中考数学一轮复习 第26课 点、直线与圆的位置关系导学案-人教版初中九年级全册数学学案

1、第26课 点、直线与圆的位置关系【考点梳理】：一、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；二、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；知识点： 1. 直线与圆的位置关系： 2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d，半径分别为）相交； 外切； 内切； 外离； 内含【注意点】与圆的切线长有关的计算思考与收获【思想方法】方程思想，分类讨论【考点一】：直线与圆的位置关系 【例题赏析】（1）（2015齐齐哈尔,第6题3分）如图，两

2、个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦ab与小圆有公共点，则弦ab的取值范围是（） a 8ab10 b 8ab10 c 4ab5 d 4ab5考点： 直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理分析： 此题可以首先计算出当ab与小圆相切的时候的弦长连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得ab=8若大圆的弦ab与小圆有公共点，即相切或相交，此时ab8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8ab10解答： 解：当ab与小圆相切，大圆半径为5，小圆的半径为3，ab=2=8大圆的弦ab与小圆有公共点，即相切或相交，8ab10故选：a点评： 本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂

3、径定理此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长（2）（2015湖南张家界，第2题3分）如图，o=30°，c为ob上一点，且oc=6，以点c为圆心，半径为3的圆与oa的位置关系是（） a 相离 b 相交思考与收获 c 相切 d 以上三种情况均有可能考点： 直线与圆的位置关系分析： 利用直线l和o相切d=r，进而判断得出即可解答： 解：过点c作cdao于点d，o=30°，oc=6，dc=3，以点c为圆心，半径为3的圆与oa的位置关系是：相切故选：c点评： 此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键【考点二】：圆的切线的判

4、定【例题赏析】（1）（2015黔西南州）（第6题）如图，点p在o外，pa、pb分别与o相切于a、b两点，p=50°，则aob等于（） a 150° b 130° c 155° d 135°考点： 切线的性质分析： 由pa与pb为圆的两条切线，利用切线性质得到pa与oa垂直，pb与ob垂直，在四边形apbo中，利用四边形的内角和定理即可求出aob的度数解答： 解：pa、pb是o的切线，paoa，pbob，pao=pbo=90°，p=50°，思考与收获aob=130°故选b点评： 此题考查了切线的性质，以及四边形的内角

5、和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键（2）（2015贵州省贵阳,第15题4分）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与ab，cd分别相切于点n，m现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着cd向右滚动到再次与ab相切时，光盘的圆心经过的距离是考点：切线的性质；轨迹.专题：应用题分析：根据切线的性质得到oh=ph，根据锐角三角函数求出ph的长，得到答案解答：解：如图，当圆心o移动到点p的位置时，光盘在直尺边上沿着cd向右滚动到再次与ab相切，切点为q，onab，pqab，onpq，on=pq，oh=ph，在rtphq中，p=b=60°，pq

6、=1，ph=，则op=，故答案为：思考与收获点评：本题考查的是直线与圆相切的知识，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键【考点三】：圆的切线性质的应用【例题赏析】（1）（2015宁德 第23题 4分）如图，已知ab是o的直径，点c，d在o上，点e在o外，eac=b（1）求证：直线ae是o的切线；（2）若d=60°，ab=6时，求劣弧的长（结果保留）考点：切线的判定；弧长的计算分析：（1）根据圆周角定理可得acb=90°，进而可得cba+cab=90°，由eac=b可得cae+bac=90°，从而可得直线ae是o的切线；（2）连接co，计算出ao长，再

7、利用圆周角定理可得aoc的度数，然后利用弧长公式可得答案解答：解：（1）ab是o的直径，acb=90°，cba+cab=90°，eac=b，思考与收获cae+bac=90°，即 baaeae是o的切线（2）连接co，ab=6，ao=3，d=60°，aoc=120°，=2点评：此题主要考查了切线的判定和弧长计算，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）（2015福建 第23题 10分）已知：ab是o的直径，点p在线段ab的延长线上，bp=ob=2，点q在o上，

8、连接pq（1）如图，线段pq所在的直线与o相切，求线段pq的长；（2）如图，线段pq与o还有一个公共点c，且pc=cq，连接oq，ac交于点d判断oq与ac的位置关系，并说明理由；求线段pq的长考点：圆的综合题.思考与收获分析：（1）如图，连接oq利用切线的性质和勾股定理来求pq的长度（2）如图，连接bc利用三角形中位线的判定与性质得到bcoq根据圆周角定理推知bcac，所以，oqac（3）利用割线定理来求pq的长度即可解答：解：（1）如图，连接oq线段pq所在的直线与o相切，点q在o上，oqop又bp=ob=oq=2，pq=2，即pq=2；（2）oqac理由如下：如图，连接bcbp=ob，点

9、b是op的中点，又pc=cq，点c是pq的中点，bc是pqo的中位线，bcoq又ab是直径，acb=90°，即bcac，oqac（3）如图，pcpq=pbpa，即pq2=2×6，解得pq=2思考与收获点评：本题考查了圆的综合题掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练利用割线定理进行几何计算（2）（2015甘南州第21题 9分）五边形abcde中，eab=abc=bcd=90°，ab=bc，且满足以点b为圆心，ab长为半径的圆弧ac与边de相切于点f，连接be，bd（1）如图1，求ebd的度数；（2）如图2，连接ac，分别与be，bd相交于点g，h，若a

10、b=1，dbc=15°，求aghc的值考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质.分析：（1）如图1，连接bf，由de与b相切于点f，得到bfde，通过rtbaertbef，得到1=2，同理3=4，于是结论可得；（2）如图2，连接bf并延长交cd的延长线于p，由abepbc，得到pb=be=，求出pf=，通过aegchd，列比例式即可得到结果解答：解：（1）如图1，连接bf，de与b相切于点f，bfde，思考与收获在rtbae与rtbef中，rtbaertbef，1=2，同理3=4，abc=90°，2+3=45°，即ebd=45°；（2）如图2，连接bf并

11、延长交cd的延长线于p，4=15°，由（1）知，3=4=15°，1=2=30°，pbc=30°，eab=pcb=90°，ab=1，ae=，be=，在abe与pbc中，abepbc，pb=be=，pf=，p=60°，df=2，cd=df=2，eag=dch=45°，age=bdc=75°，aegchd，agch=cdae，agch=cdae=（2）=思考与收获点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键【真题专练】1. （2015湖南湘西州，第15题

12、，4分）o的半径为5cm，点a到圆心o的距离oa=3cm，则点a与圆o的位置关系为（）a点a在圆上b点a在圆内c点a在圆外d无法确定2. (2015年浙江省义乌市中考,14,5分)在rtabc中，c=90°，bc=3，ac=4，点p在以c为圆心，5为半径的圆上，连结pa，pb。若pb=4，则pa的长为 3. （2015山东莱芜,第12题3分）如图，在直角梯形abcd中，abcd，abbc，以bc为直径的o与ad相切，点e为ad的中点，下列结论正确的个数是（）（1）ab+cd=ad；（2）sbce=sabe+sdce；思考与收获（3）abcd=；（4）abe=dce a 1 b 2 c

13、 3 d 44（2015甘南州第24题 4分）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦ab与小圆相交，则弦ab的取值范围是 5. (2015山东泰安,第24题3分）如图，ab是o的直径，且经过弦cd的中点h，过cd延长线上一点e作o的切线，切点为f若acf=65°，则e= 思考与收获6. （2015江苏镇江，第10题，2分）如图，ab是o的直径，oa=1，ac是o的弦，过点c的切线交ab的延长线于点d，若bd=1，则acd= °7. （2015，广西钦州，25，8分）如图，ab为o的直径，ad为弦，dbc=a（1）求证：bc是o的切线；（2）连接o

14、c，如果oc恰好经过弦bd的中点e，且tanc=，ad=3，求直径ab的长8. （2015甘南州第10题 10分）如图，在abc中，c=90°，ac+bc=8，点o是斜边ab上一点，以o为圆心的o分别与ac，bc相切于点d，e（1）当ac=2时，求o的半径；（2）设ac=x，o的半径为y，求y与x的函数关系式思考与收获9. （2015，广西柳州，25，10分）如图，已知四边形abcd是平行四边形，ad与abc的外接圆o恰好相切于点a，边cd与o相交于点e，连接ae，be（1）求证：ab=ac；（2）若过点a作ahbe于h，求证：bh=ce+eh10. （2015，福建南平，22，分）

15、如图，ab是半圆o的直径，c是ab延长线上的一点，cd与半圆o相切于点d，连接ad，bd（1）求证：bad=bdc；（2）若bdc=28°，bd=2，求o的半径（精确到0.01）【真题演练参考答案】1. （2015湖南湘西州，第15题，4分）o的半径为5cm，点a到圆心o的距离oa=3cm，则点a与圆o的位置关系为（）a点a在圆上b点a在圆内c点a在圆外d无法确定考点：点与圆的位置关系.分析：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断解答：解：o的半径为5cm，点a到圆心o的距离为3cm，即点a到圆心o的距离小于圆的半径，点a在o内故选b点评：本题考查了点与圆的位置关系：设o的半径为r，

16、点p到圆心的距离op=d，则有点p在圆外dr；点p在圆上d=r；点p在圆内dr2. (2015年浙江省义乌市中考,14,5分)在rtabc中，c=90°，bc=3，ac=4，点p在以c为圆心，5为半径的圆上，连结pa，pb。若pb=4，则pa的长为 考点：点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理.专题：分类讨论分析：连结cp，pb的延长线交c于p，如图，先计算出cb2+pb2=cp2，则根据勾股定理的逆定理得cbp=90°，再根据垂径定理得到pb=pb=4，接着证明四边形acbp为矩形，则pa=bc=3，然后在rtapp中利用勾股定理计算出pa=，从而得到满足条件的pa的长为3

17、或解答：解：连结cp，pb的延长线交c于p，如图，cp=5，cb=3，pb=4，cb2+pb2=cp2，cpb为直角三角形，cbp=90°，cbpb，pb=pb=4，c=90°，pbac，而pb=ac=4，四边形acbp为矩形，pa=bc=3，在rtapp中，pa=3，pp=8，pa=，pa的长为3或故答案为3或点评：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系也考查了垂径定理和勾股定理3. （2015山东莱芜,第12题3分）如图，在直角梯形abcd中，abcd，abbc，以bc为直径的

18、o与ad相切，点e为ad的中点，下列结论正确的个数是（）（1）ab+cd=ad；（2）sbce=sabe+sdce；（3）abcd=；（4）abe=dce a 1 b 2 c 3 d 4考点： 圆的综合题.分析： 设dc和半圆o相切的切点为f，连接of，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可解答： 解：设dc和半圆o相切的切点为f，在直角梯形abcd中abcd，abbc，abc=dcb=90°，ab为直径，ab，cd是圆的切线，ad与以ab为直径的o相切，ab=af，cd=df，ad=ae+de=ab+cd，故正确；如图1，连接oe，ae=de，bo=co，oeabcd

19、，oe=（ab+cd），oebc，sbce=bcoe=（ab+cd）=（ab+cd）bc=sabe+sdce，故正确；如图2，连接ao，od，abcd，bad+adc=180°，ab，cd，ad是o的切线，oad+edo=（bad+adc）=90°，aod=90°，aob+doc=aob+bao=90°，bao=doc，abocdo，abcd=oboc=bcbc=bc2，故正确，如图1，ob=oc，oebc，be=ce，beo=ceo，aboecd，abe=beo，dce=oec，abe=dce，故正确，综上可知正确的个数有4个，故选d点评： 本题考查了

20、切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理、性质定理，做到灵活运用4（2015甘南州第24题 4分）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦ab与小圆相交，则弦ab的取值范围是8ab10考点： 直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理专题： 计算题分析： 解决此题首先要弄清楚ab在什么时候最大，什么时候最小当ab与小圆相切时有一个公共点，此时可知ab最小；当ab经过同心圆的圆心时，弦ab最大且与小圆相交有两个公共点，此时ab最大，由此可以确定所以ab的取值范围解答： 解：如图，当ab与小圆相切时有一个公共

21、点d，连接oa，od，可得odab，d为ab的中点，即ad=bd，在rtado中，od=3，oa=5，ad=4，ab=2ad=8；当ab经过同心圆的圆心时，弦ab最大且与小圆相交有两个公共点，此时ab=10，所以ab的取值范围是8ab10故答案为：8ab10点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，以及切线的性质，其中解题的关键是抓住两个关键点：1、当弦ab与小圆相切时最短；2、当ab过圆心o时最长5. (2015山东泰安,第24题3分）如图，ab是o的直径，且经过弦cd的中点h，过cd延长线上一点e作o的切线，切点为f若acf=65°，则e=50

22、76;考点：切线的性质.分析：连接df，连接af交ce于g，由ab是o的直径，且经过弦cd的中点h，得到，由于ef是o的切线，推出gfe=gfd+dfe=acf=65°根据外角的性质和圆周角定理得到efg=egf=65°，于是得到结果解答：解：连接df，连接af交ce于g，ab是o的直径，且经过弦cd的中点h，ef是o的切线，gfe=gfd+dfe=acf=65°fgd=fcd+cfa，dfe=dcf，gfd=afc，efg=egf=65°，e=180°efgegf=50°， 故答案为：50°点评：本题考查了切线的性质，圆周

23、角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键6. （2015江苏镇江，第10题，2分）如图，ab是o的直径，oa=1，ac是o的弦，过点c的切线交ab的延长线于点d，若bd=1，则acd=112.5°考点：切线的性质分析：如图，连结oc根据切线的性质得到ocdc，根据线段的和差故选得到od=，根据勾股定理得到cd=1，根据等腰直角三角形的性质得到doc=45°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到oca=doc=22.5°，再根据角的和差故选得到acd的度数解答：解：如图，连结ocdc是o的切线，ocdc，bd=1，oa=ob=oc=1，od=，cd=1，

24、oc=cd，doc=45°，oa=oc，oac=oca，oca=doc=22.5°，acd=oca+ocd=22.5°+90°=112.5°故答案为：112.5点评：本题考查了切线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质本题关键是得到ocd是等腰直角三角形7. （2015，广西钦州，25，8分）如图，ab为o的直径，ad为弦，dbc=a（1）求证：bc是o的切线；（2）连接oc，如果oc恰好经过弦bd的中点e，且tanc=，ad=3，求直径ab的长考点：切线的判定分析：（1）由ab为o的直径，可得d=90°，继而可得abd+a=90

25、76;，又由dbc=a，即可得dbc+abd=90°，则可证得bc是o的切线；（2）根据点o是ab的中点，点e时bd的中点可知oe是abd的中位线，故adoe，则a=boc，再由（1）d=obc=90°，故c=abd，由tanc=可知tanabd=，由此可得出结论解答：（1）证明：ab为o的直径，d=90°，abd+a=90°，dbc=a，dbc+abd=90°，即abbc，bc是o的切线；（2）点o是ab的中点，点e时bd的中点，oe是abd的中位线，adoe，a=boc、由（1）d=obc=90°，c=abd，tanc=，tana

26、bd=，解得bd=6，ab=3点评：本题考查的是切线的判定，熟知经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答此题的关键8. （2015甘南州第10题 10分）如图，在abc中，c=90°，ac+bc=8，点o是斜边ab上一点，以o为圆心的o分别与ac，bc相切于点d，e（1）当ac=2时，求o的半径；（2）设ac=x，o的半径为y，求y与x的函数关系式考点： 切线的性质；三角形的面积专题： 压轴题分析： （1）连接od，oe，由abc是直角三角形，以o为圆心的o分别与ac，bc相切于点d，e，可知odbc，在ado中，解得半径（2）由题意可知，odbc，aod=b，则两角正切值相等，进而列出关系式解答： 解：（1）连接oe，od，在abc中，c=90°，ac+bc=8，ac=2，bc=6；以o为圆心的o分别与ac，bc相切于点d，e，四边形oecd是正方形，tanb=tanaod=，解得od=，圆的半径为；（2）ac=x，bc=8x，在直角三角形abc中，tanb=，以o为圆心的o分别与ac，bc相切于点d，e，四边形oecd是正方形tanaod=tanb=，解得y=x2+x点评： 本题主要考查切线的性质和解三角形的相关知识点，不是很难9.