回归分析中的几个基本概念

1、第四章一、练习题(一)简做题1、多元线性回归模型的根本假设是什么试说明在证实最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中,哪些根本假设起了作用2、多元线性回归模型与一元线性回归模型有哪些区别3、某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为edu 10.36 0.094sibs 0.131medu 0.210feduR2=0,214式中,edu为劳动力受教育年数,sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数,medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数.问(1)假设medu与fedu保持不变,为了使预测的受教育水平减少一年,需要 sibs增加多 少(2)请对medu的系数给予

2、适当的解释.(3)如果两个劳动力都没有兄弟姐妹,但其中一个的父母受教育的年数为12年,另一个的父母受教育的年数为16年,那么两人受教育的年数预期相差多少4、以企业研发支出(R&D )占销售额的比重为被解释变量( Y),以企业销售额(X1)与 利润占销售额的比重(X2)为解释变量,一个有32容量的样本企业的估计结果如下：Y 0.472 0.3210g(X1) 0.05X2(1.37)(0.22)(0.046)2R2 0.099其中括号中为系数估计值的标准差.(1)解释10g(X1)的系数.如果X1增加10%,估方t Y会变化多少个百分点这在经济 上是一个很大的影响吗(2)针对R&

3、D强度随销售额的增加而提升这一备择假设,检验它不虽X1而变化的假设.分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验.(3)利润占销售额的比重 X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响5、什么是正规方程组分别用非矩阵形式和矩阵形式写出模型：yi01x1i2x2ikxkiu , i 1,2, ,口的正规方程组,及其推导过程.6、假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人数,以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者o你通过整个学年收集数据,得到两个可二 2R 0.75R2 0.73能的解释性方程:方程 A：Y? 125.0 15.0X1 1.0X2 1.5

4、X3方程 B：Y? 123.0 14.0X1 5.5X2 3.7X4其中：Y 某天慢跑者的人数Xi 该天降雨的英寸数X2 该天日照的小时数X3 该天的最高温度(按华氏温度)X4 第二天需交学期论文的班级数请答复以下问题：(1)这两个方程你认为哪个更合理些,为什么(2)为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得到不同的符号7、设货币需求方程式的总体模型为Mt-爪父)o iln(rt)21n(RGDPt)t其中M为广义货币需求量,P为物价水平,r为利率,RGDP为实际国内生产总值.假定根据容量为n = 19的样本,用最小二乘法估计出如下样本回归模型；Mt-ln( -) 0.03 0.26ln(rt)

5、 0.54ln(RGDPt) ePt(13)(3)-24-R0.9DW 0.1其中括号内的数值为系数估计的t统计值,et为残差.(1)从经济意义上考察估计模型的合理性；(2)在5%显著性水平上.分别检验参数1, 2的显著性；(3)在5%显著性水平上,检验模型的整体显著性.(二)计算题1、下面给出依据15个观察值计算得到的数据：一 一 一 一 _2Y 367.693 , X2 402.760 , X3 8.0 , y66042.269x；i84855.096 ,x；i280.0 ,yi 74778.346yix3i 4250.9 ,X2iX3i 4796.0其中小写字母代表了各值与其样本均值的离

6、差.要求：(1)估计三个多元回归系数；2(2)估计它们的标准差；并求出R2与R ?(3)估计 2、3 95%的置信区间；(4)在5%下,检验估计的每个回归系数的统计显著性(双边检验)(5)检验在5%下所有的局部系数都为零,并给出方差分析表.2、表31是以进出车站的乘客为主要效劳对象的10家便利店的数据.y是日均销售额,%是店铺面积,X2是作为选址条件的店铺距车站的距离.表3 1日均销售额、店铺面积和店铺距车站的距离的数据店铺日均销售额(万元)y店铺向积(平方米)X1店铺距车站的距离(100米)X2A40603B451005C80852D60501E50753F20554G15706H90951

7、I30453J70652(1)对多元回归模型y 01X12X2进彳T OLS估计;22(2)求决定系数 R和自由度调整后的决定系数 R ；(3)假设其他条件不变,店铺面积增加1平方米,日均销售额能增加多少元(4)假设其他条件不变,店铺距车站的距离比现在远100米,日均销售额会减少多少元(5)假设有人想新建一个店铺 K店,方案店铺面积为80平方米,距车站300米,试预测其 日均销售额yK.3、线性回归模型 Y XB U式中U (0,2I), n 13且k 3(n为样本容量,k为参数的个数),由二次型(Y XB)'(Y XB)的最小化得到如下线性方程组：要求：1把问题写成矩阵向量的形式；用

8、求逆矩阵的方法求解之;2如果 Y Y 53,求2 ；3求出的方差一协方差矩阵.4、数据如下表：YX1X211103298351541285-6要求：1先根据表中数据估计以下回归模型的方程只估计参数不用估计标准差1 x1 iUiiYi2答复以下问题:2 x2i1 x1iU2i2 X2iUi1吗为什么?22吗为什么?三证实题1、考虑以下两个模型:1 、 Yi 122i33iUi(YiX2i)2 X2i3X3i Ui要求：1证实：?2(2)证实：残差的最小二乘估计量相同,即:U? U?(3)在何种情况下,模型n的拟合优度R；会小于模型I拟合优度R2.2、对模型Yi 01X1i2X2ikXki5应用O

9、LS法,得到回归方程如下:?01 X1i2X2i'k Xki要求：证实残差i yi ?与i不相关,即：?i i 0.二、答案(一)简做题1、多元线性回归模型的根本假定有：零均值假定、随机项独立同方差假定、解释变量的非随机性假定、解释变量之间不存在线性相关关系假定、随机误差项5服从均值为0方差为 2的正态分布假定.在证实最小二乘估计量的无偏性中,利用了解释变量与随机误差项不相关的假定；在有效性的证实中,利用了随机项独立同方差假定.2、多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同,多元线性回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之

10、间不存在线性相关关系的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更复杂；3、(1)根据多元回归模型偏回归系数的含义,sibs前的参数估计值-0.094说明,在其他条件不变的情况下,每增加1个兄弟姐妹,受教育年数会减少0.094年,因此,要减少1年受教育的时间,兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个.(2) medu的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时,母亲每增加1年受教育的时机,其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育时机.(3)首先计算两人受教育的年数分别为：10.36+0.131 12+0.210 12=14.45210.36+0.131 16+0.210 16=1

11、5.816因此,两人的受教育年限的差异为15.816-14.452=1.3644、(1) log(x1)的系数说明在其他条件不变时,log(x1)变化1个单位,Y变化的单位数,即Y=0.32 log(X1) 0.32( X1/X1)=0.32 100%,换言之,当企业销售 X1 增长 100% 时,企业 研发支出占销售额的比重 Y会增加0.32个百分点.由此,如果X1增加10%, Y会增加0.032 个百分点.这在经济上不是一个较大的影响.(2)针对备择假设H1:10,检验原假设 H0：1 0.易知计算的t统计量的值为t=0.32/0.22=1.468.在5%的显著性水平下, 自由度为32-3

12、=29的t分布的临界值为 1.699(单 侧),计算的t值小于该临界值,所以不拒绝原假设.意味着R&D强度不随销售额的增加而变化.在10%的显著性水平下,t分布的临界值为 1.311,计算的t值小于该值,拒绝原假 设,意味着R&D强度随销售额的增加而增加.(3)对X2,参数估计值的t统计彳1为0.05/0.46=1.087,它比在10%的显著性水平下的临界 值还小,因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响.5、答：含有待估关系估计量的方程组称为正规方程组.正规方程组的非矩阵形式如下：yi(.-1X1i2X2ik Xki )0yiX1i(?、,01X1i?2 X 2i4Xki)X

13、1i0yiX2i(?、,01 X1i?2 X2i4Xki)X2i0yiXki(?0?1X1i?X2X2ik X ki ) Xki 0正规方程组的矩阵形式如下:E?推导过程略.6、方程B更合理些.原因是：方程B中的参数估计值的符号与现实更接近些,如与日照的小时数同向变化,天长那么慢跑的人会多些；与第二天需交学期论文的班级数成反向变化, 这一点在学校的跑道模型中是一个合理的解释变量.解释变量的系数说明该变量的单位变化在方程中其他解释变量不变的条件下对被解释变量的影响,在方程 A和方程B中由于选择了不同的解释变量,如方程 A选择的是“该天的最高温度而方程B选择的是“第二天需交学期论文的班级数,由此造

14、成X2与这两个变量之间的关系不同,所以用相同的数据估计相同的变量得到不同的符号.7、1该估计模型：反映了货币需求量随利率的升高而下降和随国民生产总值的增加而上 升的关系,具有经济意义上合理性.2查表有 to.025 16 =2.120,从而 t 2to.O2516 , t 3 to.O2516,知参数 2 和 3 显著.3可通过计算F统计量检验模型的显著性.n k R2 .由关系F r可计算出Fo.o52,16=34.1 ,而查表知：Fo.o52,16=3.63 ,显然模型k 1 1 R是整体显著的.二计算题1、2?yiX2iX3iyiX3iX2i X3i222X2iX3iX2iX3iX2i

15、X3i74778.346 28.425o.9 4796.o1 _ _284855.o96 28o 4796. o55o62o75781o o.72662yyix3ix2iyi x2ix2i x3i322X2iX3iX2i X3iX2i X3i4250.9 84855.096 74778.346 4796.0284855.096 280 4796.0220735807578102.7363X3367.693 0.7266 402.760 2.7363 8.053.1572/2?2 eV ?-X2i?3yiX3in 315 366042.269 0.7266 74778.346 2.7363 42

16、50.9126.3821se( 1)Var( 1)1512.768其中：AX2x3iX2X2i X3iX2iX3iX2iX3i同理,可得：se( 2) 0.0486 , se( 3) 0.8454拟合优度为：R2出必一23一 0.9988yi2一 2 n 1R2 1 (1 R2)0.9986n k d.f. 12,5%,查表得 P(t 2.179) 0.950.83254.57842.179 0.72662 2.179,得到 0.6207 0.04862.179 2.73633 2.179 ,得至U 0.8942 0.84542 95%的置信区间为：0.62072 0.8325,395%的置信

17、区间为：0.89423 4.5784(4) H 0 : Bi 0,(i1,2,3), Hi : Bi 05%(双边),d.f. 15 3 12查表得临界值为 2.179 t 2.179一 531572 0.那么：匚 4.0963 2.179,拒绝零假设：B1 0112.9768t 0.7266 0 14.9509 2.179,拒绝零假设：B2 020.04862.7363 0 3.2367 2.179,拒绝零假设：B3 030.8454所有的局部系数为 0,即：H0 B1 B2 0,等价于H0:R2 032981.509F 4994.0203 ,6.60425%, d.f . 2,12, F

18、临界值为 3.89方差来源平方和自由度平方和的均值来自回归65963.018232981.509来自残差79.2507126.6042总离差66042.269F值是显著的,所以拒绝零假设.2、(1)根据Eviwes运行结果见下表,可知回归模型为:? 36.412 0.7546x1 13.078x2Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 04/22/06Sample: 1901 1910Included observationTime: 15:28is: 10VariableCoefficientStd. Errort-StatisticP

19、rob.C36.412148.1719384.4557530.0030X10.7545850.1058877.1263260.0002X2-13.077691.213087-10.780500.0000R-squared0.956605Mean dependent var50.00000Adjusted R-squared0.944206S.D.dependent var25.05549S.E. of regression5.918273Akaike info criterion6.637292Sum squared resid245.1817Schwarz criterion6.728067

20、Log likelihood-30.18646F-statistic77.15446Durbin-Watson stat1.809788Prob(F-statistic)0.000017(2)决定系数 R2为0.956605和自由度调整后的决定系数R2为0.944206.(3)假设其他条件不变,店铺面积增加1平方米,日均销售额能增加7546元.(4)假设其他条件不变,店铺距车站的距离比现在远100米,日均销售额会减少 130776.9元.(5)假设有人想新建一个店铺K店,方案店铺面积为80平方米,距车站300米,试预测其日均销售额 yK 为：36.41241 0.754585 80 13.07769 3 57.576444 (万元).3、该方程组的矩阵向量形式为:12 1?32 5 1 291 1 6 ?3811 2 132 5 191 1 68?2 (TSS RSS) ?n k53 3 3 1 9 2 813 3?的方差一协方差矩阵为:11 2 1V Cov( ?)?2()11.92511 1 66.5252.4752.4751.1250.6750.2250.6750.2250.6194、1应用OLS法,得出三个方程分别为:?i8.80 6.60x1i(3.94) (1.19)?i17