设ab与cd相交于点e,ab=ob,直径cdab,ob=2be.boc=30°.aoc=30°.adc=15&#

18、176;.点p是线段od上的动点,15°apc30°.60°pab75°.4. 答案不唯一,如y=x+3.5. c解析:如图所示:组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有4种.(第5题)6. (1)dfab,efac,bdf=cef=90°.abc为等边三角形,b=c=60°.bdf=cef,b=c,bdfcef.(第6题(1)当m=2时,s取到最大值,最大值为33.(3)如图(2),(第6题(2)a,d,f,e四点共圆,edf=eaf.adf=aef=90°,af是此圆的直径.【课后精练】1.

19、答案不唯一,如abc=90°或ac=bd2. 答案不唯一,如bd=ce3. 答案不唯一,如1=2或2=3或3+4=180°.4. (1)添加的条件是可以是b=c(答案不唯一);(2)证明:在abd和acd中,abdacd(aas).ab=ac.9. (1)如图(2)所示,直线l即为所求;(2)如图(1)所示,p(0,-1),p'(-1,-1)都符合题意.(1)(2)(第9题)10. (1)如图(1)作图,(第10题(1)(2)当ad=ae时,如图(2),(第10题(2)2x+x=30+30,x=20.当ad=de时,如图(3),(第10题(3)30+30+2x+x=180,x=40.(3)如图(4),cd,ae就是所求的三分线.(第10题(4)设b=,则dcb=dca=eac=,ade=aed=2,此时aecbdc,acdabc.设ae=ad=x,bd=cd=y,aecbdc,xy=23.acdabc,2x=(x+y)2.11. (1)同意.证明